2024年河南省周口市項(xiàng)城市第一初級中學(xué)中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是（）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了絕對值，有理數(shù)大小的比較，熟練掌握大小比較是解題的關(guān)鍵．首先計(jì)算各數(shù)的絕對值，然后比較即可．
【詳解】，，，，
∴，
∴絕對值最大的數(shù)是．
故選A．
2. 大興國際機(jī)場航站樓是全球唯一一座“雙進(jìn)雙出”的航站樓，也是世界施工技術(shù)難度最高的航站樓，航站樓一共使用了塊玻璃，白天室內(nèi)幾乎不需要照明燈光．將用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：，
故選C．
3. 已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中正確的有（）
①當(dāng)時(shí)，它是菱形；②當(dāng)時(shí)，它是菱形；③當(dāng)時(shí)，它是矩形；④當(dāng)時(shí)，它是正方形．
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了特殊四邊形的判定．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判斷，即可得到答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，鄰邊相等，即平行四邊形是菱形，①結(jié)論正確；
當(dāng)時(shí)，對角線垂直，即平行四邊形是菱形，②結(jié)論正確；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)角是直角，即平行四邊形是矩形，③結(jié)論正確；
當(dāng)時(shí)，對角線相等，即平行四邊形是矩形，④結(jié)論錯(cuò)誤；
結(jié)論中正確的是①②③，共3個(gè)，
故選：C．
4. 下列幾何體中，其主視圖、左視圖、俯視圖完全相同的是（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查三視圖：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側(cè)面和上面看，所得到的圖形．據(jù)此逐一判斷．注意三視圖都相同的常見的幾何體有球和正方體．
【詳解】解：A．圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓，故本選項(xiàng)不合題意；
B．圓錐的主視圖和左視圖是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故本選項(xiàng)不合題意；
C．三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是三角形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．球的主視圖、左視圖、俯視圖分別為三個(gè)全等的圓，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
5. 下列式子運(yùn)算正確的是（）.
A. 3x + 4x = 7x2B. C. x3·x4 = x7D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)整式加減，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方等運(yùn)算法則對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，選項(xiàng)正確，符合題意；
D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方等運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各運(yùn)算法則．
6. 如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，則等于：（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，，再由線段中點(diǎn)的定義得到，證明，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
7. 如圖，下列條件中，能判定的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可．
詳解】解：由，可以判定（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故A符合題意；
由，不能判定，故B不符合題意；
由，能判定（同位角相等，兩直線平行），不能判定，故C符合題意；
由，可以判定（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），不能判定，故D不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知平行線的判定條件是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了圓周角定理，連接，根據(jù)圓周角定理得出，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線的定義求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵為的直徑，
∴，
，
，
，
∵平分，
，
故選：D．
9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形對角線的中點(diǎn)，軸且，，將菱形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸正半軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)可得，A、B、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，由勾股定理可求解．
【詳解】解：根據(jù)菱形的對稱性可得：當(dāng)點(diǎn)D落在x軸正半軸上時(shí)，A、B、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖1在矩形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，勻速沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為的長為關(guān)于的函數(shù)圖像如圖2所示，則當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，的長為（）
A. 5B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，勾股定理，從函數(shù)圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
通過觀察圖2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，從而得出，當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，由股定理求出長度．
【詳解】解∶因?yàn)镻點(diǎn)是從A點(diǎn)出發(fā)的，A為初始點(diǎn)，
觀察圖象時(shí)，則，P從A向B移動(dòng)的過程中，是不斷增加的
而P從B向D移動(dòng)的過程中，是不斷減少的，
因此轉(zhuǎn)折點(diǎn)為B點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，，
此時(shí)，
即，，
由勾股定理得：
解得：
當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，
．
故選：D．
二、填空題
11. 在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查自變量得取值范圍的知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0．根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0；分析原函數(shù)式可得關(guān)系式，解得答案．
【詳解】根據(jù)題意得，
解得：；
故答案為：．
12. 如果關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根可知，求出的值即可．
此題主要考查的是一元二次方程的根判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
【詳解】解：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得，
故答案為：．
13. 分解因式__________．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【詳解】
．
故答案為：．
14. 如圖，扇形中，，點(diǎn)分別在上，連接，點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，的長為，則圖中陰影部分的面積為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】連接，，證明為等邊三角形，根據(jù)，求出扇形的半徑，然后求出，，，即可得出答案．
【詳解】解：連接，，如圖所示：
根據(jù)折疊可知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
，
∴，
，
，
∴
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，弧長的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出扇形的半徑．
15. 如圖，在矩形中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，把沿著翻折得到．作射線與邊交于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，_______．
【答案】或
【解析】
【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在矩形的內(nèi)部或外部時(shí)，利用矩形的性質(zhì)及已知條件先分別表示出AQ、EQ、AB等，再利用勾股定理等知識(shí)求解即可．
【詳解】當(dāng)點(diǎn)E在矩形的內(nèi)部時(shí)，如圖
四邊形是矩形
把沿著翻折得到，
，
，
在中，
即
解得
當(dāng)點(diǎn)E在矩形的外部時(shí)，如圖
解得
綜上，當(dāng)時(shí)，或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、幾何動(dòng)點(diǎn)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，能夠根據(jù)題意分類討論是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
16. （1）計(jì)算：；
（2）化簡：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算立方根，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再算加法即可；
（2）先算括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法即可．
【詳解】解：（1）原式
；
（2）
．
17. （1）解不等式組，并將其解集在數(shù)軸上表示出來．
（2）解方程．
【答案】（1），圖見解析；（2）
【解析】
【分析】此題考查解一元一次不等式組和分式方程，在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則．
（1）分別計(jì)算出方程組中兩個(gè)不等式的解集，兩個(gè)解集的公共部分就是不等式組的解集；
（2）先將分式方程兩邊都乘以，得到整式方程，然后解整式方程，最后再檢驗(yàn)即可．
【詳解】（1），
由不等式①解得：；
由不等式②去分母得：，
移項(xiàng)合并得：，
解得：，
原不等式組的解集為，
解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：

（2），
兩邊都乘以得：，
解得：，
檢驗(yàn)：將代入，
則是原分式方程的解．
18. 如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，平分，交軸于點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）尺規(guī)作圖：作出線段的垂直平分線，分別與、交于點(diǎn)、．(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)
（3）在(2)的條件下，連接．求證：．
【答案】（1）
（2）見解析（3）見解析
【解析】
【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作圖作線段的垂直平分線即可；
（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義可得到，然后利用平行線的判定即可得證．
【小問1詳解】
解：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；
【小問2詳解】
解：如圖，直線即為線段的垂直平分線；
【小問3詳解】
證明：如圖，

∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—基本作圖，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖，反比例數(shù)的性質(zhì)．
19. 第31屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日在成都舉行，主火炬塔位于東安湖體育公園，亮燈之夜，塔身通體透亮，10余道象征太陽光芒的螺旋線全部點(diǎn)亮，璀璨絢麗，流光溢彩（如圖1）．小杰同學(xué)想要通過測量及計(jì)算了解火炬塔的大致高度，當(dāng)他步行至點(diǎn)處，測得此時(shí)塔頂?shù)难鼋菫?，再步?0米至點(diǎn)處，測得此時(shí)塔頂?shù)难鼋菫椋ㄈ鐖D2所示，點(diǎn)在同一條直線上），請幫小杰計(jì)算火炬塔的高．（，，，，，，結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】32米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，在中，由銳角三角函數(shù)定義可得，再在中，由銳角三角函數(shù)定義可得，進(jìn)而可得火炬塔的高度，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．
【詳解】解：設(shè)米，
在中，，
，
在中，，
，
∵米，
∴，
解得：，
答：火炬塔的高約為32米．
20. 開學(xué)期間，“艾上雪”品牌書包以其樣式新穎，寓意美好，價(jià)格合理而深受學(xué)生喜歡．某文具店主統(tǒng)計(jì)了前兩周的“艾上雪”學(xué)生包的銷售情況，發(fā)現(xiàn)第一周男生包的銷量是個(gè)，女生包銷量是個(gè)，總利潤是元；第二周男生包的銷量是個(gè)，女生包的銷量是個(gè)，總利潤是元．
（1）每個(gè)男生包和女生包的利潤分別是多少元？
（2）在兩種書包的進(jìn)價(jià)不變的情況下，第三周店主調(diào)整了價(jià)格，男生包每個(gè)漲價(jià)元，女生包每個(gè)降價(jià)元，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，第三周兩種類型書包的銷量一樣，并且男生包的利潤達(dá)元，女生包的利潤達(dá)元．求出的值．
【答案】（1）每個(gè)男生包的利潤是元，每個(gè)女生包的利潤元
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程．
（1）設(shè)每個(gè)男生包的利潤是元，每個(gè)女生包的利潤是元，根據(jù)題中第一周和第二周的銷量情況和總利潤，列二元一次方程即可解答；
（2）根據(jù)兩種包的銷量一樣，列分式方程，即可解答．
【小問1詳解】
解：設(shè)每個(gè)男生包的利潤是元，每個(gè)女生包的利潤是元，
由題意得：，
解得：，
每個(gè)男生包的利潤是元，每個(gè)女生包的利潤元；
小問2詳解】
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
．
21. 中國5A級旅游景區(qū)開封市清明上河園中水車園的水車由立式水輪、竹筒、支撐架、水槽等部件組成，如圖是水車園中半徑為5m的水車灌田的簡化示意圖，立式水輪在水流的作用下利用竹筒將水運(yùn)送到點(diǎn)A處，水沿水槽流到田地，與水面交于點(diǎn)B，C，且點(diǎn)B，C，P在同一直線上，且，若點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為32m，立式水輪的最低點(diǎn)到水面的距離為2m．連接．
（1）求證：是的切線；
（2）請求出水槽的長度．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）連接，并延長交于D，連接，則，由切線的性質(zhì)及圓周角定理可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出米，證明，得出，可求出答案．
【小問1詳解】
證明：連接，并延長交于D，連接，
是直徑，
，
，
，，
，
，
即，
是的切線；
【小問2詳解】
過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，，
，，
，
，
，
，
，，
∴，
∴，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，在某中學(xué)的一場籃球賽中，李明在距離籃圈中心（水平距離）處跳起投籃，球出手時(shí)離地面，當(dāng)籃球運(yùn)行的水平距離為時(shí)達(dá)到離地面的最大高度．已知籃球在空中的運(yùn)行路線為一條拋物線，籃圈中心距地面．
（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求籃球運(yùn)動(dòng)路線所在拋物線的函數(shù)解析式；
（2）場邊看球的小麗認(rèn)為，李明投出的此球不能命中籃圈中心．請通過計(jì)算說明小麗判斷的正確性；
（3）在球出手后，未達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，被防守隊(duì)員攔截下來稱為蓋帽．但球到達(dá)最高點(diǎn)后，處于下落過程時(shí)，防守隊(duì)員再出手?jǐn)r截，屬于犯規(guī)．在（1）的條件下，防守方球員張亮前來蓋帽，已知張亮的最大摸球高度為，則他應(yīng)該在李明前面多少米范圍內(nèi)跳起攔截才能蓋帽成功？
【答案】（1）
（2）小麗的判斷是正確的，計(jì)算過程見解析
（3）張亮應(yīng)在李明前面1米范圍內(nèi)處跳起攔截才能蓋帽成功
【解析】
【分析】（1）由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，球出手時(shí)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，由待定系數(shù)法求解即可；
（2）求得當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，與比較即可說明小麗判斷的正確性；
（3）將代入函數(shù)的解析式求得x的值，進(jìn)而得出答案．
小問1詳解】
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為．
把代入，得．
；
【小問2詳解】
把代入拋物線解析式
得．
，
此球不能投中，小麗的判斷是正確的．
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，，
解之，得或．
，．
答：張亮應(yīng)在李明前面1米范圍內(nèi)處跳起攔截才能蓋帽成功．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23. 小賀同學(xué)在數(shù)學(xué)探究課上，用幾何畫板進(jìn)行了如下操作：首先畫一個(gè)正方形，一條線段，再以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑，畫分別交于點(diǎn)E．交于點(diǎn)G．過點(diǎn)E，G分別作，的垂線交于點(diǎn)F，易得四邊形也是正方形，連接．

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，
與的大小和位置關(guān)系：_________．
（2）【嘗試證明】如圖2，將正方形繞圓心A轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)過程中，上述（1）的關(guān)系還存在嗎？請說明理由．
（3）【思維拓展】如圖3，若，則
①在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B，A，G三點(diǎn)共線時(shí)，的值為__________；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，的最大值是
【答案】（1）
（2）存在，理由見解析
（3）①，②
【解析】
【分析】（1）①延長交于H，連接，證得三點(diǎn)共線，是等腰三角形，由四邊形是矩形，四邊形是矩形，可得出；
（2）通過延長交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．證得，即可得出答案；
（3）①延長、交于點(diǎn)Q，可得四邊形是矩形、四邊形是矩形，得出，，再利用勾股定理即可得出答案；②依題意可得出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，當(dāng)C、A、F三點(diǎn)共線，且時(shí)，取得最大值，即可得出答案．
【小問1詳解】
解：延長交于H，連接，

在正方形和正方形中：
，平分，平分，
∴，，
∴三點(diǎn)共線，
∴．
∵，，
∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案為∶．
【小問2詳解】
解：（1）中的關(guān)系存在．理由如下：

延長交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
∴且．
【小問3詳解】
解：①延長、交于點(diǎn)Q，

∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：．
②在正方形和正方形中∶
，
∴F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，
∴當(dāng)C、A、F三點(diǎn)共線，且時(shí)，取得最大值．
此時(shí)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、利用隱圓求線段最大值，難度系數(shù)較大，是中考壓軸題．

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