注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2.設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
3.小李一周的總開支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開支如圖（2）所示，則以下判斷錯誤的是（ ）
A.小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂的支出
B.小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的
C.小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D.小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高
4.已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（ ）
A.16 B.19 C.25 D.29
6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作圓的切線交軸于點(diǎn)，切點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線為（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），，記為從小到大的第個極值點(diǎn)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的有（ ）
A.數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40
B.若，則
C.4名學(xué)生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為種
D.展開式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56
10.梯形中，沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，得到三棱錐，則下列說法正確的是（ ）
A.存在某個位置的點(diǎn)，使平面
B.若的中點(diǎn)為，則異面直線與所成角的大小和平面與平面所成角的大小相等
C.若平面平面，則三棱錐外接球的表面積是
D.若的中點(diǎn)為，則必存在某個位置的點(diǎn)，使
11.圍棋是古代中國人發(fā)明的最復(fù)雜的智力博弈游戲之一.東漢的許慎在《說文解字）中說：“弈，圍棋也”，因此，“對弈"在當(dāng)時特指下圍棋，現(xiàn)甲與乙對弈三盤，每盤贏棋的概率是，其中甲只贏一盤的概率低于甲只贏兩盤的概率.甲也與丙對弈三盤，每盤贏棋的概率是，而甲只贏一盤的概率高于甲只贏兩盤的概率.若各盤棋的輸贏相互獨(dú)立，甲與乙?丙的三盤對弈均為只贏兩盤的概率分別是和，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.當(dāng)時，
C.，使得對，都有
D.當(dāng)時，
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知單位向量滿足，則的范圍是___________.
13.已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為2和4，側(cè)棱與底面所成的角為，則該四棱臺的體積為___________.
14.若曲線，且經(jīng)過這三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，則曲線的離心率可能為___________.（寫出一個即可）.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為6.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
16.（15分）如圖，角的始邊為軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系記為.
（1）求的解析式；
（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞增區(qū)間.
17.（15分）如圖，空間六面體中，，平面
平面為正方形，平面平面.
（1）求證：；
（2）若，求平面與平面所成角的余弦值.
18.（17分）下表是2017年至2021年連續(xù)5年全國研究生在學(xué)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：
（1）現(xiàn)用模型作為回歸方程對變量與的關(guān)系進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型的擬合度很高.請計(jì)算該模型所表示的回歸方程（與精確到0.01）；
（2）已知2021年全國碩士研究生在學(xué)人數(shù)約為267.2萬人，某地區(qū)在學(xué)碩士研究生人數(shù)占該地在學(xué)研究生的頻率值與全國的數(shù)據(jù)近似.當(dāng)年該地區(qū)要在本地區(qū)在學(xué)研究生中進(jìn)行一項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位在學(xué)研究生均可進(jìn)行問卷填寫.某天某時段內(nèi)有4名在學(xué)研究生填寫了問卷，X表示填寫問卷的這4人中碩士研究生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：對于回歸方程
19.（17分）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)及極值；
（2）若，且，求證：為自然對數(shù)的底.
2024年甘肅省高三月考（3月）
數(shù)學(xué)試題答案及評分參考
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對的得5分，部分選對的得部分分（9，11題答對一個選項(xiàng)得2分，10題答對一個選項(xiàng)得3分），有選錯的得0分.
9.ABD 10.BC 11.ABC
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 13. 14.（只寫一個即可）
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.
15.解：（1）由題意，，
解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）由（1）可知
當(dāng)直線的方程為時，，
則，不符合題意.
不妨設(shè)直線的方程為，
由，得.
則有恒成立.
由，得.
又，可得：
即，解得.
所以或.
故直線的方程為.
16.解：（1）可知，
又直線的方程為，
故根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，
即.
（2）可知，
由，得，
所以當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和
17.解：（1）平面平面，
平面.
為正方形，，同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面平面平面，
.
（2）由于為正方形，平面平面，可得平面.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，根據(jù)條件可知
則，
可知平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，
則取，
，
平面與平面所成角的余弦值為.
18.解：可令，則與成線性回歸關(guān)系，
根據(jù)公式可得，即.
（2）可求得該地區(qū)碩士研究生在學(xué)生數(shù)占總在學(xué)研究生人數(shù)的頻率值為，可知，因此隨機(jī)變量的分布列如下：
（人）.
19.解：（1）由于，
故當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，
所以當(dāng)時，函數(shù)取極小值，
即函數(shù)的極小值點(diǎn)為，且極小值為；無極大值點(diǎn)和極大值..
（2）令，則，
因?yàn)椋裕?br>要證，
而，只需證，即證，
令，則
令，則，
所以在為增函數(shù)，，
所以在為增函數(shù)，，故原不等式成立.年份序號
1
2
3
4
5
人數(shù)（萬人）
263
273
286
314
334
0
1
2
3
4

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