一、單選題
1．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．小李一周的總開(kāi)支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開(kāi)支如圖（2）所示，則以下判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂(lè)的支出
B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的
C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高
4．已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（ ）
A．16B．19C．25D．29
6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作圓的切線交軸于點(diǎn)，切點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底），，記為從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40
B．若，則
C．4名學(xué)生選報(bào)3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為種
D．展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56
10．梯形中，，沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，得到三棱錐，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在某個(gè)位置的點(diǎn)，使平面
B．若的中點(diǎn)為，則異面直線與所成角的大小和平面與平面所成角的大小相等
C．若平面平面，則三棱錐外接球的表面積是
D．若的中點(diǎn)為，則必存在某個(gè)位置的點(diǎn)，使
11．圍棋是古代中國(guó)人發(fā)明的最復(fù)雜的智力博弈游戲之一.東漢的許慎在《說(shuō)文解字）中說(shuō)：“弈，圍棋也”，因此，“對(duì)弈"在當(dāng)時(shí)特指下圍棋，現(xiàn)甲與乙對(duì)弈三盤，每盤贏棋的概率是，其中甲只贏一盤的概率低于甲只贏兩盤的概率.甲也與丙對(duì)弈三盤，每盤贏棋的概率是，而甲只贏一盤的概率高于甲只贏兩盤的概率.若各盤棋的輸贏相互獨(dú)立，甲與乙?丙的三盤對(duì)弈均為只贏兩盤的概率分別是和，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．，使得對(duì)，都有
D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題
12．已知單位向量滿足，則的范圍是 .
13．已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱與底面所成的角為，則該四棱臺(tái)的體積為 .
14．若曲線，且經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，則曲線的離心率可能為 .（寫出一個(gè)即可）.
四、解答題
15．已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為6.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
16．如圖，角的始邊為軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系記為.
(1)求的解析式；
(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞增區(qū)間.
17．如圖，空間六面體中,,，平面平面為正方形，平面平面.
(1)求證：；
(2)若，求平面與平面所成角的余弦值.
18．下表是2017年至2021年連續(xù)5年全國(guó)研究生在學(xué)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：
(1)現(xiàn)用模型作為回歸方程對(duì)變量與的關(guān)系進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型的擬合度很高.請(qǐng)計(jì)算該模型所表示的回歸方程（與精確到0.01）；
(2)已知2021年全國(guó)碩士研究生在學(xué)人數(shù)約為267.2萬(wàn)人，某地區(qū)在學(xué)碩士研究生人數(shù)占該地在學(xué)研究生的頻率值與全國(guó)的數(shù)據(jù)近似.當(dāng)年該地區(qū)要在本地區(qū)在學(xué)研究生中進(jìn)行一項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位在學(xué)研究生均可進(jìn)行問(wèn)卷填寫.某天某時(shí)段內(nèi)有4名在學(xué)研究生填寫了問(wèn)卷，X表示填寫問(wèn)卷的這4人中碩士研究生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：對(duì)于回歸方程
19．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)及極值；
(2)若，且，求證：為自然對(duì)數(shù)的底.
年份序號(hào)
1
2
3
4
5
人數(shù)（萬(wàn)人）
263
273
286
314
334
參考答案：
1．A
【分析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限列出不等式組，解出即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，
故，解得，
故選：A.
2．B
【分析】
求出集合，根據(jù)交集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋?
故選：B.
3．D
【分析】
條形圖各支出占食品支出的比例乘以即是條形圖各支出占總支出的比例，由此關(guān)系即可逐一判斷每一個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，肉蛋奶的支出占食品開(kāi)支的，
從而小李這一周用于肉蛋奶的支出占比（總開(kāi)支是單位1）與用于娛樂(lè)的支出占比（總開(kāi)支是單位1）大小關(guān)系為，故A描述正確，不符合題意；
對(duì)于B，小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中占比為，
對(duì)比其他類型的支出占比可知，B描述正確，不符合題意；
對(duì)于C，小李這一周用于主食的支出占比（總開(kāi)支是單位1）與通信的支出占比（總開(kāi)支是單位1）的大小關(guān)系為，
，故C描述正確，不符合題意；
對(duì)于D，小李這一周用于主食和蔬菜的總支出占比（總開(kāi)支是單位1）與日常支出占比（總開(kāi)支是單位1）的大小關(guān)系為，
，故D描述錯(cuò)誤，符合題意.
故選：D.
4．C
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，所以，
所以.
故選：C
5．A
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：A.
6．A
【分析】
在，可求得的值，繼而求得的值，在利用勾股定理建立等式關(guān)系，即可求解.
【詳解】如圖所示，
根據(jù)題意可知,
所以中，，
又因?yàn)椋裕?
在中，，
在中，,
即，
化為，即，
則雙曲線的漸進(jìn)性方程為，
故選:A.
7．B
【分析】
用定義證明函數(shù)的奇偶性及在上的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>又，所以為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，任取，
，
即，所以在上為減函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以，即，
設(shè)，則，
，若，則，所以，
因?yàn)椋裕?br>又，即，
所以，即，
故選：B.
8．C
【分析】
由題意求導(dǎo)并令，結(jié)合題意可求得，對(duì)是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行分類討論，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解.
【詳解】由題意，
令，則，即，所以，
又，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
從而
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是在得到之和還要對(duì)分類討論，得，由此即可順利得解.
9．ABD
【分析】
由百分位數(shù)的定義計(jì)算結(jié)果判斷選項(xiàng)A；由正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷選項(xiàng)B；由分步計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)C；由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)判斷選項(xiàng)D.
【詳解】數(shù)據(jù)，共8個(gè)數(shù)據(jù)，
從小到大排列為，，
所以第75百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)據(jù)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，即，A選項(xiàng)正確；
若，則正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為，
所以，B選項(xiàng)正確；
4名學(xué)生選報(bào)3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為種，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由二項(xiàng)式定理可知，展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10．BC
【分析】
由線面垂直的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；由面面角的定義判斷選項(xiàng)B；幾何法求三棱錐外接球半徑，計(jì)算表面積判斷選項(xiàng)C；由翻折軌跡判斷選項(xiàng)D.
【詳解】梯形中，，則梯形為等腰梯形，
過(guò)作的垂線，垂足為，為中點(diǎn)，
則有，由勾股定理得，，
，，則，
對(duì)于A，假設(shè)存在某個(gè)位置的點(diǎn)，使平面，由平面，則，
即梯形中，，顯然不成立，故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B，平面平面，的中點(diǎn)為，
平面，平面，
，則，又，
所以異面直線與所成角的大小和平面與平面所成角的大小相等，故B正確；
對(duì)于C，若平面平面，平面平面，
平面，，則平面，
中，，，則，
外接圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，
設(shè)三棱錐外接球球心為，半徑為，，
過(guò)球心作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),
，由，，
則有，解得，則有，
所以三棱錐外接球的表面積是，故C正確；
對(duì)于D，梯形中，四邊形為菱形，，則，
翻折過(guò)程中，點(diǎn)軌跡是的中點(diǎn)為圓心為直徑的半圓?。ú话c(diǎn)和點(diǎn)），則，
所以不存在點(diǎn)，使，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．ABC
【分析】
對(duì)于A，根據(jù)題意計(jì)算概率建立不等式，解出即可；對(duì)于B，計(jì)算出和，根據(jù)條件即可判斷；對(duì)于C，結(jié)合題意和選項(xiàng)B中結(jié)論，即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)條件，建立方程，化簡(jiǎn)后結(jié)合的范圍即可判斷.
【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意，甲與乙對(duì)弈只贏一盤的概率為，只贏兩盤的概率為，
則，解得，故，
甲與丙對(duì)弈只贏一盤的概率為，只贏兩盤的概率為，
則，解得，故，
故，則A正確；
對(duì)于B，由得，
則，即，
又，所以，所以，故B正確；
對(duì)于C，，使得對(duì)，結(jié)合B分析，只滿足，都有，故C正確；
對(duì)于D，令，則，化簡(jiǎn)為，
故，即，
又因?yàn)?，則，即，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
12．
【分析】根據(jù)條件，利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算得到，再利用，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)的夾角為，
因?yàn)椋?br>又為單位向量，得到，
又，得到，所以，
故答案為：.
13．/
【分析】
作出圖形，結(jié)合正四棱臺(tái)的性質(zhì)求其高，從而利于棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】記正四棱臺(tái)的上、下底面中心為，
連接，在平面中，過(guò)作,交于,
如圖所示：
則由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可知，
底面,從而底面，
所以為側(cè)棱與底面所成的角，
故，
又該正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，，
所以,
則，
故，
即該正四棱臺(tái)的高為，
所以該正四棱臺(tái)的體積為
.
故答案為：.
14．（或填或）
【分析】
分三種情況，代入兩點(diǎn)并結(jié)合離心率公式計(jì)算即可.
【詳解】當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，解得，
此時(shí)曲線方程，
此時(shí)離心率為；
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，解得，
此時(shí)曲線方程，
此時(shí)離心率為；
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，解得，
此時(shí)曲線方程，
此時(shí)離心率為；
故答案為：（或填或）.
15．(1)
(2).
【分析】
（1）求出后可求的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）直線的方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可求直線方程.
【詳解】（1）由題意，，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
（2）
由（1）可知
當(dāng)直線的方程為時(shí)，，
則，不符合題意.
不妨設(shè)直線的方程為，
由，得.
此時(shí)，.
由，得.
又，可得：，
整理得到：即，
解得，所以或.
故直線的方程為.
16．(1)
(2)和
【分析】
（1）根據(jù)條件得到直線的方程，利于點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可;
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)則得到函數(shù)解析式后，整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】（1）可知，
又直線的方程為，
故根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，
即.
（2）可知，
由，
得，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2).
【分析】（1）根據(jù)條件可得平面平面，利于面面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的向量表達(dá)形式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】（1）平面平面，
平面.
為正方形，，
同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面
平面平面，
.
（2）由于為正方形，平面平面，
可得平面.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，根據(jù)條件可知
則,
,
可知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則取，
，
平面與平面所成角的余弦值為.
18．(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，3.2人.
【分析】
（1）令，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的求法，代入公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意，按公式計(jì)算概率得到分布列和期望即可.
【詳解】（1）可令，則與成線性回歸關(guān)系，則的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖：
根據(jù)公式可得，則，，
則,
,
所以，，則.
（2）可求得該地區(qū)碩士研究生在學(xué)生數(shù)占總在學(xué)研究生人數(shù)的頻率值為，可知，因此隨機(jī)變量的分布列如下：
（人）.
19．(1)極小值點(diǎn)為，且極小值為；無(wú)極大值點(diǎn)和極大值；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出極值點(diǎn)及極值.
（2）令，結(jié)合已知用表示，變形要證不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理即得.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為，且極小值為；無(wú)極大值點(diǎn)和極大值.
（2）令，則，由，得，即，
不等式，，
則要證，只需證，即證，
令，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，
因此在上單調(diào)遞增，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即成立，
所以原不等式成立.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：涉及雙變量的不等式證明問(wèn)題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.
4
9
16
25
36
263
273
286
314
334
0
1
2
3
4

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