01 反比例函數(shù)k的幾何意義的綜合
1．（2023?寧波）如圖，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為 12 ，a的值為 9 ．
【分析】依據(jù)題意，設(shè)A（m，），再由AE∥x軸，BD∥y軸，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再結(jié)合△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，即可得解．
【解答】解：設(shè)A（m，），
∵AE∥x軸，且點(diǎn)E在函數(shù)y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且點(diǎn)B在函數(shù)y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y軸，點(diǎn)D在函數(shù)y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面積為9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m??＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，
∴S△BDE＝DB?（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）??（）?m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案為：12，9．
2．（2023?衢州）如圖，點(diǎn)A，B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點(diǎn)P，Q．作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．若OA＝2AB，Q為BE的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則k的值為 24 ．
【分析】設(shè)OA＝4a，因?yàn)镺A＝2AB，所以AB＝2a，則A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，則C（4a，4a），因?yàn)镃D⊥y軸，P在CD上，所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a，則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x＝k4a，由于Q為BE中點(diǎn)，切BE⊥x軸，所以BQ＝AB＝a，則Q（6a，a），由于Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根據(jù)已知陰影為矩形，長(zhǎng)為，寬為：a，面積為6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解決．
【解答】解：設(shè)OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，則B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q為BE中點(diǎn)，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四邊形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a，
∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N，
∴四邊形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
則k＝24，
故答案為：24．
3．（2023秋?趙縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C恰好落在雙曲線 上，且點(diǎn)O在AC上，AD交x軸于點(diǎn)E．
①當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m）時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為 （，﹣1） ；
②當(dāng)CE平分∠ACD時(shí)，正方形ABCD的面積為 12 ．
【分析】連接OD，作AM⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥x軸于點(diǎn)N，由正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，得OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，易證Rt△AOM≌Rt△ODN，再依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得OM＝DN，AM＝ON．
①根據(jù)已知條件，求出點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，），即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
②作EF⊥OA于點(diǎn)F，當(dāng)CE平分∠ACD時(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)易證ED＝EF，在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，所以AE＝EF＝ED，因?yàn)锳M⊥x軸，DN⊥x軸，易證△AME∽△DNE，，又因?yàn)镺M＝DN，所以，設(shè)OM＝x，則AM＝x，x?x＝，解得x＝，所以O(shè)A＝，AC＝，OD＝，求得S正方形ABCD＝＝12．
【解答】解：連接OD，作AM⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥x軸于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，
∵AM⊥x軸，DN⊥x軸，
∴∠AMO＝∠OND＝90°，
∵∠AOM+∠DON＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠DON＝∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM＝DN，AM＝ON，
①將A（1，m）代入，
得m＝，
∴A（1，），
∴OM＝DN＝1，AM＝ON＝，
∴D（，﹣1），
故答案為：（，﹣1）．
②作EF⊥OA于點(diǎn)F，
∵CE平分∠ACD，EF⊥OA，ED⊥CD，
∴ED＝EF，
在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，
∴AE＝EF，
∴AE＝ED，
∵AM⊥x軸，DN⊥x軸，
∴∠AME＝∠DNE＝90°，
又∵∠AEM＝∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴，
∵OM＝DN，
∴，
設(shè)OM＝x，則AM＝x，
∵點(diǎn)A在函數(shù)上，
∴x?x＝，
解得x＝，
∴OA＝，AC＝，OD＝，
∴S正方形ABCD＝＝12．
故答案為：12．
02 反比例函數(shù)與三角形相似
1．（2023?浙江模擬）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y1＝（x＞0）上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （，） ．
【分析】延長(zhǎng)PA交x軸于C，延長(zhǎng)PB交y軸于D，設(shè)點(diǎn)P（a，b），可表示出A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得出＝，從而得出△PAB∽△PCD，進(jìn)而推出AB∥CD，根據(jù)OP＝2AB，進(jìn)而得出AB是△PCD的中位線，再證得△PAB∽△DBO，從而得出a，b的關(guān)系式，結(jié)合a?b＝3，從而求得a，b的值，進(jìn)而得出結(jié)果．
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)PA交x軸于C，延長(zhǎng)PB交y軸于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)P（a，b），
∴A（a，），B（，b），a?b＝3，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠APB＝∠CPD，
∴△PAB∽△PCD，
∴∠PAB＝∠PCD，
∴AB∥CD，
∴△PBA∽△PDC，
∴＝，
∵∠PDO＝∠COD＝∠PCO＝90°，
∴四邊形CODP是矩形，
∴AP＝CD，
∴＝＝，
∴B（，b），A（a，），
∵∠APB＝∠BDO＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝90°，
∴∠ABO＝90°，
∴∠DBO+∠ABP＝90°，
∴∠BOD＝∠ABP，
∴△BOD∽△ABP，
∴＝，
∴＝，
∴b2＝，
∵a?b＝3，
∴a＝，b＝，
故答案為：（，）．
2．（2023?余姚市校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)A在y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在y＝（x＜0）的圖象上（C在B左邊），直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，直線AC交y軸于點(diǎn)M，直線BC交x軸于點(diǎn)N．則＝ ；＝m，＝n，則＝ ．
【分析】作AD⊥y軸交y軸于D，BE⊥x軸交x軸于E，CF⊥x軸交x軸于F，CG⊥y軸交y軸于G，再設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，），從而可以表示出AD＝a，OE＝﹣b CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，再根據(jù)三角形相似的判定定理得出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，可分別表示出OA：OB，MC：MA，NB：NC，再由直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．
【解答】解：如圖所示，作AD⊥y軸交y軸于D，BE⊥x軸交x軸于E，CF⊥x軸交x軸于F，CG⊥y軸交y軸于G，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，），
則AD＝a，OE＝﹣b，CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，
∵BE⊥x軸，
∴BE∥y軸，
∴∠EBO＝∠BOG，
∵∠BOG＝∠DOA，
∴∠EBO＝∠DOA，
∵AD⊥y軸，
∴∠BEO＝∠ODA＝90°，
∴△BEO∽△ODA，
∴OA：OB＝AD：OE＝﹣，
∵AD⊥y軸，CG⊥y軸，
∴△CGM∽△ADM，
∴＝＝﹣＝m，
∵BE⊥x，CF⊥x軸，
∴△NCF∽△NBE，
∴＝＝＝＝n，
∴＝＝﹣，
∵直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
由圖象可知，a＞0，c＜b＜0，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝﹣＝，＝﹣＝，
故答案為：；．
3．（2023?海曙區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A，B在函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，OB與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，AC∥y軸，AB⊥OB，則tan∠AOB＝ ．
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，可證得△OBE∽△BCF，△BCF∽△ABF，設(shè)A（a，），B（b，），則C（a，），可得：AF＝﹣，BF＝b﹣a，CF＝﹣，BE＝，OE＝b，利用相似三角形性質(zhì)可得：b＝2a，a2＝k，再由△ABF∽△OBE，可得＝＝＝＝＝，運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求得答案．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵AC∥y軸，BE⊥x軸，x軸⊥y軸，
∴AC∥BE，
∴∠ACB＝∠OBE，
∵∠OEB＝∠BEC＝90°，
∴△OBE∽△BCF，
∴＝，
∴BE?BF＝OE?CF，
∵AB⊥OB，
∴∠ABF+∠CBF＝90°
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ABF＝∠BCF，
∵∠CFB＝∠BFA＝90°，
∴△BCF∽△ABF，
∴＝，
∴BF2＝AF?CF，
設(shè)A（a，），B（b，），則C（a，），
∴AF＝﹣，BF＝b﹣a，CF＝﹣，BE＝，OE＝b，
∴，
解得：，
∴BF＝2a﹣a＝a，BE＝＝，
∵△OBE∽△BCF，△BCF∽△ABF，
∴△ABF∽△OBE，
∴＝＝＝＝＝，
在Rt△OAB中，tan∠AOB＝＝．
故答案為：．
03 反比例函數(shù)與特殊圖形的綜合
1．（2023春?北侖區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，∠OBA＝45°，BC⊥x軸于點(diǎn)C，將△OBC沿OB翻折得到△OBD，點(diǎn)D正好落在y＝（x＜0）的圖象上，已知C（4，0），A（10，0），則a＝ 48 ，b＝ ．
【分析】因?yàn)椤螼BA＝45°，可構(gòu)造一個(gè)圓心為P的圓，使∠OPA＝90°，則點(diǎn)B在圓P上，借助垂徑定理可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線，借助于全等和勾股定理可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：在直線x＝5上取點(diǎn)P（5，5），以P為圓心作⊙P，且經(jīng)過(guò)O，A兩點(diǎn)，
連接OP，AP，因?yàn)锳（10，0），且P（5，5），
所以∠OPA＝90°，
又∠OBA＝45°，
所以點(diǎn)B在⊙P上．
連接PB，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，
則EC＝5．
又PB＝PO＝，
在Rt△BEP中，PE＝1，PB＝，
所以BE＝7，則BC＝7+5＝12，
故B（4，12）．
所以a＝4×12＝48．
過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為H，記BD與y軸交點(diǎn)為F．
則∠ODF＝∠BHF＝90°，
又BH＝OD＝4，且∠DFO＝∠BFH
所以△ODF≌△BHF，則BF＝OF．
在Rt△BHF中，
42+HF2＝（12﹣HF）2，得HF＝．
則DF＝，OF＝．
過(guò)點(diǎn)D作y軸垂線，垂足為M．
則由面積法可知：，得DM＝．
在Rt△ODM中，由勾股定理求得：MO＝．
所以D（，）．
所以b＝＝．
故答案為：48，．
2．（2023春?蘭溪市校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+5與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A（3，a）和點(diǎn)B（2，b），點(diǎn)D，C分別是x軸和y軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足CD∥AB．

（1）求a，b的值及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若OD＝1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷四邊形ABCD的形狀并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)M是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AMD是以AM為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【分析】（1）把A（3，a）和B（2，b）分別代入y＝﹣x+5得：a＝2，b＝3；進(jìn)而把A（3，2）代入得k＝6，即可求解；
（2）根據(jù)CD∥AB，設(shè)CD的解析式為y＝﹣x+m，依題意得出D的坐標(biāo)為（1，0），進(jìn)而可得CD解析式為y＝﹣x+1，進(jìn)而得出，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，則E（0，3），故△BEC和△COD都等腰直角三角形，得出∠BCD＝90°，即可得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)∠MAD＝90°時(shí)，根據(jù)圖形可得M（5，1.2），②當(dāng)∠AMD＝90°時(shí)，由圖得M（3+n，n），代入反比例數(shù)解析式n（（3+n）＝6，解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：（1）把A（3，a）和B（2，b）分別代入y＝﹣x+5得：a＝2，b＝3；
把A（3，2）代入得k＝6，
∴所求反比例函數(shù)解析式為，
（2）∵CD∥AB，
∴設(shè)CD的解析式為y＝﹣x+m，
又∵OD＝1，D在x軸的正半軸上，
∴D的坐標(biāo)為（1，0），
以點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成的四邊形是矩形，理由如下：
CD解析式為y＝﹣x+1，
∴C（0，1），
∴A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
∴，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，則E（0，3），故△BEC和△COD都等腰直角三角形，如圖1，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴?ABCD是矩形；
（3）①當(dāng)∠MAD＝90°時(shí)，由圖2得：M（5，n），
∴5n＝6，則n＝1.2，
∴M（5，1.2）；
②當(dāng)∠AMD＝90°時(shí)，由圖3得M（3+n，n），
∴n（（3+n）＝6，
解得：（舍去），
∴M（，），
綜上所述：M的坐標(biāo)為（5，1.2），（，）．
04 反比例函數(shù)與新定義
1．（2023春?東陽(yáng)市期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的垂線所圍成的矩形，叫做P，Q的“關(guān)聯(lián)矩形”，如圖所示．
（1）已知點(diǎn)A（﹣2，0）
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），則點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的周長(zhǎng)為 14 ．
②若點(diǎn)C在直線y＝4上，且點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)矩形”為正方形，求直線AC的解析式．
（2）已知點(diǎn)M（1，﹣2），點(diǎn)N（4，3），若使函數(shù)的圖象與點(diǎn)M、N的“關(guān)聯(lián)矩形”有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．
【分析】（1）①畫出點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”，確定長(zhǎng)和寬，最后確定周長(zhǎng)；
②畫出點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)矩形”為正方形的圖形，點(diǎn)C有兩個(gè)位置，分別求直線AC的解析式；
（2）畫出點(diǎn)M、N的“關(guān)聯(lián)矩形”，若使函數(shù)的圖象與點(diǎn)M、N的“關(guān)聯(lián)矩形”有公共點(diǎn)，觀察函數(shù)中k的變化，找到k的臨界值，即函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)N（4，3、（4，﹣2）時(shí)，進(jìn)而求出k的取值范圍．
【解答】解：（1）①點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的長(zhǎng)為3﹣（﹣2）＝5，寬為2﹣0＝2，
∴周長(zhǎng)為（5+2）×2＝14．
故答案為：14．
②點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)矩形”為正方形時(shí)點(diǎn)C有兩個(gè)，C1（2，4），C2（﹣6，4），如圖所示：
設(shè)直線AC1的解析式為y＝k1x+b1，則
，
∴，
∴直線AC1的解析式為y＝x+2；
設(shè)直線AC2的解析式為y＝k2x+b2，則
，
∴，
∴直線AC2的解析式為y＝﹣x﹣2；
∴直線AC的解析式為y＝x+2或y＝﹣x﹣2．
（2）如圖所示：當(dāng)k＞0時(shí)，若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)N（4，3），則k＝12，所以0＜k≤12；
當(dāng)k＜0時(shí)，若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，﹣2），則k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；
∴若使函數(shù)的圖象與點(diǎn)M、N的“關(guān)聯(lián)矩形”有公共點(diǎn)，k的取值范圍為﹣8≤k＜0或0＜k≤12．
2．（2023?婺城區(qū)一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線x＝m與某函數(shù)圖象交點(diǎn)記為點(diǎn)P，作該函數(shù)圖象中，點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分關(guān)于直線x＝m的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，稱這個(gè)新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“迭代函數(shù)“．例如：圖1是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“迭代函數(shù)“的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)“的解析式為y＝．
（1）寫出函數(shù)y＝x+1關(guān)于直線x＝1的“迭代函數(shù)“的解析式為 y＝ ．
（2）若函數(shù)y＝﹣x2+4x+3關(guān)于直線x＝m的“迭代函數(shù)“圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0），則m＝ ．
（3）已知正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為：
A（a，a），B（a，﹣a），C（﹣a，﹣a），D（﹣a，a），其中a＞0．
①若函數(shù)y＝關(guān)于直線x＝﹣2的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形ABCD有3個(gè)公共點(diǎn)，則a＝ 3 ；
②若a＝6，函數(shù)y＝關(guān)于直線x＝n的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形ABCD有4個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為 0＜n＜1或﹣1＜n＜0或n＜﹣ ．
【分析】（1）根據(jù)“迭代函數(shù)”的定義畫出函數(shù)y＝x+1的“迭代函數(shù)”的圖象，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求出點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)，可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意可得，（﹣1，0）關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)在原拋物線上，代入即可得出m的值；
（3）①根據(jù)題意，作出此“迭代函數(shù)”，結(jié)合圖象可得出結(jié)論；
②根據(jù)題意，作出此“迭代函數(shù)”，結(jié)合圖象可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)C為直線x＝1與函數(shù)的交點(diǎn)，點(diǎn)A（2，3），
∴C（1，2），點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為B（0，3），
設(shè)BC所在直線的解析式為：y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝；
故答案為：y＝；
（2）根據(jù)題意可得，（﹣1，0）關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)（2m+1，0）在原拋物線上，
∴﹣（2m+1）2+4（2m+1）+3＝0，
解得m＝；
故答案為：；
（3）①如圖2﹣1，當(dāng)正方形的邊BC過(guò)點(diǎn)（﹣2，﹣3）時(shí)，a＝3，此時(shí)正方形ABCD與此迭代函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)；
如圖2﹣2，當(dāng)a＞3時(shí)，正方形ABCD與此迭代函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a繼續(xù)增大，交點(diǎn)超過(guò)4個(gè)，不符合題意；
故答案為：3；
②如圖3﹣1，當(dāng)n＝﹣1時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形ABCD有5個(gè)交點(diǎn)，
如圖3﹣2時(shí)，當(dāng)﹣1＜n＜0時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形ABCD有4個(gè)交點(diǎn)，符合條件；
如圖3﹣3時(shí)，當(dāng)0＜n＜1時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形ABCD有4個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)n＝1時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形ABCD有3個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6）；
如圖3﹣4，當(dāng)n＝﹣時(shí)，此迭代函數(shù)過(guò)點(diǎn)D，迭代函數(shù)與正方形ABCD有5個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)n＜﹣時(shí)，迭代函數(shù)與正方形ABCD有5個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
故答案為：0＜n＜1或﹣1＜n＜0或n＜﹣．
1．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，DB⊥x軸于點(diǎn)B，AC所在直線交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)A、E同時(shí)在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，已知直線AC的解析式為y＝x+b，矩形ABCD的面積為120，則k的值是（ ）
A．﹣20B．C．﹣40D．
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)G，根據(jù)題意可知，△EAM∽△EFB，△GOF∽△EBF，可得EM：AF＝EB：FB＝GO：FO，由直線AC的解析式為y＝x+b，可得G（0，b），F(xiàn)（﹣b，0），則OG＝b，OF＝﹣b，所以EM：AF＝GO：FO＝，設(shè)EM＝3a，則AM＝4a，由矩形的性質(zhì)可得AE＝EB＝5a，根據(jù)矩形ABCD的面積為120，列出方程，可得a2＝3；根據(jù)題意，點(diǎn)A，E同時(shí)在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，則E（，5a），A（﹣4a，5a﹣3a），即A（﹣4a，2a），所以k＝（﹣4a）?2a，由此可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)G，
∵DB⊥x軸，
∴AM∥FB，DB∥GO，
∴△EAM∽△EFB，△GOF∽△EBF，
∴EM：AM＝EB：FB，GO：FO＝EB：FB，
∴EM：AM＝GO：FO，
∵直線AC的解析式為y＝x+b，
∴G（0，b），F(xiàn)（﹣b，0），
∴OG＝b，OF＝b，
∴EM：AM＝GO：FO＝，
設(shè)EM＝3a，則AM＝4a，
∴AE＝5a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AE＝EB＝5a，
∵矩形ABCD的面積為120，
∴2×BD?AM＝120，即10a?4a＝120，
解得a2＝3，
根據(jù)題意，點(diǎn)A，E同時(shí)在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，
則E（，5a），A（﹣4a，5a﹣3a），即A（﹣4a，2a）．
∴k＝（﹣4a）?2a，
解得k＝﹣＝﹣40．
故選：C．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（a，b）是反比例函數(shù)在第三象限圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B為頂點(diǎn)，原點(diǎn)為對(duì)稱中心作矩形ABCD，AB⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O的直線MQ分別交AD、BC邊于點(diǎn)M、Q，以MQ為一邊作矩形MNPQ，且直線PN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，如果點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)中橫坐標(biāo)逐漸變小，那么矩形MNPQ的面積的大小變化情況是（ ）
A．先減小后增大B．先增大后減小
C．一直不變D．一直減小
【分析】連接EM、EH，先證明四邊形AEOG是矩形，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到矩形BHOE的面積，△OQE的面積，從而推出四邊形MNPQ的面積即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)G，BC與y軸交于點(diǎn)H，連接EM、EQ，
∵四邊形ABCD是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的矩形，
∴OM＝OQ，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，OG＝OH，OF＝OE，
∵AB⊥x軸，
∴∠OEA＝∠OEB＝∠GOE＝90°，
∴∠OEA+∠A＝180°，∠AEO+∠GOE＝180°，
∴AB∥y軸，AD∥x軸，
∴四邊形AEOG是矩形，
同理可證：四邊形BHOE，四邊形HCFO，四邊形FDGO都是矩形，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，
∴S矩形BHOE＝4，
∴S△OQE＝S矩形BHOE＝2，
∵OM＝OQ，
∴S△EQM＝2S△OQE＝4，
∵四邊形MNPQ是矩形，
∴矩形MNPQ的面積2S△EQM＝8，
∴矩形MNPQ的面積大小不變．
故選：C．
3．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，若BD＝2AC，則k＝ ﹣1 ．
【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸，證明△BEO～△AFO，推導(dǎo)出＝，再利用面積比結(jié)合k的幾何意義，計(jì)算出k的值．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸，如圖：
∵菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，
∴OB⊥OA，∠AOB＝90°，
∵∠AOF+∠FAO＝90°，∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠FAO＝∠BOE，
∴△BEO～△AFO，
又∵BD＝2AC，
∴＝，
∴＝，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴|xy|＝4，
∴S△BOE＝|xy|＝2，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，
∴|xy|＝|k|，
∴S△AOF＝|k|，
∴＝＝，
∴|k|＝1，
∴k＝1（舍）或k＝﹣1，
故答案為：k＝﹣1．
4．如圖，正比例函數(shù)y1＝x與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，另有一次函數(shù)y＝﹣x+b與y1、y2圖象分別交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在直線OA的上方），且OB2﹣BC2＝，則k＝ ．
【分析】設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，由此可得△OBD是等腰三角形，△BCF含30°的直角三角形，設(shè)BF＝t，則可表達(dá)點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)題干條件，建立方程，再根據(jù)點(diǎn)C在反比例函數(shù)上，可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，
令x＝0，
∴y＝b，
∴D（0，b），
令y＝x＝﹣x+b，
∴x＝b，
∴B（b，b），
∴DE＝OE＝b，
∴△OBD是等腰三角形，
∵OE＝b，BE＝b，
∴OB＝b，
∴∠BOE＝∠BDE＝30°，
∴∠EBD＝∠ABE＝60°，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，
∴∠BCF＝30°，
設(shè)BF＝t，則CF＝t，BC＝2t，
∴C（b﹣t，b+t），
∵OB2﹣BC2＝，
∴（b）2﹣4t2＝，
則t2＝b2﹣，
∵點(diǎn)C（b﹣t，b+t）在反比例函數(shù)y＝上，
∴k＝（b﹣t）（b+t）＝（b2﹣3t2）＝；
故答案為：．
5．如圖1，直線y1＝ax+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），交反比例函數(shù)y2＝的圖象于點(diǎn)B（﹣1，m），點(diǎn)P為第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)y2的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PC∥x軸交直線AB于點(diǎn)C，連接AP，BP，若△ACP的面積是△BPC面積的2倍，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）平面上任意一點(diǎn)Q（x，y），沿射線BA方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q'，點(diǎn)Q'恰好在反比例函數(shù)y2＝的圖象上：
①請(qǐng)寫出Q點(diǎn)縱坐標(biāo)y關(guān)于Q點(diǎn)橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)3＝ ﹣+2 ；
②定義min{a，b}＝，則函數(shù)Y＝min{y1，y3} 的最大值為 8 ．
【分析】（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)△ACP的面積是△BPC面積的2倍，分點(diǎn)P在B下方時(shí)和下方兩種情況分析得到點(diǎn)P坐標(biāo)即可；
（3）①根據(jù)平移規(guī)律可得Q′（x+1，y﹣2），代入y2＝﹣，即可求得答案；
②畫出y1＝﹣2x+4和y3＝﹣+2的圖象，結(jié)合圖象即可求得答案．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：0＝2a+4，
解得：a＝﹣2，
則一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x+4，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2x+4＝6＝m，即點(diǎn)B（﹣1，6），
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k＝﹣1×6＝﹣6，
則反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在B下方時(shí)，
若△ACP的面積是△BPC面積的2倍時(shí)，
則yC＝y(tǒng)B＝×6＝4，
當(dāng)y＝4＝﹣，
解得：x＝﹣，
則點(diǎn)P（﹣，4）；
當(dāng)P在點(diǎn)B上方時(shí)，同理可得：
點(diǎn)P（﹣，12），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，4）或（﹣，12）；
（3）①根據(jù)題意直線AB解析式為y＝﹣2x+4，點(diǎn)Q（x，y）沿射線BA方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q'，相當(dāng)于點(diǎn)Q向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到Q′，
∴Q′（x+1，y﹣2），
∵點(diǎn)Q′恰好在反比例函數(shù)y2＝﹣的圖象上，y﹣2＝﹣，
∴Q點(diǎn)縱坐標(biāo)y關(guān)于Q點(diǎn)橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)3＝﹣+2，
故答案為：﹣+2；
②在同一坐標(biāo)系中畫出y1＝﹣2x+4和y3＝﹣+2的圖象，如圖，
由圖象可知：min（y1，y3）＝，
∴函數(shù)Y＝min{y1，y3} 的最大值為8，
故答案為：8．
6．已知：一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A（m，2），B（3，n）兩點(diǎn)，且m，n滿足，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行，點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A上方時(shí)，連接OC，OA，且OC平分∠AOD，求的值．
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A下方時(shí)，點(diǎn)H是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在x軸上，若四邊形ABGH是平行四邊形．求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求解，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；
（2）證明AO＝AC，求解，可得，求解，從而可得答案；
（3）由四邊形ABGH是平行四邊形．可得AB∥HG，設(shè)，G（x，0），而H為CD的中點(diǎn)，可得，由平移的性質(zhì)可得：，從而可得答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，
解得：，
∴，B（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函數(shù)解析式為：，
把，B（3，1）代入y＝ax+b可得：
，
解得：，
∴一次函數(shù)為；
（2）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行，
∴∠DOC＝∠ACO，
∵OC平分∠AOD，
∴∠DOC＝∠AOC，
∴∠AOC＝∠ACO，
∴AO＝AC，
∵，
∴，而，
∴，
∵E在上，
∴，可得，即，
∴．
（3）∵四邊形ABGH是平行四邊形．
∴AB∥HG，
設(shè)，G（x，0），而H為CD的中點(diǎn)，
∴，
由平移的性質(zhì)可得：，
∴．
反比例函數(shù)k的幾何意義常用規(guī)律：

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