考生注意：
1.試卷分值：150分，考試時間：120分鐘.
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
3.所有答案均要答在答題卡上，否則無效.考試結(jié)束后只交答題卡.
一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.）
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A.8 B.-8 C. D.
3.已知向量，若向量在向量上的投影向量為，則（ ）
A.2 B. C.-2 D.
4.在中，“”是“”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A. B. C. D.
6.五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（ ）
A.24 B.120 C.48 D.60
7.若系列橢圓的離心率，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知等差數(shù)列（公差不為0）和等差數(shù)列的前項和分別為，如果關(guān)于的實系數(shù)方程有實數(shù)解，那么以下1003個方程中，有實數(shù)解的方程至少有（ ）個
A.499 B.500 C.501 D.502
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分，有選錯的得0分）
9.已知一組數(shù)據(jù)：，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.中位數(shù)不變 B.平均數(shù)不變
C.方差不變 D.第40百分位數(shù)不變
10.雙曲線，左?右頂點分別為為坐標(biāo)原點，如圖，已知動直線與雙曲線左?右兩支分別交于兩點，與其兩條漸近線分別交于兩點，則下列命題正確的是（ ）
A.存在直線，使得
B.在運動的過程中，始終有
C.若直線的方程為，存在，使得取到最大值
D.若直線的方程為，則雙曲線的離心率為
11.如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，是的中點，是上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A.直線與所成的角為
B.的周長最小值為
C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為
D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球全部進入），則小球半徑的最大值為
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.小于300的所有末尾是1的三位數(shù)的和等于__________.
13.已知函數(shù)，若恒成立，則__________.
14.已知拋物線，點為拋物線上的動點，點與點的距離的最小值為2，則__________.
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）
15.（13分）在中，的對邊分別為，已知.
（1）求；
（2）已知點在線段上，且，求長.
16.（15分）甲?乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨立.
（1）在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；
（2）若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
17.（15分）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于的點.
（1）在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由.
（2）設(shè)平面平面與平面所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時，求的取值范圍.
18.（17分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，探究零點的個數(shù)；
（2）當(dāng)時，證明：.
19.（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點的距離之比是一個常數(shù)，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準方程；
（2）如圖，過右焦點斜率為的直線與橢圓相交于（點在軸上方），點是橢圓上異于的兩點，平分平分.
①求的取值范圍；
②將點看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若外接圓的面積為，求直線的方程.
2024屆高三名校期末測試·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評分細則
1.【答案】A
【解析】，又
.故選：A.
2.【答案】B
【解析】因為.故選：B.
3.【答案】C
【解析】由題在上的投影向量為，又，即.故選：C.
4.【答案】A
【解析】在中，，則，
充分性：當(dāng)時，，
，所以“”是“”的充分條件；
必要性：當(dāng)時，取，
此時滿足，但，
所以“”是“”的不必要條件.
綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.
5.【答案】B
【解析】圓圓心，半徑為；
設(shè)，切線為，則中，，所以.故選：B.
6.【答案】C
【解析】將看成一體，的排列方法有種方法，然后將和當(dāng)成一個整體與其他三個人一共4個元素進行全排列，即不同的排列方式有，根據(jù)分步計數(shù)原理可知排法種數(shù)為，故選：C.
7.【答案】A
【解析】橢圓可化為.
因為，所以離心率，解得：.故選：A.
8.【答案】D
【解析】由題意得：，其中，，代入上式得：，
要方程無實數(shù)解，則，顯然第502個方程有解.設(shè)方程與方程的判別式分別為，
則
，
等號成立的條件是，所以至多一個成立，
同理可證：至多一個成立，至多一個成立，且，綜上，在所給的1003個方程中，無實數(shù)根的方程最多501個，故有實數(shù)解的方程至少有502個.故選：D.
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）
9.【答案】AD
【解析】將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，
其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，
方差是，
由，得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)24.
將原數(shù)據(jù)去掉12和45，得，
其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，
方差是，
由，得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個數(shù)24，
故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故A，D正確，B，C錯誤.
故選：AD.
10.【答案】BD
【分析】根據(jù)與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點可對A項判斷；設(shè)直線分別與雙曲線聯(lián)立，漸近線聯(lián)立，分別求出和坐標(biāo)，從而可對項判斷；根據(jù)，求出，從而可對D項判斷.
【解析】對于A項：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點，故A項錯誤；
對于項：設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立，得：，
設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系得：，
所以線段中點，
將直線，與漸近線聯(lián)立得點坐標(biāo)為，
將直線與漸近線聯(lián)立得點坐標(biāo)為，
所以線段中點，
所以線段與線段的中點重合，所以，故B項正確；
對于C項：由B項可得，因為為定值，
當(dāng)越來越接近漸近線的斜率時，趨向于無窮，
所以會趨向于無窮，不可能有最大值，故C項錯誤；
對于D項：聯(lián)立直線與漸近線，解得，
聯(lián)立直線與漸近線，解得由題可知，，
所以即，
，解得，所以，故D項正確.
故選：BD.
11.【答案】ACD
【解析】選項，連接，由于為的中點，
所以，又平面，
所以直線平面，又平面，所以，故正確；
選項，把沿著展開與平面在同一個平面內(nèi)，連接交于點，則的最小值即為的長，由于，
，
，
所以，故的周長最小值為，B錯誤；
選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，
設(shè)球心為，取的中點，連接，過點作垂直于于點，
則為的中心，點在上，過點作于點，
因為，所以，同理，
則，故，設(shè)，故，
因為，所以，即，解得，C正確；
選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與三個平面相切，設(shè)小球半徑為，四個小球球心連線是棱長為的正四面體，由選項可知，其高為，由選項可知，是正四面體的高，過點且與平面交于，與平面交于，則，由選項可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的，如圖正四面體中，，正四面體高為
，解得，正確.
故選：ACD.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.【答案】3920
【解析】小于300的所有末尾是1的三位數(shù)是，
是以101為首項，以10為公差的等差數(shù)列，所以小于300的所有末尾是1的三位數(shù)的和為，故答案為.
13.【答案】1
【解析】由題意得，
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，與矛盾；
②當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，
因為恒成立，所以，
記
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時單調(diào)遞減，
所以，所以，
又，所以，所以.
14.【答案】
【解析】設(shè)
（i）當(dāng)，即時，有最小值，即有最小值，解得，由于，故.
（ii）當(dāng)，即時，有最小值，即有最小值，解得或12.
綜上，的值為.
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）
15.【答案】（1）（2）
【解析】（1），由余弦定理得，
即，則可得；
（2）由余弦定理，
，
則在中，由正弦定理可得，
.
16.【答案】（1）0.2（2）分布列見解析期望為0.6
【解析】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，
則事件包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則.
（2）由題可知的所有可能取值為，
由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，
則，
所以，
，
故的分布列為
所以.
17.【解析】（1）取中點，作直線，直線即為所求，取中點，連接，則有，如圖，在等腰梯形中，.
四邊形為平行四邊形.
，又平面平面，
平面
（2）由題意作平面，即為四棱錐的高，
在Rt中，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時點為重合，
梯形的面積為定值，，
當(dāng)最大，即點與重合時四棱椎的體積最大，又，以為原點，射線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在等腰梯形中，，此梯形的高，顯然為的中位線，
，，
設(shè)，則，
設(shè)平面的一個法向量，則，
取，
令，則，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，綜上.
18.【解析】（1），定義域為.
二次函數(shù)的判別式為，對稱軸為.
當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向上，
①，即時，在上無零點；
②，即時，在上有1個零點；
③，即時，在有2個不同的零點；
綜上，當(dāng)時，在上無零點；
當(dāng)時，在上有1個零點；
當(dāng)時，在有2個不同的零點；
（2）由（1）分析知，當(dāng)時，在上有1個零點，設(shè)零點為，
則，解得，，
進一步，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以
易證，所以
.
19.【答案】（1）（2）①②
【解析】（1）方法①特殊值法，令，且，解得.
，橢圓的方程為，
方法②設(shè)，由題意（常數(shù)），整理得：
，故，又，解得：.
，橢圓的方程為.
（2）①由，又，
（或由角平分線定理得），令，則，設(shè)，
則有，又直線的斜率，則
代入得：，即，
.
②由（1）知，，由阿波羅尼斯圓定義知，
在以為定點的阿波羅尼斯圓上，設(shè)該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，則有，即，解得：.
又，故
又，
.
解得：直線的方程為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
A
B
C
A
D
AD
BD
ACD
0
1
2
3
0.512
0.384
0.096
0.008

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