全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交。
5．本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．2C．D．
3．從1，2，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來(lái)的（ ）
A．倍B．3倍C．倍D．9倍
5．已知，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．2C．D．
7．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在準(zhǔn)線上．滿足軸．若，則（ ）
A．2B．C．3D．
8．在遞增等比數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且是和的等差中項(xiàng)，則（ ）
A．28B．20C．18D．12
9．已知函數(shù)且滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．2
10．已知函數(shù)滿足（其中是的導(dǎo)數(shù)），若，，，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．正四棱錐內(nèi)有一球與各面都相切，球的直徑與邊的比為，則與平面所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
12．已知斜率為的直線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知向量，，且，則______．
14．已知銳角，滿足，，則______．
15．如圖所示是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，途中的“小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第個(gè)圖的化學(xué)鍵和原子的個(gè)數(shù)之和為_(kāi)_____個(gè)．（用含的代數(shù)式表示）
15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（本小題滿分12分）
清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先，是中華民族自古以來(lái)的優(yōu)良傳統(tǒng)．某社區(qū)進(jìn)行流動(dòng)人口統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列聯(lián)表：
（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)完成以上列聯(lián)變，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)該社區(qū)流動(dòng)人口中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率；
（2）能否有的把握認(rèn)為回老家祭祖與年齡有關(guān)？
參考公式：，其中．
參考數(shù)據(jù)：
18．（本小題滿分12分）
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．
（1）證明：；
（2）若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積．
19．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，且為等邊三角形，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
20．（本小題滿分12分）
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）相互垂直且斜率存在的直線，都過(guò)點(diǎn)．直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線與曲線，分別交于，兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求線段的長(zhǎng)度．
23．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知，，函數(shù)的最小值為2，證明：
（1）；
（2）．
銅川市2024年高三質(zhì)量檢測(cè)卷?數(shù)學(xué)（理科）
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1．B 由題意知，，所以．故選B．
2．A ，則．故選A．
3．C 和為質(zhì)數(shù)有，共14種情況，因此概率為．故選C．
4．B 設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，則擴(kuò)大后的體積為，因?yàn)楦卟蛔?，故體積，即底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，原來(lái)側(cè)面積為，擴(kuò)大后的圓柱側(cè)面積為，故側(cè)面積擴(kuò)大為原來(lái)的3倍．故選B．
5．C 因?yàn)橹悬c(diǎn)為，又，所以，點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為．故選C．
6．C 因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以．故選C．
7．A 依題意，，為等邊三角形，．故選A．
8．A 根據(jù)題意得，，解得或（舍），則，故選A．
9．B 由可知：關(guān)于對(duì)稱，故，，時(shí)，取最小值為．故選B．
10．A ，令，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故，則，故，即．故選A．
11．C 設(shè)球心為，在平面內(nèi)的射影為，為中點(diǎn)，于，半徑為，，，則，．故選C．
12．C 設(shè)，，直線的方程為，其中，聯(lián)立得．，，由，得，即，，即，，整理得，離心率．故選C．
13． ，，，解得，，．
14． 由，，，均為銳角，得，，則．
15． 由圖，第1個(gè)圖中有6個(gè)化學(xué)鍵和6個(gè)原子；
第2個(gè)圖中有11個(gè)化學(xué)鍵和10個(gè)原子；
第3個(gè)圖中有16個(gè)化學(xué)鍵和14個(gè)原子，
觀察可得，后一個(gè)圖比前一個(gè)圖多5個(gè)化學(xué)鍵和4個(gè)原子，
則第個(gè)圖有個(gè)化學(xué)鍵和個(gè)原子，所以總數(shù)為．
16． ，即，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，，故符合題意，當(dāng)時(shí)，，，在上，不合題意，故．
17．解：（1）補(bǔ)全表格如下：
該社區(qū)50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為；
（2），
有的把握認(rèn)為是否回老家祭祖與年齡有關(guān)．
18．（1）證明：，
則，
而，
故，
故，
故；
（2）解：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，且，則，，故．
19．（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，
為等邊三角形，，
又側(cè)面底面，底面，側(cè)面底面，
平面．平面，，
又，分別為，中點(diǎn)，，
又，，
，平面，平面，
又平面，；
（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為4，
，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則即則可取，
，
直線與平面所成角的正弦值為．
20．解：（1）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為、．
由題意有解得
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）證明：設(shè)直線的斜率為，可得直線的斜率為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的方程為，
聯(lián)立方程消除后有，有，可得，，
同理，，
由對(duì)稱性可知直線所過(guò)的定點(diǎn)必定在軸上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
有，有，化簡(jiǎn)得，解得，
故直線過(guò)定點(diǎn)．
21．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，
所以在處的切線方程為；
（2）證明如下：由題意可知是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，
，，
．
要證成立，只需證，即證，
即證，即證，即證，
設(shè)，則，即證，
令，則，
在上單調(diào)遞減，則，，故．
22．解：（1）曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)得，
將代入，得曲線的極坐標(biāo)方程為，
由得，，
曲線的直角坐標(biāo)方程為；
（2）易知直線的極坐標(biāo)方程為，
代入曲線，的極坐標(biāo)方程得，，
．
23．解：由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
故的最小值為．
證明：（1），，，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)；
（2），，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．回老家
不回老家
總計(jì)
50周歲及以下
55
50周歲以上
15
40
總計(jì)
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
回老家
不回老家
總計(jì)
50周歲及以下
5
55
60
50周歲以上
15
25
40
總計(jì)
20
80
100

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