1．本試題分第I卷和第Ⅱ卷兩部分，共6頁．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡規(guī)定的位置上．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
2．第I卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案標(biāo)號(hào)．
3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)，在試卷上答題不得分；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案．
第I卷（選擇題36分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將符合題目要求選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上．
1. 計(jì)算：的結(jié)果是（ ）
A. 5B. 1C. -1D. -5
【答案】A
【解析】
【分析】把減法化為加法，即可求解 。
【詳解】解：=，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的減法運(yùn)算，掌握有理數(shù)的減法法則是關(guān)鍵．
2. 窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．下列窗花作品既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．
【詳解】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．
3. 芯片內(nèi)部有數(shù)以億計(jì)的晶體管，為追求更高質(zhì)量的芯片和更低的電力功耗，需要設(shè)計(jì)4積更小的晶體管．目前，某品牌手機(jī)自主研發(fā)了最新型號(hào)芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數(shù)據(jù)0.000000014用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科學(xué)計(jì)數(shù)法的記數(shù)形式為：，其中，當(dāng)數(shù)值絕對(duì)值大于1時(shí)，是小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)的位數(shù)；當(dāng)數(shù)值絕對(duì)值小于1時(shí)，是小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)的相反數(shù)．
【詳解】解：，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)計(jì)數(shù)法，掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法的記數(shù)形式是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖所示的幾何體的俯視圖可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【詳解】解：從上邊看，是一個(gè)六邊形和圓形．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖是解題關(guān)鍵．
5. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)將含角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)按如圖方式放置在直尺上，測得，則的度數(shù)是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖：

∵，
∴，
在中，，
∵，
故，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)整式乘法運(yùn)算法則及加法法則逐一判斷即可．
【詳解】A、，故錯(cuò)誤；
B、，故正確；
C、，故錯(cuò)誤；
D、不是同類項(xiàng)，不能合并，故錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查整式乘法與加法運(yùn)算法則，熟記基本的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
7. 《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會(huì)多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，可列方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)人數(shù)為x，根據(jù)每人出9錢，會(huì)多出11錢，可得雞的價(jià)格為錢，根據(jù)每人出6錢，又差16錢，可得雞的價(jià)格為錢，由此列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x，
由題意得，，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8. 日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測得燈塔最高點(diǎn)A的仰角，再沿方向前進(jìn)至C處測得最高點(diǎn)A的仰角，，則燈塔的高度大約是（ ）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，得出，設(shè)，則，，在中，根據(jù)正切得出，求解即可得出答案．
【詳解】解：在中，，
，
設(shè)，則，，
在中，，
，
，
燈塔的高度AD大約是．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關(guān)鍵是弄清有關(guān)的直角三角形中的有關(guān)角的度數(shù)．
9. 已知直角三角形的三邊滿足，分別以為邊作三個(gè)正方形，把兩個(gè)較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個(gè)正方形無重疊部分的面積為，均重疊部分的面積為，則（ ）
A. B. C. D. 大小無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由勾股定理可得，易得，然后用分別表示和，即可獲得答案．
【詳解】解：如下圖，
∵為直角三角形的三邊，且。
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及整式運(yùn)算，結(jié)合題意正確表示出和是解題關(guān)鍵．
10. 若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：
∵方程解為正數(shù)，且分母不等于0
∴，
∴，且
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關(guān)鍵．
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，滿足，已知點(diǎn)，，在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解不等式組可得且，即可判斷二次函數(shù)的對(duì)稱軸位置，再利用函數(shù)的增減性判斷即可解題．
【詳解】解不等式組可得:，且
所以對(duì)稱軸的取值范圍在，
由對(duì)稱軸位置可知到對(duì)稱軸的距離最近的是，其次是，最遠(yuǎn)的是，
即根據(jù)增減性可得，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求不等組的解集，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中，且是整數(shù)．記，如，即，即，即，以此類推．則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．
【詳解】解：第1圈有1個(gè)點(diǎn)，即，這時(shí)；
第2圈有8個(gè)點(diǎn)，即到；
第3圈有16個(gè)點(diǎn)，即到，；
依次類推，第n圈，；
由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，則即，故A選項(xiàng)不正確；
是在第23圈上，且，即，故B選項(xiàng)正確；
第n圈，，所以，故C、D選項(xiàng)不正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
第Ⅱ卷（非選擇題 84分）
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分．不需寫出解答過程，請(qǐng)將答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)提取公因式法和平方差公式，即可分解因式．
【詳解】，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解題的關(guān)鍵．
14. 若點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)第四象限的點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)進(jìn)行求解即可。
【詳解】解：∵點(diǎn)在第四象限，
∴，
解得，
故答案為：。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)點(diǎn)所在的象限求參數(shù)，解一元一次不等式組，熟知第四象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。
15. 已知反比例函數(shù)（且）的圖象與一次函數(shù)的圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的k值__________．
【答案】（滿足都可以）
【解析】
【分析】先判斷出一次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過第二、四象限，再根據(jù)判斷出反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)在同一象限，從而可以得到反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，即，最終選取一個(gè)滿足條件的值即可．
【詳解】解：，
一次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過第二、四象限，
，
反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)在同一象限，
反比例函數(shù)（且）的函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，
，
∴，
∵，
∴，
∴滿足條件的k值可以為1.5，
故答案為：1.5（滿足都可以）．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)判斷出反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)在同一象限．
16. 如圖，矩形中，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時(shí)，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．

【答案】②③④
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判斷②；根據(jù)相似可以得到，判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④．
【詳解】解：∵，，
∴，
在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，不一定，
相矛盾，
故①不正確；

延長交于點(diǎn)P,
則為矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正確，
，
即當(dāng)?shù)淖钚≈?，作B、D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),
把圖中的向上平移到圖2位置，使得，連接，即為的最小值，則，,
這時(shí)，
即的最小值是20，
故④正確；
故答案為：②③④
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本題共6個(gè)小題，滿分72分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17 （1）化簡：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平方根，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，再將代入求解即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
將代入可得，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，分式的化簡求值等，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18. 2023年3月22日至28日是第三十屆“中國水周”，某學(xué)校組織開展主題為“節(jié)約用水，共護(hù)母親河”的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．A小組在甲，乙兩個(gè)小區(qū)各隨機(jī)抽取30戶居民，統(tǒng)計(jì)其3月份用水量，分別將兩個(gè)小區(qū)居民的用水量分為5組，第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：

信息二：甲、乙兩小區(qū)3月份用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)如下：
信息三：乙小區(qū)3月份用水量在第三組的數(shù)據(jù)為：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）__________；
（2）在甲小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為，在乙小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為，比較，大小，并說明理由；
（3）若甲小區(qū)共有600戶居民，乙小區(qū)共有750戶居民，估計(jì)兩個(gè)小區(qū)3月份用水量不低于的總戶數(shù)；
（4）因任務(wù)安排，需在B小組和C小組分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)加入A小組，已知B小組有3名男生和1名女生，C小組有2名男生和2名女生，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩名同學(xué)都是男生的概率．
【答案】（1）
（2），理由見解析
（3）甲小區(qū)有40戶，乙小區(qū)有50戶
（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意分別求出3月份用水量低于平均數(shù)的戶數(shù)，再計(jì)算進(jìn)行比較即可；
（3）用總戶數(shù)乘以不低于所占的比例即可求解；
（4）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學(xué)都是男生的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：∵隨機(jī)抽取了30戶居民，
故中位數(shù)是數(shù)據(jù)從小到大排列的第15個(gè)和第16個(gè)的平均數(shù)；
根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知：用水量在的有3戶，用水量在的有11戶，用水量在的有10戶，用水量在的有4戶，用水量在的有2戶，故中位數(shù)是在第三組中，且是第三組中第1個(gè)和第2個(gè)的平均數(shù)，
∵乙小區(qū)3月份用水量在第三組的數(shù)據(jù)為：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
∴乙小區(qū)3月份用水量的中位數(shù)是；
故答案為：．
【小問2詳解】
解：在甲小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量的平均數(shù)為：9.0；
低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)為（戶），
故在甲小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為，即；
在乙小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量的平均數(shù)為：9.1；
低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)為（戶），
故在乙小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為，即；
∵，
故．
【小問3詳解】
解：甲小區(qū)3月份用水量不低于的總戶數(shù)為（戶），
乙小區(qū)3月份用水量不低于的總戶數(shù)為（戶），
即甲小區(qū)3月份用水量不低于的總戶數(shù)有40戶，乙小區(qū)3月份用水量不低于的總戶數(shù)有50戶．
【小問4詳解】
解：畫樹狀圖如圖：

共有16種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學(xué)都是男生的結(jié)果有6種，
∴抽取的兩名同學(xué)都是男生的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了用樹狀圖法求概率，中位數(shù)，條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體等，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19. 如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，且．

（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求四邊形的面積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如圖所示，連接與交于O，先由平行四邊形對(duì)角線互相平分得到，再利用證明得到，進(jìn)而證明，得到，由此即可證明平行四邊形是菱形；
（2）先由菱形的性質(zhì)得到，再解， 得到，利用勾股定理求出，則，，則．
【小問1詳解】
證明：如圖所示，連接與交于O，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：∵四邊形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（負(fù)值舍去），
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
20. 要制作200個(gè)A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，A種規(guī)格是長、寬、高都為的正方體無蓋木盒，B種規(guī)格是長、寬、高各為，，的長方體無蓋木盒，如圖1．現(xiàn)有200張規(guī)格為的木板材，對(duì)該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2．切割、拼接等板材損耗忽略不計(jì)．

（1）設(shè)制作A種木盒x個(gè)，則制作B種木盒__________個(gè)；若使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種方式切割的木板材__________張；
（2）該200張木板材恰好能做成200個(gè)A和B兩種規(guī)格的無蓋木盒，請(qǐng)分別求出A，B木盒的個(gè)數(shù)和使用甲，乙兩種方式切割的木板材張數(shù)；
（3）包括材質(zhì)等成本在內(nèi)，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元．根據(jù)市場調(diào)研，A種木盒的銷售單價(jià)定為a元，B種木盒的銷售單價(jià)定為元，兩種木盒的銷售單價(jià)均不能低于7元，不超過18元．在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價(jià)分別定為多少元時(shí)，這批木盒的銷售利潤最大，并求出最大利潤．
【答案】（1），
（2）制作A種木盒100個(gè)，B種木盒100個(gè)；使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板50張
（3）A種木盒的銷售單價(jià)定為18元，B種木盒的銷售單價(jià)定為11元時(shí)，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤為1750元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；
（2）根據(jù)題意可得，制作一個(gè)A種木盒需要長、寬均為的木板5個(gè)，制作一個(gè)B種木盒需要長、寬均為的木板1個(gè)，長為10cm、寬為的木板4個(gè)；甲種方式可切割長、寬均為的木板4個(gè)，乙種方式可切割長為10cm、寬為的木板8個(gè)；列關(guān)系式求解即可；
（3）先根據(jù)（2）中數(shù)據(jù)求得總成本金額，根據(jù)利潤=售價(jià)-成本列式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
解：∵要制作200個(gè)A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，制作A種木盒x個(gè)，
故制作B種木盒個(gè)；
∵有200張規(guī)格為的木板材，使用甲種方式切割的木板材y張，
故使用乙種方式切割的木板材張；
故答案為：，．
【小問2詳解】
解：使用甲種方式切割的木板材y張，則可切割出個(gè)長、寬均為的木板，
使用乙種方式切割的木板材張，則可切割出個(gè)長為、寬為的木板；
設(shè)制作A種木盒x個(gè)，則需要長、寬均為的木板個(gè)，
制作B種木盒個(gè)，則需要長、寬均為的木板個(gè)，需要長為、寬為的木板個(gè)；
故
解得：，
故制作A種木盒100個(gè)，制作B種木盒100個(gè)，
使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，
【小問3詳解】
解：∵用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元，且使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，
故總成本（元）；
∵兩種木盒的銷售單價(jià)均不能低于7元，不超過18元，
即，
解得：，
故的取值范圍為；
設(shè)利潤為，則，
整理得：，
∵，故隨的增大而增大，
故當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
則此時(shí)B種木盒的銷售單價(jià)定為（元），
即A種木盒的銷售單價(jià)定為18元，B種木盒的銷售單價(jià)定為11元時(shí)，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤為1750元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系進(jìn)行列式是解題的關(guān)鍵．
21. 在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：
如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

（1）求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；
（3）已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時(shí)是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，進(jìn)而證明，可以得到，由，可得，即可證明A、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）如圖所示，連接，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，由圓周角定理得到，再由，得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，即，由此即可證明是的切線；
（3）如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，先求出，再由三線合一定理得到，，解直角三角形求出，則，再解得到，則；由是四邊形的外接圓，可得點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，故當(dāng)時(shí)，有最小值，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問3詳解】
解：如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，
∵，
∴，
∵點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P在直線上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，
∵，
∴在中，，
∴圓心P與點(diǎn)M距離的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，將直線沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí)，求a的值．
【答案】（1），
（2）
（3）①，，；②
【解析】
【分析】（1）先求出，再求出拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)題意可知C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
（2）先求出，如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；
（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標(biāo)之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【小問1詳解】
解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∵過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D，
∴C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，
當(dāng)，即，解得或，
∴；
如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或
∴；
【小問3詳解】
解：①當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，，
∴，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線恰好經(jīng)過；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過，
∴點(diǎn)時(shí)拋物線與正方形的一個(gè)交點(diǎn)，
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
∴拋物線也經(jīng)過點(diǎn)；
綜上所述，正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

②如圖3-1所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、D，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如圖3-2所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
解得（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方）

如圖3-3所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
∴不符合題意；

綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
甲小區(qū)3月份用水量頻數(shù)分布表
用水量（x/m）
頻數(shù)（戶）
4
9
10
5
2
甲小區(qū)
乙小區(qū)
平均數(shù)
9.0
9.1
中位數(shù)
9.2
a

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