注意事項(xiàng)：
1．答題前，請(qǐng)您將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)
2．答題時(shí)，請(qǐng)按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試題上答題無(wú)效
一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）
1. 吉林松花石有“石中之寶”的美譽(yù)，用它制作的硯臺(tái)叫松花硯，能與中國(guó)四大名硯媲美．下圖是一款松花硯的示意圖，其俯視圖為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖）即可得．
【詳解】解：其俯視圖是由兩個(gè)同心圓（不含圓心）組成，即為
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了俯視圖，熟記定義是解題關(guān)鍵．
2. 要使算式的運(yùn)算結(jié)果最大，則“□”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)為（ ）
A. +B. -C. ×D. ÷
【答案】A
【解析】
【分析】將各選項(xiàng)的運(yùn)算符號(hào)代入計(jì)算即可得．
【詳解】解：，
，
，
，
因?yàn)椋?br>所以要使運(yùn)算結(jié)果最大，應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3. 與2的差不大于0，用不等式表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)差運(yùn)算、不大于的定義列出不等式即可．
【詳解】解：由題意，用不等式表示為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次不等式，熟練掌握“不大于是指小于或等于”是解題關(guān)鍵．
4. 實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 無(wú)法確定
【答案】B
【解析】
【分析】在以向右為正方向的數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)此結(jié)論即可得出結(jié)論．
【詳解】由圖知，數(shù)軸上數(shù)b表示的點(diǎn)在數(shù)a表示的點(diǎn)的右邊，則b>a
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上有理數(shù)大小的比較，是基礎(chǔ)題．
5. 如圖，如果，那么，其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說(shuō)成（ ）
A. 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C. 兩直線平行，同位角相等D. 同位角相等，兩直線平行
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得．
【詳解】解：因?yàn)榕c是一對(duì)相等的同位角，得出結(jié)論是，
所以其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說(shuō)成同位角相等，兩直線平行，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
6. 如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時(shí)，的值可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外”可得，由此即可得出答案．
【詳解】解：在中，，，，
，
點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外，
，即，
觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7. 實(shí)數(shù)的相反數(shù)是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)為互為相反數(shù)進(jìn)行解答．
【詳解】解：根據(jù)相反數(shù)的定義，
可得相反數(shù)是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．
8. 計(jì)算：=____．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可直接結(jié)算，.
考點(diǎn)：同底數(shù)冪的乘法
9. 籃球隊(duì)要購(gòu)買10個(gè)籃球，每個(gè)籃球元，一共需要__________元．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)“總費(fèi)用購(gòu)買籃球的數(shù)量每個(gè)籃球的價(jià)格”即可得．
【詳解】解：由題意得：一共需要的費(fèi)用為元，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
10. 《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛．1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒斛、1個(gè)小桶可以盛酒斛．根據(jù)題意，可列方程組為_(kāi)_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題中兩個(gè)等量關(guān)系：5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛；1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛，列出方程組即可．
【詳解】由題意得：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題，理解題意、找到等量關(guān)系并列出方程組是解題的關(guān)鍵．
11. 第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為_(kāi)_________度．（寫出一個(gè)即可）
【答案】60或120或180或240或300（寫出一個(gè)即可）
【解析】
【分析】如圖（見(jiàn)解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得．
【詳解】解：這個(gè)圖案對(duì)應(yīng)著如圖所示的一個(gè)正六邊形，它的中心角，
，
角可以為或或或或，
故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個(gè)即可）．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，再根據(jù)等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，由此即可得出答案．
【詳解】解：如圖，連接，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
由同圓半徑相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三線合一），
又點(diǎn)位于軸正半軸，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了同圓半徑相等、等腰三角形的三線合一、點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．
13. 如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接．若，則__________．
【答案】##2.5
【解析】
【分析】由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，從而EF是△AOD的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF的長(zhǎng)．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5，
∵，
∴，即點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
∴EF是△AOD的中位線，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，掌握中位線定理是本題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在半徑為1的上順次取點(diǎn)，，，，，連接，，，，，．若，，則與的長(zhǎng)度之和為_(kāi)_________．（結(jié)果保留）．
【答案】##
【解析】
【分析】由圓周角定理得，根據(jù)弧長(zhǎng)公式分別計(jì)算出與的長(zhǎng)度，相減即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴
又的半徑為1，
的長(zhǎng)度=
又，
∴的長(zhǎng)度=
∴與的長(zhǎng)度之和=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算弧長(zhǎng)，圓周角定理，熟練掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15. 如圖，，．求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】證明：在和中，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16. 下面是一道例題及其解答過(guò)程的一部分，其中是關(guān)于的多項(xiàng)式．請(qǐng)寫出多項(xiàng)式，并將該例題的解答過(guò)程補(bǔ)充完整．
【答案】，解答過(guò)程補(bǔ)充完整為
【解析】
【分析】利用除以可得，再根據(jù)合并同類項(xiàng)法則補(bǔ)充解答過(guò)程即可．
【詳解】解：觀察第一步可知，，
解得，
將該例題的解答過(guò)程補(bǔ)充完整如下：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的乘除法、合并同類項(xiàng)，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
17. 長(zhǎng)白山國(guó)家級(jí)自然保護(hù)區(qū)、松花湖風(fēng)景區(qū)和凈月潭國(guó)家森林公園是吉林省著名的三個(gè)景區(qū)．甲、乙兩人用抽卡片的方式?jīng)Q定一個(gè)自己要去的景區(qū)．他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上長(zhǎng)白山、松花湖、凈月潭．卡片除正面景區(qū)名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，甲先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下景區(qū)名稱后正面向下放回，洗勻后乙再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長(zhǎng)白山的概率．
【答案】甲、乙兩人都決定去長(zhǎng)白山的概率為．
【解析】
【分析】畫樹(shù)狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人都決定去長(zhǎng)白山的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：長(zhǎng)白山、松花湖、凈月潭依次用字母A，B，C表示，
畫樹(shù)狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人都決定去長(zhǎng)白山的結(jié)果有1種，
∴甲、乙兩人都決定去長(zhǎng)白山的概率為．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率以及隨機(jī)事件等知識(shí)．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
18. 圖①，圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．其中點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．請(qǐng)?jiān)诮o定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形．
（1）在圖①中，找一格點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形；
（2）在圖②中，找一格點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是中心對(duì)稱圖形．
【答案】（1）圖見(jiàn)解析
（2）圖見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）以所在直線為對(duì)稱軸，找出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)，再順次連接點(diǎn)即可得；
（2）根據(jù)點(diǎn)平移至點(diǎn)的方式，將點(diǎn)進(jìn)行平移即可得點(diǎn)，再順次連接點(diǎn)即可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖①，四邊形是軸對(duì)稱圖形．
【小問(wèn)2詳解】
解：先將點(diǎn)向左平移2格，再向上平移1個(gè)可得到點(diǎn)，
則將點(diǎn)按照同樣的平移方式可得到點(diǎn)，
如圖②，平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形、平移作圖，熟練掌握軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念是解題關(guān)鍵．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19. 劉芳和李婷進(jìn)行跳繩比賽．已知?jiǎng)⒎济糠昼姳壤铈枚嗵?0個(gè)，劉芳跳135個(gè)所用的時(shí)間與李婷跳120個(gè)所用的時(shí)間相等．求李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)．
【答案】160個(gè)
【解析】
【分析】設(shè)李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為個(gè)，則劉芳每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為個(gè)，根據(jù)“劉芳跳135個(gè)所用的時(shí)間與李婷跳120個(gè)所用的時(shí)間相等”建立方程，解方程即可得．
【詳解】解：設(shè)李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為個(gè)，則劉芳每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為個(gè)，
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，且符合題意，
答：李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為160個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，并建立方程是解題關(guān)鍵．
20. 密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)容器的體積（單位：）變化時(shí)，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示．
（1）求密度關(guān)于體積的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求該氣體的密度．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可完成；
（2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得該氣體的密度．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)密度關(guān)于體積的函數(shù)解析式為，
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，（）．
即此時(shí)該氣體的密度為1．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了求反比例函數(shù)的解析式及求反比例函數(shù)的函數(shù)值等知識(shí)，由圖像求得反比例函數(shù)解析式是關(guān)鍵．
21. 動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長(zhǎng)為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cs58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約為88cm．
【解析】
【分析】根據(jù)正弦的概念即可求解．
【詳解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約為88cm．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
22. 為了解全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率的情況，張明查閱相關(guān)資料，整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計(jì)圖如下：
2017-2021年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率城化率
（以上數(shù)據(jù)來(lái)源于《中華人民共和國(guó)2021年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》）
注：．例如，城鎮(zhèn)常住人口60.12萬(wàn)人，總?cè)丝?00萬(wàn)人，則總?cè)丝诔擎?zhèn)化率為60.12%．
回答下列問(wèn)題：
（1）2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率的中位數(shù)是 %；
（2）2021年年末全國(guó)人口141260萬(wàn)人，2021年年末全國(guó)城鎮(zhèn)常住人口為 萬(wàn)人；（只填算式，不計(jì)算結(jié)果）
（3）下列推斷較為合理的是 （填序號(hào)）．
①2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計(jì)2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率高于64.72%．
②全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，估計(jì)2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率低于64.72%．
【答案】（1）
（2）
（3）①
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義即可得；
（2）根據(jù)城鎮(zhèn)化率的計(jì)算公式即可得；
（3）根據(jù)全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升的趨勢(shì)，可估計(jì)2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率高于，由此即可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率按從小到大進(jìn)行排序?yàn)?，，，，，則排在中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，
所以中位數(shù)為，
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：2021年年末全國(guó)城鎮(zhèn)常住人口為萬(wàn)人，
故答案為：．
【小問(wèn)3詳解】
解：2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計(jì)2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率高于，則推斷①較為合理；
全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加，2021年年末比2020年年末增加，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，可估計(jì)全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率2022年年末比2021年年末增加幅度小于，但2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率會(huì)高于，則推斷②不合理；
故答案為：①．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和折線統(tǒng)計(jì)圖，讀懂折線統(tǒng)計(jì)圖是解題關(guān)鍵．
五、解答題（每小題8分，共16分）
23. 李強(qiáng)用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時(shí)加熱相同質(zhì)量的水，甲壺比乙壺加熱速度快．在一段時(shí)間內(nèi)，水溫（℃）與加熱時(shí)間之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖象如下：
（1）加熱前水溫是 ℃；
（2）求乙壺中水溫關(guān)于加熱時(shí)間的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到80℃時(shí)，乙壺中水溫是 ℃．
【答案】（1）20 （2）
（3）65
【解析】
【分析】（1）根據(jù)時(shí)，即可得；
（2）先判斷出乙壺對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法即可得；
（3）先利用待定系數(shù)法求出甲壺中與的函數(shù)解析式，再求出時(shí)，的值，然后將的值代入乙壺中與的函數(shù)解析式即可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，
則加熱前水溫是，
故答案為：20．
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)榧讐乇纫覊丶訜崴俣瓤欤?br>所以乙壺對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
設(shè)乙壺中水溫關(guān)于加熱時(shí)間的函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則乙壺中水溫關(guān)于加熱時(shí)間的函數(shù)解析式為，
自變量x的取值范圍是0≤x≤160．
【小問(wèn)3詳解】
解：設(shè)甲壺中水溫關(guān)于加熱時(shí)間的函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則甲壺中水溫關(guān)于加熱時(shí)間的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，解得，
將代入得：，
即當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到時(shí)，乙壺中水溫是，
故答案為：65．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖象，并熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
24. 下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．
【作業(yè)】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？
解：相等．理由如下：
設(shè)與之間的距離為，則，．
∴．
【探究】
（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則．
證明：∵


（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．
證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，
∴ ．
∴ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ，
∴．
（3）如圖④，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，連接交于點(diǎn)．若點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，的值為 ．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得，由此即可得證；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后結(jié)合【探究】（1）的結(jié)論即可得證；
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，，由此即可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：，，
．
【小問(wèn)2詳解】
證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，
．
．
．
由【探究】（1）可知，
．
【小問(wèn)3詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
，
，
，
點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，，0，
，，
，
又，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25. 如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．以為一邊作，另一邊與折線相交于點(diǎn)，以為邊作菱形，點(diǎn)在線段上．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，菱形與重疊部分圖形的面積為．
（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的長(zhǎng)為 ；（用含的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；
（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．
【答案】（1）2x （2）1
（3）
【解析】
【分析】（1）先證明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根據(jù)題意有AP=2x，即PQ=2x；
（2）當(dāng)M點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再證明△MNB是等邊三角形，即有BN=MN，根據(jù)AB=6x=6cm，即有x=1（s）；
（3）分類討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，此時(shí)菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，求出菱形的面積即可；當(dāng)x＞1，且Q點(diǎn)在線段AC上時(shí)，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，設(shè)QM交BC于F點(diǎn)，MN交BC于E點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作NH⊥EF于H點(diǎn)，先證明△ENB是等邊三角形、△MEF是等邊三角形，重疊部分是菱形PQMN的面積減去等邊△MEF的面積，求出菱形PQMN的面積和等邊△MEF的面積即可，此時(shí)需要求出當(dāng)Q點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)的臨界條件；當(dāng)時(shí)，此時(shí)Q點(diǎn)在線段BC上，此時(shí)N點(diǎn)始終與B點(diǎn)重合，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，重疊部分的面積就是△PBQ的面積，求出等邊△PBQ的面積即可．
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)Q點(diǎn)在AC上時(shí)，
∵∠A=30°，∠APQ=120°，
∴∠AQP=30°，
∴∠A=∠AQP，
∴AP=PQ，
∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，
∴AP=2x，
∴PQ=2x；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)M點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在AC上，如圖，
在（1）中已求得AP=PQ=2x，
∵四邊形QPMN是菱形，
∴PQ=PN=MN=2x，，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPB=60°，
∵，
∴∠MNB=∠QPB=60°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△MNB是等邊三角形，
∴BN=MN，
∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，
∴x=1（s）；
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，用時(shí)6÷2=3（s），
即x取值范圍為：，
當(dāng)M點(diǎn)剛好在BC上時(shí)，
在（2）中已求得此時(shí)x=1，
分情況討論，
即當(dāng)時(shí)，此時(shí)菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，
∴此時(shí)菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積，
過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，如圖，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的內(nèi)角∠QPN=∠QMN=60°，
∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∴重疊面積等于菱形PQMN的面積為，即為：；
當(dāng)x＞1，且Q點(diǎn)在線段AC上時(shí)，
過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，設(shè)QM交BC于F點(diǎn)，MN交BC于E點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作NH⊥EF于H點(diǎn)，如圖，
∵，
∴∠MNB=∠QPN=60，
∵∠B=60°，
∴△ENB是等邊三角形，
同理可證明△MEF是等邊三角形
∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，
∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，
∴BN=6-AN=6-4x，
∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，
∵M(jìn)H⊥EF，
∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，
∴△MEF的面積為：，
QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∵菱形PQMN的面積為，
∴重疊部分的面積為，
當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，可知此時(shí)N點(diǎn)與B點(diǎn)重合，如圖，
∵∠CPB=∠CBA=60°，
∴△PBC是等邊三角形，
∴PC=PB，
∵AP=PQ=2x，
∴AP=PB=2x，
∴AB=AP+PB=4x=6，
則x=，
即此時(shí)重合部分的面積為：，；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)Q點(diǎn)在線段BC上，此時(shí)N點(diǎn)始終與B點(diǎn)重合，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，如圖，
∵AP=2x，
∴PB=AB-AP=6-2x，
∵∠QPB=∠ABC=60°，
∴△PQB是等邊三角形，
∴PQ=PB，同時(shí)印證菱形PQMN的頂點(diǎn)N始終與B點(diǎn)重合，
∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=，
∴，
∴此時(shí)重疊部分的面積，
綜上所述：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程中Q點(diǎn)的位置以及菱形PQMN的位置是解答本題的關(guān)鍵．解答本題需要注意分類討論的思想．
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍；
（3）若此拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
①求的值；
②以為邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）或
（3）①或3；②或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再畫出函數(shù)圖象，由此即可得；
（3）①先求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)、以及點(diǎn)的坐標(biāo)，再分和兩種情況，分別畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)的增減性求解即可得；
②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰直角三角形的定義建立方程組，解方程組即可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則此拋物線的解析式為．
【小問(wèn)2詳解】
解：對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
則此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
畫出函數(shù)圖象如下：
則當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，的取值范圍為或．
【小問(wèn)3詳解】
解：①二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
即，
（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
則此時(shí)點(diǎn)即為最低點(diǎn)，
所以，
解得或（不符題設(shè)，舍去）；
（Ⅱ）如圖，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
則此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)即為最低點(diǎn)，
所以，
解得，符合題設(shè)，
綜上，的值為或3；
②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意，分以下兩種情況：
（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)對(duì)稱軸直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，
則在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三線合一），
，
解得，
則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
由（3）①可知，此時(shí)，
則點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，等腰直角三角形，
則，即，
方程組無(wú)解，
所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，
則，即，
解得，
所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，
則，即，
方程組無(wú)解，
所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰直角三角形、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)：（）．
解：（）
．

相關(guān)試卷

2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）：

這是一份2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析），共32頁(yè)。

吉林省2021年中考數(shù)學(xué)真題試卷（含解析）：

這是一份吉林省2021年中考數(shù)學(xué)真題試卷（含解析），共25頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）：

這是一份2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析），共32頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）

2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）
2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題（含解析）

2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題（含解析）
2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）

2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）
2021年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題試卷 (含解析)

2021年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題試卷 (含解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部