一、選擇題
1．已知直線與直線垂直,則( )
A.-1B.1C.2D.4
2．已知,則( )
A.0B.-3C.2D.3
3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
4．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則公比q為( )
A.2或-3B.3C.2D.-3
5．若雙曲線的漸近線方程為,且過點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.B.C.D.
6．已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為,,若,則( )
A.B.C.D.
7．已知橢圓和點(diǎn),直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若四邊形為平行四邊形,則直線l的方程為( )
A.B.
C.D.
8．定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,對任意R,有,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件D.充要條件
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知橢圓的上頂點(diǎn)為B,左?右焦點(diǎn)分別為,,則下列說法正確的是( )
A.若,則
B.若橢圓C的離心率為,則
C.當(dāng)時(shí),過點(diǎn)的直線被橢圓C所截得的弦長的最小值為
D.若直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為A,,則
10．已知等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入k個(gè)數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列,以下說法正確的是( )
A.
B.當(dāng)時(shí),
C.當(dāng)時(shí),不是數(shù)列中的項(xiàng)
D.若是數(shù)列中的項(xiàng),則k的值可能為7
11．若函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,則下列說法正確的是( )
A.函數(shù)沒有極值點(diǎn)
B.是奇函數(shù)
C.點(diǎn)是函數(shù)的對稱中心
D.,
三、填空題
12．已知,為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓C上的點(diǎn),且,則三角形的面積為__________.
13．?dāng)?shù)列滿足：,,;令,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為__________.
14．過點(diǎn)可以作函數(shù)兩條互相垂直的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.
四、解答題
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
16．回答下列問題.
（1）已知函數(shù),在區(qū)間上存在減區(qū)間,求a的取值范國;
（2）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性;
17．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列;
（2）若,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.證明：.
18．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)的極值;
（2）若,對于任意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19．如圖,已知橢圓與橢圓有相同的離心率,點(diǎn)在橢圓上.過點(diǎn)P的兩條不重合直線,與橢圓相交于Q,H兩點(diǎn),與橢圓相交于A,B和C,D四點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）求證：;
（3）若,設(shè)直線,的傾斜角分別為,求證：為定值.
參考答案
1．答案：B
解析：因?yàn)橹本€與直線垂直,
所以,即.
故選：B.
2．答案：D
解析：已知,得,
由導(dǎo)數(shù)的定義可得,
故選：D.
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：,
,
,
,即,
解得或(舍去),
,
故選：B.
5．答案：C
解析：已知雙曲線的漸近線方程為,
則,,
又雙曲線過點(diǎn),
則,
則,
則,
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
故選：C.
6．答案：A
解析：
7．答案：C
解析：由于,所以P在橢圓C上,
設(shè)的中點(diǎn)為D,則,
則直線過點(diǎn)D,且D是的中點(diǎn),
設(shè),
則：,,
兩式相減并化簡得,所以,
即直線的斜率為,所以直線也即直線l的方程為,,
故選：C.
8．答案：A
9．答案：ABD
解析：對于A項(xiàng),若,因,可得,則,故A項(xiàng)正確;對于B項(xiàng),由可解得：,故B項(xiàng)正確;
對于C項(xiàng),時(shí),橢圓,因過點(diǎn)的直線被橢圓C所截的弦長的最小值為通徑長,即,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;
對于D項(xiàng),如圖,因?yàn)?,設(shè)點(diǎn),
由可得,
解得：,代入橢圓中,可得,
即,解得：,D項(xiàng)正確.
10．答案：ABD
解析：對于A,由題意得,A正確;
對于B,新數(shù)列的首項(xiàng)為2,公差為2,故,B正確;
對于C,由B選項(xiàng)知,令,則,即是數(shù)列的第8項(xiàng),C錯(cuò)誤;
對于D,插入k個(gè)數(shù),則,,,,
則等差數(shù)列中的項(xiàng)在新的等差數(shù)列中對應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,
于是,而是數(shù)列的項(xiàng),令,當(dāng)時(shí),,D正確.
故選：ABD.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：4
解析：根據(jù)橢圓定義可知,
由勾股定理可得,
所以可得,
因此可得三角形的面積為.
故答案為：4.
13．答案：
解析：數(shù)列滿足：,
即為,所以是等差數(shù)列,
設(shè)公差為d,由,,可得,解得,
則,,
數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,
上面兩式相減可得,
化簡可得.
14．答案：或者
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí),①,解得,
當(dāng)時(shí),②,式子①-②得,故,
因?yàn)?所以,所以,所以是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以;
（2）,
.
16．答案：（1）
（2）當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),在R上單調(diào)遞增：
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增
解析：（1）,,若函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間,
等價(jià)于,使得成立,可得）使得成立,構(gòu)建,可知開口向上,對稱軸,,故,解得,則a的取值范圍為.
（2）定義域?yàn)镽,,
令得或
①當(dāng)即時(shí),令得或,令得;
故在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
②當(dāng)即時(shí),恒成立,故在R上單調(diào)遞增;
③當(dāng)即時(shí),令得或,令得,在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增;
綜上,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),在R上單調(diào)遞增：
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.
17．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）證明：因?yàn)?可得,
即,
且,可得,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
（2）證明：由（1）可知,則,
可得,
則,
因?yàn)?則,所以.
18．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?
由函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,得,解得
此時(shí),.
令,得或.
當(dāng)和時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,（此處列表）
則當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,為,
當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,為.
（2）由得.
不等式可變形為,
即因?yàn)?,且,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
令,
則在上恒成立,
即在上恒成立
設(shè),則.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以,所以,
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意知,兩橢圓有相同的離心率,則有,,
又點(diǎn)在橢圓上,有,解得,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）要證,即證,
設(shè),,,,
當(dāng)直線斜率不存在時(shí),由橢圓對稱性可知成立,
當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,則方程為,
由得,
,,
由得,
,
得,,
,,則有.
所以與等底等高,有.
（2）由（2）可知,同理有,
由,可得,則有,
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
設(shè),,
由得,
,,
,,
所以,
即,
化簡得,即,由題意,所以,所以.

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