一、選擇題
1．已知集合，，，則( )
A.B.C.D.
2．復(fù)數(shù)的虛部為( )
A.8B.-8C.D.
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則( )
A.2B.C.-2D.
4．在中，“”是“”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
5．過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線(xiàn)的夾角為，則( )
A.B.C.D.
6．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必須相鄰，那么排法種數(shù)為( )
A.24B.120C.48D.60
7．若系列橢圓的離心率，則( )
A.B.C.D.
8．已知等差數(shù)列（公差不為0）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為、，如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下1003個(gè)方程中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有( )個(gè)
A.499B.500C.501D.502
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知一組數(shù)據(jù)：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是( )
A.中位數(shù)不變B.平均數(shù)不變C.方差不變D.第40百分位數(shù)不變
10．雙曲線(xiàn)，左?右頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C左?右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，與其兩條漸近線(xiàn)分別交于R，S兩點(diǎn)，則下列命題正確的是( )
A.存在直線(xiàn)l，使得
B. l在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有
C.若直線(xiàn)l的方程為，存在k，使得取到最大值
D.若直線(xiàn)l的方程為，，則雙曲線(xiàn)C的離心率為
11．如圖所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體容器，D是的中點(diǎn)，E是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.直線(xiàn)與所成的角為
B.的周長(zhǎng)最小值為
C.如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為
D.如果在這個(gè)容器中放入4個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為
三、填空題
12．小于300的所有末尾是1的三位數(shù)的和等于__________.
13．已知函數(shù)，若恒成立，則__________.
14．已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)P的距離的最小值為2，則__________.
四、解答題
15．在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，.
（1）求a；
（2）已知點(diǎn)D在線(xiàn)段上，且，求長(zhǎng).
16．甲?乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為0.7,0.2,0.1，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為0.6,0.2,0.2，且甲?乙兩人射擊相互獨(dú)立.
（1）在一場(chǎng)比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；
（2）若獨(dú)立進(jìn)行三場(chǎng)比賽，其中X場(chǎng)比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
17．如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，,B為底面圓周上異于A(yíng),C的點(diǎn).
（1）在平面內(nèi)，過(guò)作一條直線(xiàn)與平面平行，并說(shuō)明理由.
（2）設(shè)平面平面,,與平面所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的取值范圍.
18．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，探究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
19．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線(xiàn)》一書(shū)中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比,是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線(xiàn)上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)F與右頂點(diǎn)A，且橢圓C的離心率為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過(guò)右焦點(diǎn)F斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C相交于B,D（點(diǎn)B在x軸上方），點(diǎn)S,T是橢圓C上異于B,D的兩點(diǎn)，平分,平分.
①求的取值范圍；
②將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線(xiàn)l的方程.
參考答案
1．答案：A
解析：，，，又，
.故選：A.
2．答案：B
解析：因?yàn)?故選：B.
3．答案：C
解析：由題在上的投影向量為，又，，即，.故選：C.
4．答案：A
解析：在中，，則，
充分性：當(dāng)時(shí)，，，
，所以“”是“”的充分條件；
必要性：當(dāng)時(shí)，取，，
此時(shí)滿(mǎn)足，但，
所以“”是“”的不必要條件.
綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.
5．答案：B
解析：圓圓心，半徑為；
設(shè)，切線(xiàn)為、，則，中，，所以.故選：B.
6．答案：C
解析：將A，B看成一體，A，B的排列方法有種方法，然后將A和B當(dāng)成一個(gè)整體與其他三個(gè)人一共4個(gè)元素進(jìn)行全排列，即不同的排列方式有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知排法種數(shù)為，故選：C.
7．答案：A
解析：橢圓可化為.
因?yàn)?，所以離心率，解得：.故選：A.
8．答案：D
解析：由題意得：，其中，，代入上式得：，
要方程無(wú)實(shí)數(shù)解，則，顯然第502個(gè)方程有解.設(shè)方程與方程的判別式分別為，,
則，
等號(hào)成立的條件是，所以,至多一個(gè)成立，
同理可證：,至多一個(gè)成立，,至多一個(gè)成立，且，綜上，在所給的1003個(gè)方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的方程最多501個(gè)，故有實(shí)數(shù)解的方程至少有502個(gè).故選：D.
9．答案：AD
解析：將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為12,16,22,24,25,31,33,35,45,
其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，
方差是，
由，得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)24.
將原數(shù)據(jù)去掉12和45，得12,16,22,24,25,31,33,35，
其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，
方差是，
由，得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)24，
故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故A，D正確，B，C錯(cuò)誤.
故選：AD.
10．答案：BD
解析：對(duì)于A(yíng)項(xiàng)：與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)不可能與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，得：，
設(shè)，,由根與系數(shù)關(guān)系得：，,
所以線(xiàn)段中點(diǎn)，
將直線(xiàn)，與漸近線(xiàn)聯(lián)立得點(diǎn)S坐標(biāo)為，
將直線(xiàn)與漸近線(xiàn)聯(lián)立得點(diǎn)R坐標(biāo)為，
所以線(xiàn)段中點(diǎn)，
所以線(xiàn)段與線(xiàn)段的中點(diǎn)重合，所以，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)：由B項(xiàng)可得，,因?yàn)闉槎ㄖ担?br>當(dāng)k越來(lái)越接近漸近線(xiàn)的斜率時(shí)，趨向于無(wú)窮，
所以會(huì)趨向于無(wú)窮，不可能有最大值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)：聯(lián)立直線(xiàn)l與漸近線(xiàn)，解得，
聯(lián)立直線(xiàn)l與漸近線(xiàn)，解得由題可知，，
所以即，
，解得，所以，故D項(xiàng)正確.
故選：BD.
11．答案：ACD
解析：A選項(xiàng)，連接，由于D為的中點(diǎn)，
所以，,又,,平面，
所以直線(xiàn)平面，又平面，所以，故A正確；
B選項(xiàng)，把沿著展開(kāi)與平面在同一個(gè)平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)E，則的最小值即為的長(zhǎng)，由于，,
，
，
所以，故,的周長(zhǎng)最小值為，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，
設(shè)球心為O，取的中點(diǎn)M，連接，,過(guò)點(diǎn)P作垂直于于點(diǎn)F，
則F為的中心，點(diǎn)O在上，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)N，
因?yàn)椋?所以，同理，
則，故，設(shè)，故，
因?yàn)椋?，即，解得，C正確；
D選項(xiàng)，4個(gè)小球分兩層（1個(gè)，3個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個(gè)小球外切，且小球與三個(gè)平面相切，設(shè)小球半徑為r，四個(gè)小球球心連線(xiàn)是棱長(zhǎng)為的正四面體，由C選項(xiàng)可知，其高為，由C選項(xiàng)可知，是正四面體的高，過(guò)點(diǎn)Q且與平面交于S，與平面交于Z，則，,由C選項(xiàng)可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的，如圖正四面體中，，,正四面體高為，解得，D正確.
故選：ACD.
12．答案：3920
解析：小于300的所有末尾是1的三位數(shù)101,111,121，…，291，
是以101為首項(xiàng)，以10為公差的等差數(shù)列，所以小于300的所有末尾是1的三位數(shù)的和為，故答案為：3920.
13．答案：1
解析：由題意得，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，與矛盾；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>記，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，所以，
又，所以，所以.
14．答案：，4,12
解析：設(shè)，
，
（i）當(dāng)，即時(shí)，有最小值，即有最小值，解得，由于，故.
（ii）當(dāng)，即時(shí)，有最小值，即有最小值，解得或12.
綜上，p的值為，4,12.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1），由余弦定理得，
即，，，則可得.
（2）由余弦定理，
，，，
則在中，由正弦定理可得，
.
16．答案：（1）0.2
（2）分布列見(jiàn)解析期望為0.6
解析：（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件B，
則事件B包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則.
（2）由題可知X的所有可能取值為0,1,2,3，
由（1）可知，在一場(chǎng)比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，
則，
所以，，
，，
故X的分布列為
所以.
17．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）取中點(diǎn)P，作直線(xiàn)，直線(xiàn)即為所求，取中點(diǎn)H，連接，,則有，,如圖，在等腰梯形中，.
,,四邊形為平行四邊形.
，又平面,平面，
平面.
（2）由題意作平面，即為四棱錐的高，
在中，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)為重合，
梯形的面積S為定值，，
當(dāng)最大，即點(diǎn)與重合時(shí)四棱錐的體積最大，又，,以為原點(diǎn)，射線(xiàn),,分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，在等腰梯形中，，此梯形的高，顯然為的中位線(xiàn)，
，，，，，，，，
設(shè)，，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
取，，
令，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上.
18．答案：（1）當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有2個(gè)不同的零點(diǎn)
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1），定義域?yàn)?
二次函數(shù)的判別式為，對(duì)稱(chēng)軸為.
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，
①，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；
②，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；
③，即時(shí)，在有2個(gè)不同的零點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在有2個(gè)不同的零點(diǎn).
（2）由（1）分析知，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，
則，解得，，
進(jìn)一步，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
易證，所以.
19．答案：（1）
（2）①②
解析：（1）方法①特殊值法，令，，且，解得.
，，橢圓C的方程為，
方法②設(shè)，由題意（常數(shù)），
整理得：，故，又，解得：,.
，橢圓C的方程為.
（2）①由，又，
（或由角平分線(xiàn)定理得），令，則，設(shè)，
則有，又直線(xiàn)l的斜率，則，，
代入得：，即，
，.
②由（1）知，，由阿波羅尼斯圓定義知，
S，T，F(xiàn)在以B，D為定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上，設(shè)該圓圓心為，半徑為r，與直線(xiàn)l的另一個(gè)交點(diǎn)為N，則有，即，解得：.
又，故,,
又，
.
解得：,,,直線(xiàn)l的方程為.
X
0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.008

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