一、單選題（每小題5分，共40分）
1．若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為
A．B．C．D．
2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 ，則的值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為
A．B．C．D．
6．如圖，在四面體中，且，用表示，則等于（ ）
A．B．
C．D．
7．某單位計(jì)劃從5人中選4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排兩人，則安排方法數(shù)為（ ）
A．30B．60C．120D．180
8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，，是拋物線上一點(diǎn)，且，從點(diǎn)引拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（每小題6分，共18分）
9．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)
B．由樣本數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程必過(guò)點(diǎn)
C．已知，，則
D．已知隨機(jī)變量，則
10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列D．取得最大值時(shí)，
11．如圖，在多面體ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分別是線段BC，PB的中點(diǎn)，Q是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得NQ⊥PB
B．存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與PE所成的角為30°
C．三棱錐Q-AMN體積的取值范圍為
D．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到CD中點(diǎn)時(shí)，CD與平面QMN所成角的正弦值為
三、填空題（每小題5分，共15分）
12．已知平行直線則的距離是 .
13．已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，，則的值為 .
14．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率 ．
四、解答題（77分）
15．（13分）（1）直線經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，且直線與直線垂直，求直線的方程；
（2）已知以為圓心的圓與圓O：相切，求圓的方程.
16．（15分）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，榮造良好的文化氛圍，某高中校團(tuán)委組織非畢業(yè)年級(jí)開(kāi)展了“我們的元宵節(jié)”主題知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有個(gè)人賽和團(tuán)體賽，每人只能參加其中的一項(xiàng)，根據(jù)各位學(xué)生答題情況，獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：
(1)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自高一的概率；
(2)從高一和高二獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
17．（15分）已知公比不為1的等比數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列的前三項(xiàng).
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．（17分）如圖，三棱柱中，，是的中點(diǎn)，．
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)求平面與平面的夾角的余弦值．
19．（17分）已知橢圓：的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且與軸，軸交于、兩點(diǎn)．
（i）若，求的值；
（ii）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：為定值．
2023-2024（下）高二開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)參考答案
1．B【詳解】直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，則，，
則，，故選：B.
2．A【詳解】由，可得，則.
3．D【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
令，得，的系數(shù)為.故選：D.
4．D【詳解】由題意圓即圓的圓心、半徑分別為，圓心到直線的距離為，所以，解得.故選：D.
5．A【詳解】試題分析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A．
6．C【詳解】因?yàn)?，所以，?br>故
故選：C
7．B【詳解】先從5人中選出4人值班，再?gòu)?人中選出2人值第三天，剩余2人分別值第一、二天，
所以安排方法數(shù)為.故選：B.
8．A【詳解】由題意，得拋物線的焦點(diǎn)為，易知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線AB的方程為，代入，整理得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，
又直線的方程為，同理，所以，所以，故拋物線，設(shè)點(diǎn)，則，所以，所以，所以，所以的面積為，易知，或，則，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，內(nèi)心為點(diǎn)，則由，得，解得，所以的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為，故A正確.故選：A.
9．ABD【詳解】對(duì)于A，若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)，故A正確；對(duì)于B，回歸直線方程必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故B正確；對(duì)于C，已知，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知隨機(jī)變量，則，故D正確.
10．BCD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；由，，等差數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，C選項(xiàng)正確；，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，取得最大值時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD
11．ACD【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,,,,,,,,,,,,，對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn),，使得，,，,，
，解得，符合題意，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn),，使得異面直線與所成的角為，,，,，，解得，不符合，不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接,,,,,，，點(diǎn)到平面的距離為，
，，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí),,，,,,，,,設(shè),,是平面的法向量，則,令,則,，,,設(shè)直線與平面所成的角為，,，故D正確．故選：ACD．
12．
13．40【詳解】因?yàn)椋?，所以，，則等比數(shù)列的公比，所以，，也是等比數(shù)列，所以，，也是等比數(shù)列，所以，即，解得或，又，所以.故答案為：40.
14．/0.5【詳解】因?yàn)閮A斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為: , ,
線段的中點(diǎn),聯(lián)立 ，化為，，，
的垂直平分線為:,
令 , 解得 ,.,,則 ,
橢圓的離心率為,故答案為:.
15．【詳解】（1）由 得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，則直線的方程為，即；
（2）設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為，因?yàn)閮蓤A相切，所以或，則或，所以所求圓的方程為：或.
16．【詳解】（1）記“任取1名學(xué)生，該生獲得一等獎(jiǎng)”為事件A，“任取1名學(xué)生，該生為高一學(xué)生"為事件，，故；
（2）由己知可得，的可能取值為，，，，的分布列為
17．【詳解】（1）設(shè)的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，則，即，解得或1（舍去），所以.
（2）由（1）可知的前三項(xiàng)為，則等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
所以，即.所以.
18．【詳解】（1）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，，平面，所以平面．
（2）法一：取的中點(diǎn)，連接，可得四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面?br>所以平面平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，平面，平面平面，則平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為，因?yàn)?，所以，又，所以，故點(diǎn)到平面的距離為．
法二：由（1）知平面，，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，
以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又，，所以，，，所以，所以，，，，?br>，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則為平面的一個(gè)法向量，又，所以點(diǎn)到平面的距離，故點(diǎn)到平面的距離為．
（3）由（2）法二得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則得，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，又平面，所以是平面的一個(gè)法向量，，
故平面與平面的夾角的余弦值為．
19．【詳解】（1），，代入得.又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即，即，以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.
（2）（i）直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，聯(lián)立，消去得:，則，設(shè)，則，，，由得，解得:，由得.
（ii）由（i）知，，
. 為定值.
獎(jiǎng)項(xiàng)組別
個(gè)人賽
團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)
一等獎(jiǎng)
二等獎(jiǎng)
三等獎(jiǎng)
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
0
1
2

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