新高考數(shù)學一輪復習《雙曲線》學案基礎班（2份打包，原卷版+教師版）-試卷下載-教習網

(1)雙曲線的定義
把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
(2)雙曲線的標準方程
[思考] 要求雙曲線的標準方程，應確定哪些條件？
名師指津：(1)確定焦點的位置；(2)確定a和b的值．
講一講
1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程．
(1)經過點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))；
(2)c＝eq \r(6)，經過點(－5，2)，焦點在x軸上．
[嘗試解答] (1)法一：若焦點在x軸上，設雙曲線的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由于點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))和Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))在雙曲線上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝－16，,b2＝－9))(舍去)．
若焦點在y軸上，設雙曲線的方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
將P、Q兩點坐標代入可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝16，))所以雙曲線的標準方程為eq \f(y2, 9)－eq \f(x2,16)＝1.
法二：設雙曲線方程為eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn0，b>0)．
依題設有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝1，))∴所求雙曲線的標準方程為eq \f(x2,5)－y2＝1.
法二：∵焦點在x軸上，c＝eq \r(6)，∴設所求雙曲線方程為eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,6－λ)＝1(其中00，,00)，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(a,b)x，∴所求雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(3,4)x.
5．已知點(2,3)在雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________．
答案 2
解析由題意知eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，所以e＝eq \f(c,a)＝2.
課時達標訓練
[即時達標對點練]
題組1 根據(jù)雙曲線的標準方程研究幾何性質
1．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m的值為( )
A．－eq \f(1,4) B．－4 C．4 D.eq \f(1,4)
解析：選A 由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m0，b>0)的離心率為eq \f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
解析：選C 因為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦點在x軸上，所以雙曲線的漸近線方程為
y＝±eq \f(b,a)x.又離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(1,2)x.
7．雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(00)的離心率為eq \f(\r(5),2)，則雙曲線C的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
答案 C
解析已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq \f(\r(5),2)，故有eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).
故雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \f(1,2)x，故選C.
6．若一雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程為________．
答案 y2－3x2＝36
解析橢圓4x2＋y2＝64可變形為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦點為(0,4eq \r(3))，(0，－4eq \r(3))，離心率e＝eq \f(\r(3),2)，則雙曲線的焦點在y軸上，c′＝4eq \r(3)，e′＝eq \f(2,\r(3))，
從而a′＝6，b′2＝12，故所求雙曲線的方程為y2－3x2＝36.
7．求適合下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)兩頂點間的距離是6，兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分；
(2)漸近線方程為2x±3y＝0，且兩頂點間的距離是6.
解 (1)由兩頂點間的距離是6，得2a＝6，即a＝3.
由兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦點所在的坐標軸不確定，故所求雙曲線的標準方程為eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
(2)設雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即eq \f(x2,\f(λ,4))－eq \f(y2,\f(λ,9))＝1(λ≠0)，由題意得a＝3.
當λ>0時，eq \f(λ,4)＝9，λ＝36，雙曲線方程為eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1；
當λ0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦點坐標
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦點位置
焦點在x軸上
焦點在y軸上
a，b，c
的關系
c2＝a2＋b2
標準方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性
質
焦點
(±c，0)
(0，±c)
焦距
2c
2c
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
對稱性
對稱軸：x軸和y軸，中心：(0，0)
頂點
(±a，0)
(0，±a)
軸長
實軸長＝2a，虛軸長＝2b
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x