（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列各式是最簡二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、的被開方數(shù)a不確定，不一定是最簡二次根式，不符合題意；
B、，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、是最簡二次根式，符合題意；
D、中被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，解答關(guān)鍵是理解最簡二次根式的定義：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．
2. 有意義的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)數(shù)軸表示不等式的解集；根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，可得，據(jù)此求出的取值范圍，進(jìn)而即可．
【詳解】根據(jù)題意得：，解得．
故選：D．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B. ＝﹣7C. ＝3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減法逐項判斷即可
【詳解】A. ，故該選項正確，符合題意；
B. ＝7 ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ＝3,故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選A
【點睛】本題考查二次根式的化簡與加減運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
4. 實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則化簡后為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由數(shù)軸可知，，可得，，再化簡即可．
【詳解】由數(shù)軸可知，
∴，
∴
故選：D．
【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5. 計算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先計算二次根式乘法，再合并同類二次根式即可．
【詳解】原式=3-
=3-2
=．
故選：A．
【點睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
6. 用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（ ）

A. 14B. 20C. 23D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到規(guī)律，即可求解.
【詳解】解：因為第①個圖案中有2個圓圈，；
第②個圖案中有5個圓圈，；
第③個圖案中有8個圓圈，；
第④個圖案中有11個圓圈，；
…，
所以第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為；
故選：B.
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到第n個圖案的規(guī)律為是解題的關(guān)鍵.
7. 估計的值應(yīng)在（ ）
A. 4和5之間B. 5和6之間C. 6和7之間D. 7和8之間
【答案】A
【解析】
【分析】先計算二次根式的乘法，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可得．
【詳解】解：，
，
，即，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的乘法、無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．
8. 用作三角形的三邊，其中不能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的逆定理，熟練掌握定理是解題關(guān)鍵．
根據(jù)選項中的數(shù)據(jù)，由勾股定理的逆定理可以判斷a、b、c三邊組成的三角形是否為直角三角形．
【詳解】A：∵
∴
根據(jù)勾股定理的逆定理可得，用作三角形的三邊，能構(gòu)成直角三角形，故選項A不符合題意；
B：∵，
∴設(shè)，
∵，
∴用作三角形的三邊，能構(gòu)成直角三角形，故選項B不符合題意；
C：∵
∴ ，
∴用作三角形的三邊，不能構(gòu)成直角三角形，故選項C符合題意；
∵，
，
∴用作三角形三邊，能構(gòu)成直角三角形，故選項D不符合題意；
故選C．
9. 如圖，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一點，且DB＝DC，過BC上一點P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，則PE+PF的長是（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的面積判斷出PE+PF的長等于AC的長，這樣就變成了求AC的長；在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的長，再利用勾股定理就可以求出AC的長，也就是PE+PF的長．
【詳解】∵△DCB為等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=BD?PE+CD?PF=BD?AC，
∴PE+PF=AC，
設(shè)AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=4，
∴PE+PF=4．
故選C
【點睛】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法證明線段之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用勾股定理解決問題，屬于中考常考題型．
10. 如圖，在正方形中，O為對角線的中點，E為正方形內(nèi)一點，連接，，連接并延長，與的平分線交于點F，連接，若，則的長度為（ ）

A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接，根據(jù)正方形得到，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求得，再證明，求得，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中點等于斜邊的一半，即可求出的長度．
【詳解】解：如圖，連接，

四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在與,
，
，
，
，
O為對角線的中點，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形特征，作出正確的輔助線，求得是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本題共8小題，每小題4分，共32分．
11. 化簡： =____．
【答案】1
【解析】
【分析】直接運(yùn)用平方差公式求解即可．
【詳解】解：原式.
故答案為：1．
【點睛】本題考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．
12. 若，求=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性、絕對值的非負(fù)性，先根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性以及絕對值的非負(fù)性得到的值，然后代入即可求得結(jié)果，掌握概念性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得，，
解得：，
則，
故答案為：2．
13. -1的最小值是______．
【答案】0
【解析】
【分析】先將化簡為就能確定其最小值為1，再和1作差，即可求解．
【詳解】解：-1
=-1
∵最小值為：1，
∴-1的最小值是0．
故答案為0．
【點睛】本題考查了二次根式求最小值，其中運(yùn)用完全平方公式，化簡原式尋找求最小值的思路是解答本題的關(guān)鍵．
14. 若最簡二次根式、是同類二次根式，則______．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查了同類二次根式，最簡二次根式，掌握一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同列出方程，求出的值即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
整理得，，
故答案為：．
15. 如圖，在數(shù)軸上，以單位長度為邊長畫正方形，以正方形對角線長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點，則點表示的數(shù)為______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，首先求出正方形對角線的長度，再根據(jù)點A在數(shù)軸上的位置，確定點A表示的數(shù)，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
【詳解】∵正方形的邊長為1，
∴正方形對角線的長度，
∴點A表示．
故答案為：．
16. 如圖，在矩形中，，，E為的中點，連接，以E為圓心，長為半徑畫弧，分別與交于點M，N，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果保留）

【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)解答即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，E為的中點，
∴，，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和不規(guī)則面積的計算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、明確陰影面積為兩個全等的等腰直角三角形的面積減去兩個圓心角為的扇形面積是解題關(guān)鍵．
17. 若關(guān)于的不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為______．
【答案】13
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組、解分式方程，先通過不等式組的解確定a的范圍，再根據(jù)分式方程的解求a值即可得出答案，熟練掌握一元一次不等式組、分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
【詳解】解不等式組，
得：，
∵原不等式組的解集為：，
∴，
∴，
解分式方程得：，
∵且，
∴且，
∴且，
∴，且，
∴符合條件的整數(shù)a有：，0，2，3，4，5，
∴．
故答案為：13．
18. 對于一個四位自然數(shù)，若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)，，，是“天真數(shù)”；四位數(shù)，，不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為個“天真數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，記，，若能被10整除，則滿足條件的的最大值為______．
【答案】9313
【解析】
【分析】先根據(jù)題中新定義得到，進(jìn)而，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，再根據(jù)能被10整除求得，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，，，，，則，
∴，
∴，
若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴滿足條件的M的最大值為9313，
故答案為： 9313．
【點睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、數(shù)的整除等知識，理解新定義是解答的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19. 計算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查二次根式化簡,完全平方公式應(yīng)用．
（1）根據(jù)題意先去括號,再將每個二次根式化簡進(jìn)行運(yùn)算即可;
（2）根據(jù)題意先利用完全平方公式對進(jìn)行運(yùn)算,再對進(jìn)行有理化,先算乘法再算加減即可得到本題答案．
【小問1詳解】
解:,
,
,
,
,
故答案為:．
【小問2詳解】
解:,
,
,
,
,
故答案為:．
20. 如圖，在中，點B在邊上，連接，已知．
（1）求證：；
（2）求和的長．
【答案】（1）見解析；
（2）的長為17，的長為9
【解析】
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理.
（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到答案；
（2）設(shè)，則，由勾股定理列出方程，計算即可得到答案.
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
【小問2詳解】
解：設(shè)，則，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
則，
故的長為17，的長為9．
21. 先化簡：求當(dāng)，時的值．
【答案】；
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化；先根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算，然后得出，代入化簡結(jié)果，即可求解．
【詳解】解：
∵，
∴
∴原式
22. 已知滿足．
（1）求，的值；
（2）如果一個三角形的三邊長分別是，，，請化簡．
【答案】22.
23.
【解析】
【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，
（1）根據(jù)完全平方式和絕對值的非負(fù)性質(zhì)求出a、b的值即可；
（2）利用三角形的三邊關(guān)系化簡即可；
熟知任意一個數(shù)的絕對值或偶次方都是非負(fù)數(shù)以及三角形三邊關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
∵ ，
∴，
∴，
∴；
小問2詳解】
∵a、b、c為三角形的三邊長，
∴，
∴，，
23. 圖1為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．根據(jù)該圖，趙爽用兩種不同的方法計算正方形的面積，通過正方形面積相等，從而證明了勾股定理．現(xiàn)有4個全等的直角三角形（圖2中灰色部分），直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，將它們拼合為圖2的形狀．

（1）小誠同學(xué)在圖2中加了相應(yīng)的虛線，從而輕松證明了勾股定理，請你根據(jù)小誠同學(xué)的思路寫出證明過程；
（2）當(dāng)，時，求圖2中空白部分的面積．
【答案】（1）見解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖形可得，圖2中圖形的總面積可以表示為：以c為邊的正方形的面積+兩個直角三角形的面積；也可以表示為：以a和b為邊的兩個小正方形的面積+兩個直角三角形的面積；兩種表示方法面積相等，即可求證；
（2）根據(jù)圖形可得空白部分面積等于以c為邊的正方形的面積-兩個直角三角形的面積，將，代入求解即可．
小問1詳解】
解：圖2中圖形的總面積可以表示為：以c為邊的正方形的面積+兩個直角三角形的面積，
即，
也可以表示為：以a和b為邊的兩個小正方形的面積+兩個直角三角形的面積，
即，
∴，即．
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，，
由圖可知，空白部分面積=以c為邊的正方形的面積-兩個直角三角形的面積，
即：空白部分面積為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，得出圖形面積的兩種不同表示方法．
24. 某糧食生產(chǎn)基地為了落實在適宜地區(qū)開展雙季稻中間季節(jié)再種一季油菜的號召，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計劃用基地的甲、乙兩區(qū)農(nóng)田進(jìn)行油菜試種．甲區(qū)的農(nóng)田比乙區(qū)的農(nóng)田多10000畝，甲區(qū)農(nóng)田的和乙區(qū)全部農(nóng)田均適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同．
（1）求甲、乙兩區(qū)各有農(nóng)田多少畝？
（2）在甲、乙兩區(qū)適宜試種的農(nóng)田全部種上油菜后，為加強(qiáng)油菜的蟲害治理，基地派出一批性能相同的無人機(jī)，對試種農(nóng)田噴灑除蟲藥，由于兩區(qū)地勢差別，派往乙區(qū)的無人機(jī)架次是甲區(qū)的1.2倍（每架次無人機(jī)噴灑時間相同），噴灑任務(wù)完成后，發(fā)現(xiàn)派往甲區(qū)的每架次無人機(jī)比乙區(qū)的平均多噴灑畝，求派往甲區(qū)每架次無人機(jī)平均噴灑多少畝？
【答案】（1）甲區(qū)有農(nóng)田50000畝，乙區(qū)有農(nóng)田40000畝
（2）100畝
【解析】
【分析】（1）設(shè)甲區(qū)有農(nóng)田畝，則乙區(qū)有農(nóng)田畝，根據(jù)甲區(qū)農(nóng)田的和乙區(qū)全部農(nóng)田均適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同建立方程，解方程即可得；
（2）設(shè)派往甲區(qū)每架次無人機(jī)平均噴灑畝，派往甲區(qū)的無人機(jī)架次為架次，則派往乙區(qū)每架次無人機(jī)平均噴灑畝，派往乙區(qū)的無人機(jī)架次為架次，根據(jù)兩區(qū)噴灑的面積相同建立方程，解方程即可得．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲區(qū)有農(nóng)田畝，則乙區(qū)有農(nóng)田畝，
由題意得：，
解得，
則，
答：甲區(qū)有農(nóng)田50000畝，乙區(qū)有農(nóng)田40000畝．
【小問2詳解】
解：設(shè)派往甲區(qū)每架次無人機(jī)平均噴灑畝，派往甲區(qū)的無人機(jī)架次為架次，則派往乙區(qū)每架次無人機(jī)平均噴灑畝，派往乙區(qū)的無人機(jī)架次為架次，
由題意得：，即，
解得，
答：派往甲區(qū)每架次無人機(jī)平均噴灑100畝．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．
25. 閱讀下面的材料，解答后面提出的問題：
黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵，這是武俠小說中的常見描述，其意思是指兩個人合在一起，取長補(bǔ)短，威力無比，在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”，如：，，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．于是，二次根式除法可以這樣解：，．像這樣通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：
（1）有理化因式是_______，將分母有理化得________；
（2）已知，，則________；
（3）利用上面所提供的解法．請化簡；
【答案】（1）；
（2）10 （3）9
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式的運(yùn)算：
（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）將x與y分母有理化化簡后代入原式計算即可得到結(jié)果．
（3）原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果．
【小問1詳解】
∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案為：；；
【小問2詳解】
∵，，
∴，，
∴；
故答案為：10；
【小問3詳解】
．
26. 我們把對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．如圖1，已知四邊形，，像這樣的四邊形稱為“垂美四邊形”．

探索證明
（1）如圖1，設(shè)，，，，猜想，，，之間的關(guān)系，用等式表示出來，并說明你的理由．
變式思考
（2）如圖2，，是的中線，，垂足為O，，設(shè)，，，請用一個等式把，，三者之間的數(shù)量關(guān)系表示出來：____________________．
拓展應(yīng)用
（3）如圖3，在長方形中，E為的中點，若四邊形為“垂美四邊形”，且，求的長．
【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析
【解析】
【分析】（1）由在4個直角三角形中利用勾股定理，從而可得結(jié)論；
（2）由，可得四邊形是“垂美四邊形”，可得，再分別表示這4條線段，即可得到答案．
（3）由，E為的中點，可得．設(shè)，則．表示．結(jié)合（1）得，即，再解方程可得答案．
【詳解】解：（1）；
理由：∵，
∴．
在直角中，由勾股定理得．①
在直角中，由勾股定理得．②
在直角中，由勾股定理得．③
在直角中，由勾股定理得．④
由①+③得，
由②+④得，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴四邊形是“垂美四邊形”．
由（1）知．
∵，是的中線，，
∴，，，
∴，即．
（3）∵，E為的中點，
∴．
設(shè)，則．
∵，
∴．
由（1）得，即，
解得或（舍去），
∴．
【點睛】本題考查的是新定義的含義，勾股定理的應(yīng)用，利用平方根的含義解方程，三角形的中線的性質(zhì)，理解新定義的含義并靈活運(yùn)用結(jié)論解決問題是解題的關(guān)鍵．

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