一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）
1．下列剪紙圖形中，是中心對稱圖形的有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
2．觀察如圖所示的頻數(shù)直方圖，其中組界為99.5~124.5這一組的頻數(shù)為（）
A．5B．6C．7D．8
3．若、的值均擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）
A．B．C．D．
4．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程的根的情況是（）
A．有兩個不相等實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根
6．下列各式計算正確的是（）
A．B．C．D．
7．已知點、在反比例函數(shù)的圖象上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．B．C．D．
8．如圖，菱形中，，對角線相交于點O，過點D作于點H，連接，若菱形的面積為，則的長為（）
A．4B．C．8D．
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）
9．為了了解“雙減”背景下全國中小學(xué)生完成課后作業(yè)的時間情況，比較適合的調(diào)查方式是________（填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）．
10．若分式有意義，則的取值范圍是________
11．?ABCD中，∠A+∠C＝200°，則∠A＝_______．
12．若無理數(shù)x與的積是一個正整數(shù)，則x的最小值是___________．
13．若關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值是______．
14．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為______．
15．已知反比例函數(shù)的圖象過點（2，3），則該函數(shù)的解析式為___________．
16．若一元二次方程兩個根是、，則的值是________
17．設(shè)函數(shù)y=x－4與的圖象的交點坐標(biāo)為（m，n），則的值為________．
18．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰，其中，則線段長的最小值是__________
三、解答題（本大題共有10小題，共96分）
19．化簡或計算：
（1）（2）
20．先化簡，再求值：，其中
21．為落實國家“雙減”政策，某學(xué)校在課后托管時間里開展了“音樂社團、體育社團、文學(xué)社團、美術(shù)社團”活動。該校從全校1200名學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你最喜歡哪一種社團活動（每人必選且只選一種）”的問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖。
根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）參加問卷調(diào)查學(xué)生共有__________人；
（2）條形統(tǒng)計圖中的值為_________，扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)為_____________°；
（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，可估計該校1200名學(xué)生中最喜歡“音樂社團”的約有多少人？
22．觀察下面的等式：，，，……
（1）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
（2）請運用分式的有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．
23．第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-14）會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是，表示ICME-14的舉辦年份．
（1）八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)_______；
（2）小華設(shè)計了一個進(jìn)制數(shù)143，換算成十進(jìn)制數(shù)是120，求的值．
24．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
（1）求證：DF=CF；
（2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面積．
25．小明和小剛約定周末到某體育公園去打羽毛球．他們到體育公園的距離分別是1200米、3000米．小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達(dá)，則小明需提前4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度．
26．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點．
（1）求k與m的值；
（2）為x軸上的一動點，當(dāng)△APB的面積為時，求a的值．
27．如圖，正方形的邊長為1，是一個直角邊長為1的等腰直角三角形，把正方形和拼成一個如圖所示的直角梯形，E、F分別為線段上兩個動點（不與D、P、C重合），且，的延長線分別交于H、G．
（1）求證：①；②；
（2）設(shè)，試問：是否存在這樣的值，使得和互相垂直平分，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
28．【提出問題】某數(shù)學(xué)活動小組在學(xué)習(xí)完反比例函數(shù)后，類比學(xué)到的方法嘗試研究函數(shù)時，提出了如下問題：
（1）初步思考：自變量的取值范圍是_______________
（2）探索發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，；當(dāng)時，．由此我們可猜想，該函數(shù)圖像在第_________象限；
（3）深入思考：當(dāng)時，，于是，當(dāng)時，即時，的最小值是2．
請仿照上述過程，求當(dāng)時，的最大值；
【實際應(yīng)用】（4）如圖，四邊形的對角線相交于點O，的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．
參考答案
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）
1．A
【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)后，能與原來圖形完全重合，則這個圖形叫中心對稱圖形，這點叫對稱中心．逐個進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①②③是中心對稱圖形，④不是中心對稱圖形，
故選：A．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念．解題關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)后與自身重合．
2．D
【解析】用總?cè)藬?shù)減去其他三組的人數(shù)即為所求頻數(shù)．
【詳解】解：20－3－5－4=8，
故組界為99.5~124.5這一組的頻數(shù)為8，
故選：D．
【點睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖，能夠根據(jù)要求讀出相應(yīng)的數(shù)據(jù)是解決本題的關(guān)鍵．
3．B
【解析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，x，y的值均擴大為原來的2倍，求出每個式子的結(jié)果，結(jié)果等于原式的即是答案．
【詳解】解：A．，不符合題意；
B．，符合題意；
C．，不符合題意；
D．，不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)．
4．B
【解析】直接利用同類二次根式的定義分別化簡二次根式求出答案．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，故該選項不符合題意；
B、，與，是同類二次根式，故該選項符合題意；
C、，與不是同類二次根式，故該選項不符合題意；
D、，與不是同類二次根式，故該選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是正確化簡二次根式．
5．A
【解析】根據(jù)即可判斷．
【詳解】解：，，，
，
一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
【點睛】本題主要考查利用判別式來判斷一元二次方程根的個數(shù)：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根，掌握利用判別式判斷方程根的方法是解題的關(guān)鍵．
6．C
【解析】由合并同類二次根式判斷A，B，由二次根式的乘除法判斷C，D．
【詳解】解：A、原計算錯誤，該選項不符合題意；
B、原計算錯誤，該選項不符合題意；
C、正確，該選項符合題意；
D、原計算錯誤，該選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查合并同類二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方運算，掌握以上知識是解題關(guān)鍵．
7．C
【解析】根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可得反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x增大而減小，則可得到，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵在反比例函數(shù)中，，
∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x增大而減小，
∵點、在反比例函數(shù)的圖象上，且，
∴，∴四個選項中只有C結(jié)論一定正確，故選C．
【點睛】本題考查比較反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時，圖象在一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
8．A
【解析】先由菱形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，利用勾股定理求出，進(jìn)而利用菱形面積公式求出，再證明是的中位線，即可得到．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，∴是等邊三角形，
∵，∴，
∴，
∵菱形的面積為，∴，∴，
∴（負(fù)值舍去），
∵O、H分別是的中點，∴是的中位線，∴，
故選A．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）
9．抽樣調(diào)查
【解析】
【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似進(jìn)行判斷．
【詳解】解：為了了解“雙減”背景下全國中小學(xué)生完成課后作業(yè)的時間情況，比較適合的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，
故答案為：抽樣調(diào)查．
【點睛】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．
10．
【解析】
【分析】根據(jù)分式有意義的條件進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．
11．100°
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝200°，可得∠A的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°．
故答案是：100°．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．
12．
【解析】
【分析】由題意可得x是含有的無理數(shù)，再根據(jù)最小的正整數(shù)是1，從而可求x的值．
【詳解】∵，無理數(shù)x與的積是一個正整數(shù)，
∴x是含有的無理數(shù)，
∵最小的正整數(shù)是1，
∴x其最小值為：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二次根式的乘除法，無理數(shù)，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
13．9
【解析】
【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于c的方程，求出c的值即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
解得．
故答案為：9．
【點睛】此題考查了根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）?方程沒有實數(shù)根．
14．10
【解析】
【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點為，
根據(jù)作圖可得，且平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
又，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
垂直平分，
，
四邊形是菱形，
，，
，
，
為的中點，
中，，，
，
，
四邊形AECF的周長為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
15．y=．
【解析】
【分析】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．首先設(shè)反比例函數(shù)解析式,再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點可得,
【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為,
【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點，必能滿足解析式.
16．
【解析】
【分析】根據(jù)、是一元二次方程的兩個根，則有，求解即可．
【詳解】解：由題意得
，
，故答案：．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
17．##
【解析】
【詳解】分析:把（m，n）代入y=x－4可得n-m=-4，把（m，n）代入可得mn=3，然后把通分，再把求得的n-m=-4，mn=3代入即可.
詳解: ∵把（m，n）代入y=x－4得n-m=-4，把（m，n）代入得mn=3，
∴=.
故答案為.
點睛:本題考查了函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)圖像上的點的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.
18．
【解析】
【分析】設(shè)，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到；根據(jù)推出，由此即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴線段長的最小值是，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，正確利用勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共有10小題，共96分）
19．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘除混合計算法則求解即可．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
【點睛】本題主要考查了二次根式的乘除混合計算，四則混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
20．，
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的混合計算法則化簡，然后代值計算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時，原式．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，二次根式的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
21．（1）60（2）11，（3）200人
【解析】
【分析】（1）用喜歡體育社團的人數(shù)除以其人數(shù)占比求出參與調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；
（2）根據(jù)（1）所求求出m和的值即可；
（3）用1200乘以樣本中喜歡“音樂社團”的人數(shù)占比即可得到答案．
【小問1詳解】
解：人，
∴參加問卷調(diào)查的學(xué)生共有60人，
故答案為：60；
【小問2詳解】
解：由題意得，，，
故答案為：11，；
【小問3詳解】
解：人，
∴估計該校1200名學(xué)生中最喜歡“音樂社團”的人數(shù)為200人．
【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．
22．（1）（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分?jǐn)?shù)的分母為3，4，5，…，另一個分?jǐn)?shù)的分母為前面兩個分母的乘積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．
（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．
【小問1詳解】
解：∵第一個式子，
第二個式子，
第三個式子，
……
∴第（n+1）個式子；
【小問2詳解】
解：∵右邊==左邊，
∴．
【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分式加法運算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中各分母的變化規(guī)律．
23．（1）2022 （2）9
【解析】
【分析】（1）根據(jù)八進(jìn)制換算成十進(jìn)制的方法即可作答；
（2）根據(jù)n進(jìn)制換算成十進(jìn)制方法可列出關(guān)于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【小問1詳解】
，
故答案為：2022；
【小問2詳解】
根據(jù)題意有：，
整理得：，
解得n=9，（負(fù)值舍去），
故n的值為9．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算以及一元二次方程的應(yīng)用等知識，根據(jù)題意列出關(guān)于n的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．
24．（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）先證明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性質(zhì)證明OC=OD，即可證明DF=CF=OC=OD；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可證明△OCD是等邊三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的長即可得到答案．
【小問1詳解】
解：在△DCF和△DCO中，
，
∴△DCF≌△DCO（ASA），
∴DF=DO，CF=CO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴DF=CF=OC=OD；
【小問2詳解】
解：∵△DCF≌△DCO，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形，
∴CD=OD=6，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘
【解析】
【分析】設(shè)小明的速度是米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是米/分鐘，根據(jù)如果兩人同時到達(dá)，則小明需提前4分鐘出發(fā)列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)小明的速度是米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是米/分鐘，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗得：是原方程的根，
∴，
答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘．
【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
26．（1）k值為，的值為6（2）或
【解析】
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式可得答案；
（2）先求解．由為x軸上的一動點，可得．由，建立方程求解即可．
【小問1詳解】
解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值為，的值為6．
【小問2詳解】
當(dāng)時，．
∴．
∵為x軸上的一動點，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想，建立方程都是解本題的關(guān)鍵．
27．（1）①證明見解析；②證明見解析
（2）存在使得和互相垂直平分
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，再證明即可利用證明；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理推出，從而推出，即；
（2）如圖所示，連接，根據(jù)題意可證明四邊形是菱形，則，再利用勾股定理得到，，據(jù)此建立方程求解即可．
【小問1詳解】
證明：①∵四邊形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：假設(shè)存在這樣的值，使得和互相垂直平分，
如圖所示，連接，
∵和互相垂直平分，
∴四邊形菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
解得，
∴存在使得和互相垂直平分．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判斷，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
28．（1）；（2）一、三；（3）；（4）25
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分母不為0即可求解；
（2）根據(jù)當(dāng)時，；當(dāng)時，即可判斷；
（3）模仿題干所給的求解過程，利用配方法即可求解；
（4）設(shè)，已知，，則由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四邊形的面積用含的代數(shù)式表示出來，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．
【詳解】解：（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍為：，
故答案：；
（2）∵當(dāng)時，；當(dāng)時，．
∴該函數(shù)的函數(shù)圖象在第一、三象限，
故答案為：一、三；
（3）當(dāng)時，，
∵，
∴當(dāng)時，即時，的最大值是．
當(dāng)時，的最大值為．
故答案為：；
（4）設(shè)，已知，
由等高三角形可知：，
四邊形面積，
∵
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即四邊形面積的最小值為25．
【點睛】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時本題還考查了函數(shù)的相關(guān)知識和等高三角形的性質(zhì)，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．

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