1．已知向量，，且，則
A．B．C．6D．8
2．已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是
A．若，，，則B．若，，，則
C．若，，，則D．若，，，則
3．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則
A．60B．120C．180D．240
4．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間，上的最大值為
A．B．1C．D．2
6．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則
A．B．C．D．
7．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線與交于，兩點(diǎn)．若，則的離心率為
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．某服裝公司對月份的服裝銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
若與線性相關(guān)，其線性回歸方程為，則下列說法正確的是
A．線性回歸方程必過
B．
C．相關(guān)系數(shù)
D．6月份的服裝銷量一定為272.9萬件
10．設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是
A．
B．若，則與中至少有一個(gè)是0
C．若，則
D．
11．已知圓，則下列命題是真命題的是
A．若圓關(guān)于直線對稱，則
B．存在直線與所有的圓都相切
C．當(dāng)時(shí)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為
D．當(dāng)時(shí)，直線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，，則最小值為4
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
13．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓．若用平行于圓錐的底面，且與底面的距離為的平面截圓錐，將此圓錐截成一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺，則小圓錐和圓臺的體積之比為 ．
14．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足對任意都成立，則能使成立的正整數(shù)的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）
已知函數(shù)，，．若在處與直線相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值和最小值．
16．（15分）
如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面．
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
17．（15分）
某6人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參志愿者活動(dòng)次數(shù)為2，3，4的人數(shù)分別為1，3，2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組的代表參加表彰會．
（1）求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；
（2）記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為，求的分布列和期望．
18．（17分）
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4．
（1）求；
（2）若直線與拋物線交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，且直線，的斜率之和為，證明：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．
19．（本小題滿分17分）
對于給定的正整數(shù)，記集合，，，，，，，2，3，，，其中元素稱為一個(gè)維向量．特別地，稱為零向量．
設(shè)，，，，，，，，，定義加法和數(shù)乘：，，，，，，，．
對一組向量，，，，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．
（1）對，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（2）已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．
（3）已知個(gè)向量，，，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：
（?。┤绻嬖诘仁?，，2，3，，，則這些系數(shù)，，，或者全為零，或者全不為零；
（ⅱ）如果兩個(gè)等式，，，，2，3，，同時(shí)成立，其中，則．
華僑城高級中學(xué)2024屆高三深圳一模適應(yīng)性考試（新結(jié)構(gòu)試題）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．已知向量，，且，則
A．B．C．6D．8
【解答】解：向量，，
，
又，
，
解得：，
故選：．
2．已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是
A．若，，，則B．若，，，則
C．若，，，則D．若，，，則
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對于，若，，設(shè)直線，的方向向量分別為，則平面，對應(yīng)法向量為，由，即，則，故正確；
對于，若，，，則與可能平行或相交，故錯(cuò)誤；
對于，若，，，則，或，或與相交，故錯(cuò)誤；
對于，若，，則，又，則或，錯(cuò)誤．
故選：．
3．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則
A．60B．120C．180D．240
【解答】解：解法一、設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，
所以，
所以．
解法二、因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，
所以，
所以．
故選：．
4．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為
A．B．C．D．
【解答】解：將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，，
的可能取值分別為1，2，3，4，5，6，有6種情況，
其中，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4時(shí)，的可能取值為4，只有1種情況，
這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為．
故選：．
5．已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間，上的最大值為
A．B．1C．D．2
【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，
，函數(shù)，，．
故當(dāng)時(shí)，取得最大值為．
故選：．
6．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)椋?br>由余弦定理可得，將，代入整理得，
所以．
故選：．
7．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線與交于，兩點(diǎn)．若，則的離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：如圖所示，
由已知，則漸近線，
即，
又，
即，且四邊形為矩形，
所以，
則，
又根據(jù)橢圓定義可知，
所以離心率．
故選：．
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②
聯(lián)立①②可得，
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，
故函數(shù)的最小值為．
故選：．
二．多選題（共3小題）
9．某服裝公司對月份的服裝銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
若與線性相關(guān)，其線性回歸方程為，則下列說法正確的是
A．線性回歸方程必過
B．
C．相關(guān)系數(shù)
D．6月份的服裝銷量一定為272.9萬件
【解答】解：對于，因?yàn)?，所以線性回歸方程必過，所以正確；
對于，由線性回歸直線必過，
所以，解得，所以正確；
對于，因?yàn)?，所以相關(guān)系數(shù)，所以錯(cuò)誤；
對于，當(dāng)時(shí)，，
所以可預(yù)測6月份的服裝銷量約為272.9萬件，所以錯(cuò)誤．
故選：．
10．設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是
A．
B．若，則與中至少有一個(gè)是0
C．若，則
D．
【解答】解：對于，設(shè)，，，，，
，，
，，，故正確；
對于，，
則，
故與中至少有一個(gè)是0，故正確；
對于，令，，滿足，但，故錯(cuò)誤；
對于，由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可知，，故正確．
故選：．
11．已知圓，則下列命題是真命題的是
A．若圓關(guān)于直線對稱，則
B．存在直線與所有的圓都相切
C．當(dāng)時(shí)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為
D．當(dāng)時(shí)，直線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，，則最小值為4
【解答】解：由圓，得，
所以圓心，半徑為，故不正確；
圓心，到的距離為，故存在直線與所有的圓都相切，故正確；
當(dāng)時(shí)，，得，
令，，
，故正確；
當(dāng)時(shí)，，得，
圓心，半徑．
因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e，
要使四邊形面積最小，則需最小，此時(shí)與直線垂直，
又到的距離為，
，故正確．
故選：．
三．填空題（共3小題）
12．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【解答】解：集合，集合，
，
，解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
13．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓．若用平行于圓錐的底面，且與底面的距離為的平面截圓錐，將此圓錐截成一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺，則小圓錐和圓臺的體積之比為 ．
【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為，小圓錐的底面半徑為，
則，由，
解得，
所以，
因?yàn)椋裕?br>由 相似于，可得，
所以，即，
所以小圓錐的體積，
圓臺的體積，
所以．
故答案為：．
14．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足對任意都成立，則能使成立的正整數(shù)的最小值為 19 ．
【解答】解：根據(jù)可知或；
當(dāng)時(shí)，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
所以，
則，
可得；
當(dāng)時(shí)，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
所以，
則，
解得，
不合題意，舍去；
若數(shù)列為等差和等比交叉數(shù)列，
又易知，；
若要使的值最小，
則，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
此時(shí)，
即；
故正整數(shù)的最小值為19．
故答案為：19．
四．解答題（共5小題）
15．已知函數(shù)，，．若在處與直線相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函數(shù)，
，
函數(shù)在處與直線相切，
，解得；
（2）由（1）可得，
，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，在處取得極大值即最大值，
所以（1），
又，，
所以．
16．如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面．
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【解答】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，．
因?yàn)?，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，．
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，
則，，從而四邊形為平行四邊形，
故．
因?yàn)槠矫?，二平面，所以平面?br>（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直平分線為軸，
，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)?，所以，，，?，，，
，1，，，
則，，，，，．
設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，得．
設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，得．
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
則．
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
17．某6人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參志愿者活動(dòng)次數(shù)為2，3，4的人數(shù)分別為1，3，2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組的代表參加表彰會．
（1）求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；
（2）記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為，求的分布列和期望．
【解答】解：（1）由題意可得，選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率．
（2）由題意可得，的所有可能取值為5，6，7，8，
，，
，，
故的分布列為：
故．
18．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4．
（1）求；
（2）若直線與拋物線交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，且直線，的斜率之和為，證明：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即，
因?yàn)榈拿娣e為4，所以，解得，所以；
證明：（2）若直線與拋物線交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，且直線，的斜率之和為，
由（1）得，，
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不適合題意；
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，設(shè)，，，，
由，得，則△，，，
因?yàn)橹本€，的斜率之和為，所以，即，所以，
所以，整理得，
所以直線，令，得，，
所以直線過定點(diǎn)．
19．對于給定的正整數(shù)，記集合，，，，，，，2，3，，，其中元素稱為一個(gè)維向量．特別地，稱為零向量．
設(shè)，，，，，，，，，定義加法和數(shù)乘：，，，，，，，．
對一組向量，，，，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．
（Ⅰ）對，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（Ⅱ）已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．
（Ⅲ）已知個(gè)向量，，，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：
（ⅰ）如果存在等式，，2，3，，，則這些系數(shù)，，，或者全為零，或者全不為零；
（ⅱ）如果兩個(gè)等式，，，，2，3，，同時(shí)成立，其中，則．
【解答】（Ⅰ）解：對于①，設(shè)，則可得，所以線性相關(guān)；
對于②，設(shè)，則可得，所以，，
所以線性相關(guān)；
對于③，設(shè)，則可得，解得，
可取，，滿足方程組，所以線性相關(guān)；
（Ⅱ）解：設(shè)，
則，
因?yàn)橄蛄?，，線性無關(guān)，所以，解得，
所以向量，，線性無關(guān)，
（Ⅲ）證明：，如果某個(gè)，，2，，，
則，
因?yàn)槿我鈧€(gè)都線性無關(guān)，所以，，，，，都等于0，
所以這些系數(shù)，，，或者全為零，或者全不為零，
因?yàn)?，所以，，，全不為零?br>所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，，，
所以．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/2/16 22:22:18；用戶：楊文武；郵箱：yangwenwu1984@163.cm；學(xué)號：2218179月份編號
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