本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．32B．24C．20D．16
2．在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A．1B．10C．40D．80
3．已知直線a，b和平面，，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則△ABC的面積為（ ）
A．1B．C．2D．
5．2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
A．B．C．1D．
6．記正項等差數(shù)列的前n項和為，，則的最大值為（ ）
A．9B．16C．25D．50
7．，，，則的值為（ ）
A．2B．1C．0D．－1
8．已知，，設(shè)點P是圓上的點，若動點Q滿足：，，則Q的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設(shè)事件A＝“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件B＝“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C＝“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則
A．事件A與B是互斥事件B．事件A與B是對立事件
C．事件B與C是互斥事件D．事件B與C相互獨立
10．已知復數(shù)z，下列說法正確的是（ ）
A．若，則z為實數(shù)B．若，則
C．若，則的最大值為2D．若，則z為純虛數(shù)
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的值域為
D．關(guān)于x的方程在區(qū)間有實數(shù)根，則所有根之和組成的集合為
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，，則的所有元素之和為______．
13．已知O為坐標原點，點F為橢圓的右焦點，點A，B在C上，AB的中點為F，，則C的離心率為______．
14．已知球O的表面積為，正四面體ABCD的頂點B，C，D均在球O的表面上，球心O為△BCD的外心，棱AB與球面交于點P．若平面，平面，平面，平面，且與之間的距離為同一定值，棱AC，AD分別與交于點Q，R，則△PQR的周長為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）為促進全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校統(tǒng)計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（2）開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．
16．（15分）
已知函數(shù)．
（1）若，曲線在點處的切線斜率為1，求該切線的方程；
（2）討論的單調(diào)性．
17．（15分）
如圖，在三棱柱中，與的距離為，，．
（1）證明：平面平面ABC；
（2）若點N在棱上，求直線AN與平面所成角的正弦值的最大值．
18．（17分）
已知O為坐標原點，點W為：和的公共點，，與直線相切，記動點M的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）若，直線與C交于點A，B，直線與C交于點，，點A，在第一象限，記直線與的交點為G，直線與的交點為H，線段AB的中點為E．
（i）證明：G，E，H三點共線;
（ii）若，過點H作的平行線，分別交線段，于點T，，求四邊形面積的最大值．
19．（17分）
記集合，對任意，設(shè)變換，．
定義運算：若，則，．
（1）若，用表示；
（2）證明：；
（3）若，，
證明：．
2024年高三年級第一次適應性檢測
數(shù)學參考答案及評分標準
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1－8：ADBA CCBA
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
9．AB10．AC11．BCD
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．
12．0；13．14．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）
解：（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1
日均閱讀時間的平均數(shù)為：
（分鐘）
（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人
的可能取值為：0，1，2
則
所以的分布列為：
16．（15分）
解：（1）當時，，解得
又因為，所以切線方程為：
（2）的定義域為，
當時，得恒成立，在單調(diào)遞增
當時，令，
（i）當即時，
恒成立，在單調(diào)遞增
（ii）當即時，
由得，或，
由得，
所以在，單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減
綜上：當時，在單調(diào)遞增；
當時，在，單調(diào)遞增；
在單調(diào)遞減
17．（15分）
解：（1）取棱中點D，連接BD，因為，所以
因為三棱柱，所以，
所以，所以
因為，所以，；
因為，，所以，所以，
同理，
因為，且，平面，所以平面，
因為平面ABC，
所以平面平面ABC
（2）取AB中點O，連接，取BC中點P，連接OP，則，
由（1）知平面，所以平面
因為平面，平面，
所以，，
因為，則
以O(shè)為坐標原點，OP，OB，所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz，
則，，，，
設(shè)點，
，，，
設(shè)面的法向量為，得，得，
取，則，，所以
設(shè)直線AN與平面所成角為，
則
若，則，
若，則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以直線AN與平面所成角的正弦值的最大值
18．（17分）
解：（1）設(shè)，切點為N，則，
所以
化簡得，所以C的方程為：
（2）（i）因為，所以可設(shè)，，
又因為，
所以G，E，F(xiàn)三點共線，同理，H，E，F(xiàn)三點共線，
所以G，E，H三點共線．
（ii）設(shè)，，，，AB中點為E，中點為F，
將代入得：，所以，，
所以，同理（均在定直線上）
因為，所以△EAT與△EAH面積相等，與△EBH面積相等；
所以四邊形面積等于四邊形GAHB面積
設(shè)，，
直線，即
整理得：直線，又因為，所以，
同理，直線，，所以
所以
所以四邊形GAHB面積
當且僅當，即，即時取等號，
所以△GAT面積的最大值為16．
19．（17分）
解：（1）因為，
所以
（2）因為，
所以
又因為
所以
所以
（3）對于，
因為，
所以，
所以
所以
所以
0
1
2

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