一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．設(shè)甲：，乙：已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則( )
A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件
C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件
3．將化成的形式是( )
A.B.C.D.
4．下列函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)的是( )
A.B.C.D.
5．已知，，，則( )
A.B.C.D.
6．函數(shù)的零點一定位于區(qū)間( )
A.B.C.D.
7．為了給地球減負，提高資源利用率，2020年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時尚.假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為2000萬元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的資金比上一年增長20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）( )
A.2030年B.2029年C.2028年D.2027年
8．已知函數(shù)若函數(shù)有三個不同的零點，則a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列說法正確的是( )
A.角為第一象限或第三象限角的充要條件是
B.終邊在y軸上的角的集合為
C.若是第三象限角，則是第二象限或第三象限角
D.用角度制和弧度制度量角，與所取圓的半徑大小有關(guān)
10．下列選項中說法正確的是( )
A.若用分層隨機抽樣的方法抽得兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為8，12，若這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10，則這兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重比值為1
B.一組數(shù)據(jù)3，3，4，5，6，x，9，10的分位數(shù)是6，則實數(shù)x的取值范圍是
C.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都加2，所得的一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
D.一組數(shù)據(jù)的方差為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都乘2，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差為
11．下列各式正確的是( )
A.B.C.D.
12．已知，則( )
A.B.C.D.
三、填空題
13．已知，且，則________.
14．已知函數(shù)在上有一個零點，用二分法求零點的近似值（精確度為0.1時，至少需要進行________次函數(shù)值的計算.
15．高斯是德國著名的數(shù)學家，是近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，若函數(shù)，則函數(shù)的值域為________.
四、雙空題
16．北京時間2022年9月24日晚，在2022年世界賽艇錦標賽女子四人雙槳決賽中，東京奧運冠軍組合崔曉桐?呂揚?張靈?陳云霞再次聯(lián)手出擊，強勢奪冠，繼2019年世錦賽后為中國隊實現(xiàn)該項目的成功衛(wèi)冕，賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇?雙人艇?四人艇?八人艇四種，不同艇種雖大小不同，但形狀相似.根據(jù)相關(guān)研究，比賽成績t（單位：min）與獎手數(shù)量n（單位：個）間的關(guān)系為（為常數(shù)且）.已知在某次比賽中單人艇2000 m的比賽成績?yōu)?.21 ，由于比賽記錄員的疏忽，現(xiàn)有一個用時為6.67 min的比賽成績但不清楚屬于哪一艇種，推斷該比賽成績所屬的艇種最有可能是________（從“單人艇”“雙人艇”“四人艇”“八人艇”中選擇一個即可）；若已知比賽的賽艇艇種為八人艇，推斷在相同比賽條件下該賽艇比賽成績的理論估計值為________（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）.
五、解答題
17．已知集合，.
(1)求；
(2)若且，求實數(shù)m的取值范圍.
18．已知函數(shù)過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
(1)求該函數(shù)的解析式并判斷其奇偶性；
(2)若實數(shù)滿足不等式，求實數(shù)t的取值范圍.
19．已知，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù).
(1)求與的解析式；
(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性并用定義證明.
20．已知扇形的圓心角是，半徑是r，弧長為l.
（1）若，，求扇形的面積；
（2）若扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù).
21．物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度為，經(jīng)過一段時間t后的溫度為T，則，其中，為環(huán)境溫度，a為參數(shù).某日室溫為，上午8點小王使用某品牌電熱養(yǎng)生壺燒1升水（假設(shè)加熱時水溫隨時間變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致），8分鐘后水溫達到，8點18分時，壺中熱水自然冷卻到.
(1)求8點起壺中水溫T（單位：）關(guān)于時間t（單位：分鐘）的函數(shù)；
(2)若當日小王在1升水沸騰（）時，恰好有事出門，于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫狀態(tài)，已知保溫時養(yǎng)生壺會自動檢測壺內(nèi)水溫，當壺內(nèi)水溫高于臨界值時，設(shè)備不加熱，當壺內(nèi)水溫不高于臨界值時，開始加熱至后停止，加熱速度與正常燒水一致，問養(yǎng)生壺（在保溫狀態(tài)下）多長時間后第二次開始加熱？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）
22．已知函數(shù).
(1)當時，寫出的單調(diào)區(qū)間（不需要說明理由）；
(2)當時，解不等式；
(3)若存在，，使得，求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：因為，所以，.
2．答案：A
解析：在上單調(diào)遞增，由的對稱軸為，開口向上，
，即，故甲是乙的充分不必要條件.故選：A.
3．答案：D
解析：.故選：D.
4．答案：B
解析：的定義域為R，而的定義域為，故A錯誤；的定義域為，故D錯誤；，與對應關(guān)系不一致，故C錯誤；
，定義域為R，與對應關(guān)系一致，B正確.故選：B.
5．答案：B
解析：因為，，所以.
6．答案：C
解析：，，又因為函數(shù)，在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，所以其零點一定位于區(qū)間.故選：C.
7．答案：B
解析：設(shè)經(jīng)過n年之后，投入資金為y萬元，則，由題意可得：，即，所以，即，又因為，，即從2029年開始該市全年用于垃圾分類的資金超過1億元.故選：B.
8．答案：D
解析：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當時，函數(shù)，當且僅當時取等號，函數(shù)的大致圖象，如圖，令，觀察圖象知，當時，方程有一個根，當時，方程有兩個不等根，函數(shù)有三個零點，等價于函數(shù)有兩個零點，，并滿足，，而函數(shù)對稱軸為，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：D.
9．答案：AB
解析：對于A，當角為第一象限角時，，，則；當角為第三象限角時，，，則，所以若角為第一象限或第三象限角，則.因為，即且，或且，當且時，角為第一象限角；當且時，角為第三象限角，所以若，則角為第一或第三象限角，所以角為第一或第三象限角的充要條件是，故A正確；對于B，終邊在y軸上的角的集合為，即，即，B正確；對于C，若是第三象限角，即，，則，，當k為偶數(shù)時，為第二象限角；當k為奇數(shù)時，為第四象限角，則是第二象限或第四象限角，故C錯誤；對于D，不論是用角度制還是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定義可知度量角與所取圓的半徑無關(guān)，故D不正確，故選：AB.
10．答案：AC
解析：A選項：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重為，，由，又，可解得，所以這兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重比值為1，故A正確；B選項：因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是從小到大第5項數(shù)據(jù)6，則，故B錯誤；C選項：將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都加2，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為原來數(shù)據(jù)平均數(shù)加2，故C正確；D選項：將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都乘2，則新數(shù)據(jù)的方差為原來數(shù)據(jù)方差的倍，故D錯誤；故選：AC.
11．答案：AC
解析：，故A選項正確；，故B選項錯誤；，故C選項正確；對于，故D選項錯誤.故選：AC.
12．答案：ABD
解析：因，即，，則a，b分別為函數(shù)，與圖象交點的橫坐標，而函數(shù)，互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，在同一坐標系中畫出，，的圖象，如圖，由圖知，點與關(guān)于直線對稱，于是得，，，，，A正確；，則，B正確；，C錯誤；，D正確.故選：ABD.
13．答案：
解析：由，而，，
，，，原式.
14．答案：4
解析：設(shè)對區(qū)間二等分n次，初始區(qū)間長度為1，第1次計算后區(qū)間長度為；第2次計算后區(qū)間長度為；第3次計算后區(qū)間長度為；第4次計算后區(qū)間長度為；故至少計算4次.故答案為：4.
15．答案：
解析：，，，，則，即，當時，；當時，；當時，；當時，，綜上，函數(shù)的值域為.
16．答案：雙人艇；
解析：由已知得，當時，，代入解得，當時，，故該比賽成績所屬的艇種最有可能是雙人艇；當時，，故在相同比賽條件下該賽艇比賽成績的理論估計值為.故答案為：雙人艇；.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意，則，解得，所以，
又，所以.
(2)因為，，即，所以，，
所以，解得，即實數(shù)m的取值范圍時.
18．答案：(1)，函數(shù)為偶函數(shù)
(2)
解析：(1)由題意函數(shù)過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交.，故在時，遞增，又此時遞減，故需滿足，由知，，而無限接近直線但又不與該直線相交，則，
又，，解得，，因為的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且，故函數(shù)為偶函數(shù).
(2)當時，，，，設(shè)，則，
因為，所以，，則，
所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.原不等式可化為，
因為函數(shù)為偶函數(shù)，，則有，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，兩邊平方，得，即，解得，
即實數(shù)t的取值范圍為.
19．答案：(1)，
(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析
解析：(1)由于函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，，因為，所以，即，
解得，.
(2)的定義域為，，，且，
則.
所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
20．答案：（1）
（2）最大值為25；
解析：（1）因為，
所以扇形的面積為.
（2）由題意可知：，即，
所以扇形的面積為，
當時，扇形面積的最大值為25，
此時，.
21．答案：(1)
(2)27分鐘后養(yǎng)生壺（在保溫狀態(tài)下）第二次開始加熱
解析：(1)當時，設(shè)，代入，，解得，則，由題意，代入，，，得，所以.
(2)若從降溫至，由題意有，代入，計算得分鐘，故經(jīng)過14分鐘養(yǎng)生業(yè)（在保溫狀態(tài)下）開始第一次加熱；從加熱至需要分鐘，從降溫至，，代入，，，可得，計算得分鐘，則共需要分鐘，故27分鐘后養(yǎng)生壺（在保溫狀態(tài)下）第二次開始加熱.
22．答案：(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
(2).
(3)或
解析：(1)當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
(2)當時，，記，
則，故為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，
不等式化為，即，即，即，從而由在R上單調(diào)遞增，得，即，解得，故不等式的解集為.
（3）設(shè)，，則問題轉(zhuǎn)化為存在，，使得，又注意到時，，且，可知問題等價于存在，，即在上有解.即在上有解，于是或在上有解，
進而或在上有解，
由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，
可知，，
故a的取值范圍是或.

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