注意事項(xiàng)：
1．本試卷分為試題卷（1-6頁）和答題卡兩部分．滿分120分，考試時(shí)間共120分鐘．
2．考生答題前，請(qǐng)先將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等信息用黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上的指定位置．待監(jiān)考教師粘貼條形碼后，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)是否正確．
3．請(qǐng)將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡上相應(yīng)的位置，非選擇題答案用黑色墨跡簽字筆答在答題卡上的相應(yīng)位置．超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題均無效．
4．考試結(jié)束，監(jiān)考人員必須將參考學(xué)生和缺考學(xué)生的答題卡收回．
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將所選選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．趙爽弦圖 B．萊洛三角形 C．科克曲線 D．謝爾賓斯基三角形
2．若拋物線的開口向下，則m的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．1或
3．下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水滴石穿 C．水漲船高 D．水中撈月
4．如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)P落在上，兩邊分別交于A，B兩點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，直線l為二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．以上說法都不對(duì)
6．一個(gè)等腰三角形的底邊長是3，兩腰長是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則該等腰三角形的周長為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
7．如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．若點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，某園林公司計(jì)劃將一塊長、寬的矩形荒地改造成綠色公園，公園內(nèi)部修建四條寬度相等的石板路，余下區(qū)域（陰影部分）種植植被．若要使種植植被區(qū)域的面積占整個(gè)公園總面積的90%，求小路的寬．設(shè)小路的寬為，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
9．如圖，在扇形中，為的中點(diǎn)，將扇形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到扇形，連接，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論：①;②當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；③的長度可以等于5；④連接有可能是等邊三角形；⑤當(dāng)時(shí)，，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分，請(qǐng)把最簡答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）
11．如圖所示的方格紙中，若選擇一個(gè)標(biāo)有序號(hào)的小正方形涂色，使其與圖中陰影部分組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，則該小正方形的序號(hào)是_____________．
12．近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．如圖是一個(gè)面積為的正方形二維碼，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，小張?jiān)诙S碼內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影部分的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則可估計(jì)該二維碼中黑色陰影部分的面積為_____________．
13．如圖是二次函數(shù)的圖象，已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為_____________．
14．如圖，在中，，邊分別交于點(diǎn)D，E，連接，則的度數(shù)為_____________．
15．已知二次函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，且滿足．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值為，則t的值為_____________．
16．如圖，是的直徑，為的中點(diǎn)，P是直徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____________．
三、解答題（本大題共4個(gè)小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）
17．（5分）定義：若是方程的兩個(gè)整數(shù)根，且滿足，則稱此類方程為“自然方程”．例如：是“自然方程”．
現(xiàn)給出下面兩個(gè)方程，請(qǐng)通過計(jì)算說明這兩個(gè)方程是否是自然方程．
（1）;
（2）．
18．（6分）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)均在小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）畫出將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的;
（2）畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的．
19．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）若該方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若該方程的兩實(shí)數(shù)根滿足．求t的值．
20．（6分）如圖，已知是的直徑，C是上一點(diǎn)，連接，垂足為E．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求的長．
四、實(shí)踐應(yīng)用題（本大題共4個(gè)小題，第21小題6分，第22、23、24小題各8分，共30分）
21．（6分）某校為豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了五類社團(tuán)活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)）：A．音樂社團(tuán)：B．書法社團(tuán)：C．文學(xué)社團(tuán)；D．話劇社團(tuán)；E．科創(chuàng)社團(tuán)．該校為了解學(xué)生對(duì)這五類社團(tuán)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查一共抽取了_____________名學(xué)生；請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中E所在扇形圓心角的度數(shù)；
（3）現(xiàn)從“文學(xué)社團(tuán)”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率．
22．（8分）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時(shí)刻測(cè)得水面的寬度為，拱高（的中點(diǎn)到水面的距離）為．
（1）求所在圓的半徑；
（2）若水面下降，求此時(shí)水面的寬度（保留根號(hào)）．
23．（8分）如圖是甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽時(shí)的某個(gè)瞬間，羽毛球飛行的路線可看作拋物線的一部分，其豎直高度為，距發(fā)出點(diǎn)的水平距離為．甲在點(diǎn)O正上方的P處發(fā)出一球，已知點(diǎn)O與球網(wǎng)的水平距離為，球網(wǎng)的高度為．當(dāng)羽毛球運(yùn)動(dòng)到距發(fā)出點(diǎn)P的水平距離為處時(shí)，達(dá)到最大高度．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．
（2）該羽毛球能過球網(wǎng)嗎？請(qǐng)說明理由．
24．（8分）某廠生產(chǎn)一款藍(lán)牙耳機(jī)，2021年該藍(lán)牙耳機(jī)的出廠單價(jià)是200元，2022年和2023年連續(xù)兩年技術(shù)創(chuàng)新、降低成本，2023年該藍(lán)牙耳機(jī)的出廠單價(jià)調(diào)整為162元．
（1）這兩年該款藍(lán)牙耳機(jī)的出廠價(jià)下降的百分率相同，求每年出廠價(jià)下降的百分率．
（2）2023年某電器城以出廠價(jià)購進(jìn)若干個(gè)該款藍(lán)牙耳機(jī)，以200元/個(gè)的價(jià)格銷售時(shí)，平均每天可銷售20個(gè)．為了盡快減少庫存，該電器城決定降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該款藍(lán)牙耳機(jī)的單價(jià)每降低1元，每天可多售出2個(gè)，若每天盈利1150元，則該款藍(lán)牙耳機(jī)的單價(jià)應(yīng)降低多少元？
五、推理論證題（9分）
25．（9分）如圖1，為的外接圓，為與的交點(diǎn)，E為線段延長線上一點(diǎn)，連接，且．
圖1 圖2
（1）求證：是的切線；
（2）如圖2，若，點(diǎn)F在上，，點(diǎn)G在邊上且是的內(nèi)心，求的長．
六、拓展探究題（10分）
26．（10分）如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
備用圖
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）P是拋物線上位于直線上方一動(dòng)點(diǎn)，且在拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作x軸的平行線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿x軸向右平移6個(gè)單位長度，平移后的拋物線與平移前的拋物線交于點(diǎn)H，M為平移前拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)H，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
2023年秋季九年級(jí)診斷考試（一）
數(shù)學(xué) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．② 12．3.6 13． 14． 15． 16．4
三、解答題（本大題共4個(gè)小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）
17．解：（1）這里．
，
．
故根不是整數(shù)，該方程不是“自然方程”． 2.5分
（2）原方程可變形為．
，或，
．
故根是整數(shù)，且滿足，該方程是“自然方程”． 5分
18．解：（1）如圖，即為所作． 3分
（2）如圖，即為所作． 6分
19．解：（1）由題意，得，解得．
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為． 2分
（2）由題意，得．
，
，解得或（舍）．
故t的值是． 6分
20．解：（1）是的直徑，
． 1分
又，
，
，
，
． 4分
（2），
，
． 6分
四、實(shí)踐應(yīng)用題（本大題共4個(gè)小題．第21小題6分，第22、23、24小題各8分，共30分）
21．解：（1）200 1分
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
2分
提示：本次調(diào)查一共抽取的學(xué)生人數(shù)為（名），
∴參加活動(dòng)C的人數(shù)為（名）．
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中E所在扇形圓心角的度數(shù)為． 3分
（3）畫樹狀圖如下：
5分
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，
∴恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率為． 6分
22．解：（1）如圖，設(shè)所在圓的圓心為O，連接．
是的中點(diǎn)，，即為圓的半徑，
． 1分
設(shè)，則．
在中，，即，解得．
故所在圓的半徑為． 4分
（2）如圖，連接，設(shè)與交于點(diǎn)G，則．
在中，， 6分
，
．
故此時(shí)水面的寬度為． 8分
23．解：（1）由題意可知拋物線的頂點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為．
設(shè)該拋物線的函數(shù)解析式為． 2分
把代入，得，解得，
∴該拋物線的函數(shù)解析式為． 4分
（2）該羽毛球能過球網(wǎng)． 5分
理由：在中，令，得． 7分
，
∴該羽毛球能過球網(wǎng)． 8分
24．解：（1）設(shè)每年出廠價(jià)下降的百分率為x．
由題意，得， 2分
解得（不合題意，舍去）．
答：每年出廠價(jià)下降的百分率為10%． 3分
（2）設(shè)該款藍(lán)牙耳機(jī)的單價(jià)降低m元，則每個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)的利潤為元，每天可售出個(gè)．
由題意，得， 6分
解得．
∵要減少庫存，
．
答：該款藍(lán)牙耳機(jī)的單價(jià)應(yīng)降低15元． 8分
五、推理論證題（9分）
25．（1）證明：如圖1，連接．
，
，
．
，
，
． 2分
，
，即．
，
，即，
∴半徑，
是的切線． 4分
圖1
（2）解：如圖2，連接．
，
∴在中，，
． 5分
∵點(diǎn)G是的內(nèi)心，
．
，
． 7分
又，
，
，
． 9分
圖2
六、拓展探索題（10分）
26．解：（1）∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為． 1分
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，則，解得．
∴拋物線的函數(shù)解析式為． 2分
（2）由點(diǎn)，易得直線的函數(shù)解析式為．
由，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線．
設(shè)，則，
，
．
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為， 4分
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為． 5分
（3）∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
∴平移后的拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，即點(diǎn)．
為平移前拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，平移前拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴設(shè)．
，
． 6分
設(shè)．
①如圖1，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
，解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
，
的中點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
即的中點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
或，
解得或，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或； 7分
圖1
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
，此方程無解．
故此種情況不存在； 8分
③如圖2，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)， ，
，解得，即．
，
的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得，，解得，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或． 10分
圖2
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
C
B
D
A
D
B

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