壓軸題02 反比例函數(shù)的綜合問題（3題型+解題模板+技巧精講）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+練習(xí)+測(cè)試（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
壓軸題解題模板02
反比例函數(shù)的綜合問題
目錄
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u 題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題
題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題
題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合
題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題
【例1】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)和是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，？
【變式1-1】（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)A和點(diǎn)．

(1)求m的值和反比例函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍．
【變式1-2】（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線為常數(shù)與雙曲線（為常數(shù)）相交于，兩點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；
(2)在雙曲線上任取兩點(diǎn)和，若，試確定和的大小關(guān)系，并寫出判斷過程；
(3)請(qǐng)直接寫出關(guān)于的不等式的解集．
題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題
【例2】（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求的面積；
(3)請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．
【變式2-1】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點(diǎn)．

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足時(shí)x的取值范圍；
(3)點(diǎn)P在線段上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，若面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式2-2】（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)已知P為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式2-3】（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，A的橫坐標(biāo)為，B的縱坐標(biāo)為．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集．
(3)將直線向上平移n個(gè)單位，交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)E、F，連接、，若的面積為20，求直線的表達(dá)式．
【變式2-4】（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，將直線沿y軸向上平移3個(gè)單位長度后與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)D，E．

(1)求k，m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)連接，，求的面積．
題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合
【例3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與，軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，已知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．
(1)求，的值；
(2)平行于軸的動(dòng)直線與和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【變式3-1】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
(2)點(diǎn)在軸上，是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式3-2】（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式：
(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出x的取值范圍；
(3)在雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式3-3】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，過點(diǎn)B作AB的垂線l．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)C在直線l上，且的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．
一、解答題
1．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集；
(3)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，若為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．（，，為常數(shù)）

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖像直接寫出不等式的解集；
(3)為軸上一點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)將直線向上平移3個(gè)單位后，與軸交于點(diǎn)，與的圖像交于點(diǎn)，連接，求的面積．
6．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)B，，．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)C在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，連接并延長交x軸于點(diǎn)D，且，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
7．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，的面積是8．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時(shí)，過點(diǎn)C的直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)P，求交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
8．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為，在x軸上找一點(diǎn)P，使最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
9．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)，．

(1)求雙曲線及直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)將直線向下平移至處，其中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．連接，，求的面積；
(3)請(qǐng)直接寫出關(guān)于的不等式的解集．
10．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，．

(1)______，______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．
(2)點(diǎn)P在x軸上，若以B，O，P為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
題型解讀：
反比例函數(shù)的綜合問題在中考中常常以解答題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題考查居多.此類題型多是反比例函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合考查，一般要用到解不等式、圖形面積、特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形等相關(guān)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想. 此類題型常涉及以下問題：①求反比例函數(shù)的解析式；②求交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形面積；③利用函數(shù)圖象比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大?。虎芊幢壤瘮?shù)與幾何圖形綜合.下圖為反比例函數(shù)綜合問題中各題型的考查熱度.
下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的考查熱度.
解題模板：
技巧精講：利用函數(shù)圖象確定不等式的解集：
解題模板：
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