注意事項：
1．本試卷分為試題卷（1-4頁）和答題卡兩部分．考試時間120分鐘，滿分120分．
2．考生答題前，請先將姓名、準(zhǔn)考證號等信息用黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上的指定位置，待監(jiān)考教師粘貼條形碼后，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與自已準(zhǔn)考證上的信息是否一致．
3．請將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡上的相應(yīng)位置，非選擇題答案用黑色墨跡簽字筆答在答題卡上的相應(yīng)位置．超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效；作圖題應(yīng)先用鉛筆畫，確定不修改后，再用黑色墨跡簽字筆描黑．
4．考試結(jié)束，監(jiān)考人員必須將參考學(xué)生和缺考學(xué)生的答題卡、試題卷一并收回．
一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，請將所選選項填涂在答題卡相應(yīng)位置上．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. －6的絕對值是（ ）
A. -6B. 6C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】在數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．
【詳解】負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以-6的絕對值是6．
故選：B．
2. 下列運算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、積的乘方與冪的乘方法則逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、與不是同類項，不可合并，則此項錯誤，不符合題意；
B、，則此項錯誤，不符合題意；
C、，則此項錯誤，不符合題意；
D、，則此項正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、積的乘方與冪的乘方，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．
3. 2023年以來，廣安市全面落實市委、市政府關(guān)于促進(jìn)消費的各項政策措施，積極優(yōu)化消費運行環(huán)境，消費加速回升．月，全市實現(xiàn)社會消費品總額116億元，同比增長．請將116億用科學(xué)記數(shù)法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．
【詳解】解：116億，
故選：B．
【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
4. 如圖，由5個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖是俯視圖）即可得．
【詳解】解：這個幾何體的俯視圖是：

故選：B．
【點睛】本題考查了俯視圖，熟練掌握俯視圖的定義是解題關(guān)鍵．
5. 下列說法正確的是（ ）
A. 三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和
B. 對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
C. 在一組數(shù)據(jù)11，9，7，8，6，8，12，8中，眾數(shù)和中位數(shù)都是8
D. 甲乙兩組各10名同學(xué)參加“安全知識競賽”，若兩組同學(xué)的平均成績相同，甲組的方差，乙組的方差，則甲組同學(xué)的成績比乙組同學(xué)的成績穩(wěn)定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的外角定理，正方形的判定，眾數(shù)和中位數(shù)的定義，方差的意義判斷即可．
【詳解】解：A．三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和，故選項A錯誤；
B．要加上 “對角線互相平分”這個條件，故選項B錯誤；
C．這列數(shù)據(jù)從小到大排列為6，7，8，8，8，9，11，12，
8出現(xiàn)了3次，故眾數(shù)是8，中位數(shù)是，
故選項C正確；
D．方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，故選項D錯誤．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的外角定理，正方形的判定，眾數(shù)和中位數(shù)的定義，方差的意義等知識，本題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識點，并能靈活運用．
6. 已知，，為常數(shù)，點在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況為( )
A. 有兩個相等的實數(shù)根B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C. 沒有實數(shù)根D. 無法判定
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)點在第四象限，得出，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．
【詳解】解：點在第四象限，
，
，
方程的判別式，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B．
【點睛】本題考查了第四象限點的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式，得出是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，用彈簧測力計將一鐵塊懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，使鐵塊完全露出水面，并上升一定高度，則下列能反映彈簧測力計的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的時間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)浮力的知識，鐵塊露出水面前讀數(shù)不變，出水面后逐漸增大，離開水面后不變．
【詳解】解：由浮力知識得：，讀數(shù)即為，
在鐵塊露出水面以前，浮力不變，則此過程中彈簧的讀數(shù)不變，
當(dāng)鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加，彈簧的讀數(shù)逐漸增大，
當(dāng)鐵塊完全露出水面后，浮力等于0，拉力等于重力，彈簧的讀數(shù)不變，
觀察四個選項可知，只有選項A符合，
故選：A．
【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，掌握一定的物理知識．
8. 為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施．如圖，分別表示燃油汽車和燃?xì)馄囁栀M用（單位：元）與行駛路程（單位：千米）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M用的3倍少0.1元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M用為元，則可列方程為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出燃油汽車每千米所需的費用為元，再根據(jù)函數(shù)圖象可得燃油汽車所需費用為25元時與燃?xì)馄囁栀M用為10元時，所行駛的路程相等，據(jù)此列出方程即可得．
【詳解】解：由題意得：燃油汽車每千米所需的費用為元，
由函數(shù)圖象可知，燃油汽車所需費用為25元時與燃?xì)馄囁栀M用為10元時，所行駛的路程相等，
則可列方程為，
故選：D．
【點睛】本題考查了列分式方程、函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象，正確獲取信息是解題關(guān)鍵．
9. 如圖，在等腰直角中，，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形和扇形的面積，再減去的面積即可得．
【詳解】解：是等腰直角三角形，
，
，
∴圖中陰影部分的面積是
，
故選：C．
【點睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．
10. 如圖所示，二次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與軸交于點．有下列結(jié)論：①；②若點和均在拋物線上，則；③；④．其中正確的有（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及與軸交點問題逐項分析判斷即可.
【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與軸正半軸交于一點，
，.
，
.
.
故①正確.
是關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，
.
在對稱軸的左邊，在對稱軸的右邊，如圖所示，

.
故②正確.
圖象與軸交于點，
，.
.
.
故③不正確.
，
.
當(dāng)時，，
.
，
，
.
故④不正確.
綜上所述，正確有①②.
故選：B.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以及與軸交點.
二、填空題（請把最簡答案填寫在答題卡相應(yīng)位置．本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【詳解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案為±2．
12. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件即可求出結(jié)論．
【詳解】解：由題意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案為：x≥-2且x≠1．
【點睛】此題考查的是求自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解決此題的關(guān)鍵．
13. 定義一種新運算：對于兩個非零實數(shù)，．若，則的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)可得一個關(guān)于的等式，再根據(jù)新運算的定義代入計算即可得．
【詳解】解：，
，即，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運算、代數(shù)式求值，理解新運算的定義是解題關(guān)鍵．
14. 如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為___________．

【答案】
【解析】
【分析】連接，過點作于點，先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形可得的長，由此即可得．
【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，

，
，
，
，，
∵圓的半徑為7，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計）

【答案】10
【解析】
【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，作，交延長線于點，連接，

由題意得：，
，
∵底面周長為，
，
，
由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸的正半軸上，點在直線上，若點的坐標(biāo)為，且均為等邊三角形．則點的縱坐標(biāo)為___________．

【答案】
【解析】
【分析】過點作軸，交直線于點，過點作軸于點，先求出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的長，即可得點的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點作軸，交直線于點，過點作軸于點，

，
，
當(dāng)時，，即，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，即點的縱坐標(biāo)為，
同理可得：點的縱坐標(biāo)為，
點的縱坐標(biāo)為，
點的縱坐標(biāo)為，
歸納類推得：點的縱坐標(biāo)為（為正整數(shù)），
則點的縱坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識點，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共4個小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）
17. 計算：
【答案】
【解析】
【分析】先計算有理數(shù)的乘方、零指數(shù)冪、特殊角的余弦值、化簡絕對值，再計算乘法與加減法即可得．
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題考查了零指數(shù)冪、特殊角的余弦值、實數(shù)的混合運算，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．
18. 先化簡，再從不等式中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．
【答案】，選擇，式子的值為（或選擇，式子的值為1）
【解析】
【分析】先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇適當(dāng)?shù)牡闹?，代入計算即可得?br>【詳解】解：原式
，
，，
，，
，且為整數(shù)，
選擇代入得：原式，
選擇代入得：原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題關(guān)鍵．
19. 如圖，在四邊形中，與交于點，，垂足分別為點，且．求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】見詳解
【解析】
【分析】先證明，再證明 ，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：，，
，
又，
，
，
∵，
，
四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．
【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為
（2）或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的長，再分兩種情形討論即可．
【小問1詳解】
解：把點代入一次函數(shù)得，
解得：，
故一次函數(shù)的解析式為，
把點代入，得，
，
把點代入，得，
故反比例函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
解：，，，
當(dāng)時，或，
當(dāng)時，點關(guān)于直線對稱，
，
綜上所述：點的坐標(biāo)為或或．
【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識，運用分類思想是解題的關(guān)鍵．
四、實踐應(yīng)用題（本大題共4個小題，第21小題6分，第22、23、24小題各8分，共30分）
21. “雙減”政策實施后，某校為豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了A書法，B繪畫，C舞蹈，D跆拳道四類興趣班．為了解學(xué)生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖信息回答下列問題．

（1）本次抽取調(diào)查學(xué)生共有___________人，估計該校3000名學(xué)生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為___________人．
（2）請將以上兩個統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整．
（3）甲、乙兩名學(xué)生要選擇參加興趣班，若他們每人從A，B，C，D四類興趣班中隨機(jī)選取一類，請用畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率．
【答案】（1）60，300
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)喜歡繪畫的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息即可得本次抽取調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用3000乘以喜歡跆拳道的學(xué)生所占百分比即可得；
（2）先求出喜歡書法的學(xué)生人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，再求出喜歡舞蹈和跆拳道的學(xué)生所占百分比，據(jù)此補(bǔ)全扇形統(tǒng)計圖即可得；
（3）先畫出樹狀圖，從而可得甲、乙兩名學(xué)生選擇參加興趣班的所有等可能的結(jié)果，再找出兩人恰好選擇同一類的結(jié)果，然后利用概率公式計算即可得．
【小問1詳解】
解：本次抽取調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為（人），
估計該校3000名學(xué)生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為（人），
故答案為：60，300．
【小問2詳解】
解：喜歡書法的學(xué)生人數(shù)人（人），
喜歡舞蹈的學(xué)生所占百分比為，
喜歡跆拳道的學(xué)生所占百分比為．
則補(bǔ)全兩個統(tǒng)計圖如下：
【小問3詳解】
解：由題意，畫樹狀圖如下：

由圖可知，甲、乙兩名學(xué)生選擇參加興趣班的所有等可能的結(jié)果共有16種，其中，兩人恰好選擇同一類的結(jié)果有4種，
則兩人恰好選擇同一類的概率為，
答：兩人恰好選擇同一類的概率為．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)、畫條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖、利用列舉法求概率，熟練掌握統(tǒng)計調(diào)查的相關(guān)知識和列舉法是解題關(guān)鍵．
22. “廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優(yōu)特產(chǎn)，某超市銷售兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱種鹽皮蛋和6箱種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱種鹽皮蛋和8箱種鹽皮蛋共需310元．
（1）種鹽皮蛋、種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？
（2）若某公司購買兩種鹽皮蛋共30箱，且種的數(shù)量至少比種的數(shù)量多5箱，又不超過種的2倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用．
【答案】（1）種鹽皮蛋每箱價格是30元，種鹽皮蛋每箱價格是20元
（2）購買種鹽皮蛋18箱，種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元
【解析】
【分析】（1）設(shè)種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可得；
（2）設(shè)購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，根據(jù)題意建立不等式組，解不等式組可得的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)可得所有可能的取值，然后根據(jù)（1）的結(jié)果逐個計算總費用，找出總費用最少的購買方案即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，
由題意得：，
解得，
答：種鹽皮蛋每箱價格是30元，種鹽皮蛋每箱價格是20元．
【小問2詳解】
解：設(shè)購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，
購買種的數(shù)量至少比種的數(shù)量多5箱，又不超過種的2倍，
，
解得，
又為正整數(shù)，
所有可能的取值為18，19，20，
①當(dāng)，時，購買總費用為（元），
②當(dāng)，時，購買總費用為（元），
③當(dāng)，時，購買總費用為（元），
所以購買種鹽皮蛋18箱，種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程組和不等式組是解題關(guān)鍵．
23. 為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園邊上修建一個四邊形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點在點的正東方向170米處，點在點的正北方向，點都在點的正北方向，長為100米，點在點的北偏東方向，點在點的北偏東方向．

（1）求步道的長度．
（2）點處有一個小商店，某人從點出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)點到達(dá)點，也可以經(jīng)點到達(dá)點，請通過計算說明他走哪條路較近．結(jié)果精確到個位）（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）200米
（2）這條路較近，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正弦值即可求出答案．
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正切值、余弦值分別求出和的長度，比較和即可求出答案．
【小問1詳解】
解：由題意得，過點作垂直的延長線于點，如圖所示，

點在點的正東方向170米處，點在點的正北方向，點都在點的正北方向，
，，
，
，
為矩形.
.
米，
米.
在中，米.
故答案為：200米.
小問2詳解】
解：這條路較近，理由如下：
，，
.
米，，
在中，米.
米.
為矩形，米，
米.
在中，米.
米.
結(jié)果精確到個位，
米.
米.
.
從這條路較近.
故答案為：這條路較近.
【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及到銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建直角三角形利用三角函數(shù)求邊長.
24. 將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在下列網(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點都在格點上）．

【答案】見解析（答案不唯一，符合題意即可）
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．
【詳解】解：①要求是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；
②要求是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；
③要求既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；
④要求既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．
【點睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及作圖，軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)能夠和原圖形重合．
五、推理論證題
25. 如圖，以的直角邊為直徑作，交斜邊于點，點是的中點，連接．

（1）求證：是的切線．
（2）若，求的長．
（3）求證：．
【答案】（1）見詳解 （2）
（3）見詳解
【解析】
【分析】（1）連接，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，證明，再證明即可；
（2）由（1）中結(jié)論，得，先根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理求出的長，再證明即可；
（3）證明即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：連接，

在中，，
是的直徑，
即，
在中，點是的中點，
，
又，
，
，
上
是的切線．
【小問2詳解】
解：由（1）中結(jié)論，得，
在中，，
，
，
，
，
，
；
【小問3詳解】
證明：，
，
，
，
，
，
由（1）中結(jié)論，得，
，
，
即．
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．
六、拓展探究題
26. 如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式．
（2）若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)．
（3）若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）最大值為，此時
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；
（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，，則；再由得到，故當(dāng)時，最大，最大值為，此時點P的坐標(biāo)為；
（3）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示，為對角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解即可．
【小問1詳解】
解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)經(jīng)過點，
∴，即，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點，且對稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)與y軸交于點C，
∴，
∴；
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時，最大，最大值為，
∴此時點P的坐標(biāo)為；
【小問3詳解】
解：設(shè)，則，，
∵軸，
∴軸，即，
∴是以、為頂點的菱形的邊；
如圖3-1所示，當(dāng)為對角線時，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，即軸，
∴點C與點N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴點N的坐標(biāo)為，
∴，
∴；
如圖3-2所示，當(dāng)為邊時，則，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-3所示，當(dāng)為邊時，則，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-4所示，當(dāng)邊時，則，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如圖3-5所示，當(dāng)為對角線時，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，這與題意相矛盾，
∴此種情形不存在
如圖3-6所示，當(dāng)為對角線時，設(shè)交于S，

∵軸，
∴，
∵，
∴，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，
∴此種情況不存在；
綜上所述，或或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．

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