1. 實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．
2. 函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（ ）
A. x＞2B. x≥2C. x≠2D. x＜2
【答案】C
【解析】
【分析】令分母不等于0求解即可．
【詳解】由題意得
x-2≠0，
∴x≠2．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時(shí)字母的取值范圍一般從幾個(gè)方面考慮：①當(dāng)函數(shù)解析式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)解析式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．
3. 下列4組數(shù)中，不是二元一次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將選項(xiàng)中的的值分別代入方程的左邊，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，則是二元一次方程的解，不合題意；
B、當(dāng)時(shí)，，則是二元一次方程的解 ，不合題意；
C、 當(dāng)時(shí)，，則是二元一次方程的解，不合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，則不是二元一次方程的解，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．
4. 下列運(yùn)算正確是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，積的乘方，合并同類項(xiàng)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. 與不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，積的乘方，合并同類項(xiàng)，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，積的乘方，合并同類項(xiàng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5. 將函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題目條件函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則的值減少2，代入方程中即可．
【詳解】解：∵函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴，
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)平移，根據(jù)題目信息判斷是沿軸移動(dòng)還是沿軸移動(dòng)是解題的關(guān)鍵．
6. 2020年一2022年無(wú)錫居民人均可支配收入由5.76萬(wàn)元增長(zhǎng)至6.58萬(wàn)元，設(shè)人均可支配收入的平均增長(zhǎng)率為x，下列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【詳解】解：由題意得：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，中，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D恰好落在上，此時(shí)等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角即可求解．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，
∵，
∴，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何—旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
8. 下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)以及正多邊形與圓的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；
正三角形和正五邊形就不是中心對(duì)稱圖形，故②為假命題；
正六邊形中由外接圓半徑與邊長(zhǎng)可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，故③真命題；
根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正多邊形的特點(diǎn)，可知正n邊形共有n條對(duì)稱軸，故④為真命題.
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．
9. 如圖，在四邊形中，，，，若線段在邊上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值是（ ）

A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)B作，需使最小，顯然要使得和越小越好，則點(diǎn)F在線段的之間，設(shè)，則，求得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，

∵，，
∴，
過(guò)點(diǎn)B作，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
需使最小，顯然要使得和越小越好，
∴顯然點(diǎn)F在線段的之間，
設(shè)，則，
∴，
∴當(dāng)時(shí)取得最小值為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（ ）

A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長(zhǎng)，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．
【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點(diǎn)是重心；
如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；
如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；
①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，
，，，
，
，
②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴③錯(cuò)誤；
④如圖6，，
∴，
即，
在中，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，最大為5，
∴④正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）
11. 分解因式：__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．熟練掌握完全平方公式法因式分解，是解題的關(guān)鍵．
12. 廢舊電池含有少量重金屬，隨意丟棄會(huì)污染環(huán)境有資料表明，一粒紐扣大的廢舊電池，大約會(huì)污染水．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示__________．
【答案】
【解析】
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
13. 方程的解是：__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母去分母，然后去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把的系數(shù)化為1，最后一定要檢驗(yàn)．
【詳解】解：去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母中：，
∴原分式方程的解為： ，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的解法，做題過(guò)程中關(guān)鍵是不要忘記檢驗(yàn)，很多同學(xué)忘記檢驗(yàn)，導(dǎo)致錯(cuò)誤．
14. 若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為的正方形，則該直三棱柱的表面積為_(kāi)_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而根據(jù)表面積等于兩個(gè)底面積加上側(cè)面正方形的面積即可求解．
【詳解】解：∵側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為的正方形，
∴底面周長(zhǎng)為，
∵底面為正三角形，
∴正三角形的邊長(zhǎng)為
作，
是等邊三角形，，
，
在直角中，
，
；

∴該直三棱柱的表面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
15. 請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，使得它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義，可以先給出k值等于1，再找出符合點(diǎn)的b的值即可，答案不唯一．
【詳解】解：設(shè)，則，
∵它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴代入得：，
解得：，
∴一次函數(shù)解析式為，
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)一次函數(shù)的常數(shù)k、b的理解和待定系數(shù)法的運(yùn)用，是開(kāi)放型題目．
16. 《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺：豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺：斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門高是__________尺．
【答案】8
【解析】
【分析】設(shè)門高尺，則竿長(zhǎng)為尺，門的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，門寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：設(shè)門高尺，依題意，竿長(zhǎng)為尺，門的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，門寬為尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．
17. 已知曲線分別是函數(shù)的圖像，邊長(zhǎng)為的正的頂點(diǎn)在軸正半軸上，頂點(diǎn)、在軸上（在的左側(cè)），現(xiàn)將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)恰好在曲線上，則的值為_(kāi)_________．
【答案】6
【解析】
【分析】畫出變換后的圖像即可（畫即可），當(dāng)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)、在軸上時(shí)，根據(jù)為等邊三角形且，可得，過(guò)點(diǎn)、分別作軸垂線構(gòu)造相似，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】當(dāng)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)、在軸上時(shí)，連接，
為等邊三角形且，則，
，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，交軸分別于點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
18. 二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為_(kāi)_________．
【答案】或或
【解析】
【分析】先求得，，，直線解析式為，直線的解析式為，1）、當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí)，直線必過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)，平分面積，必為中線，則①如圖1，直線過(guò)中點(diǎn)，②如圖2，直線過(guò)中點(diǎn)，直線解析式為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，待入直線求得；③如圖3，直線過(guò)中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與軸平行，必不成立；2）當(dāng)分成三角形和梯形時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因?yàn)槠椒置娣e，所以相似比為．④如圖4，直線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；⑤如圖5，直線，⑥如圖6，直線，同理可得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，
設(shè)直線解析式為，
∴
解得：
∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，則直線與y軸交于，
∵，
∴，
∴點(diǎn)必在內(nèi)部．
1）、當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí)，直線必過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)，平分面積，必為中線
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
則直線的解析式為
①如圖1，直線過(guò)中點(diǎn)，，
中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線求得，不成立；

②如圖2，直線過(guò)中點(diǎn)，直線解析式為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，待入直線求得；
③如圖3，直線過(guò)中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線與軸平行，必不成立；
2）、當(dāng)分成三角形和梯形時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因?yàn)槠椒置娣e，所以相似比為．
④如圖4，直線，
∴
∴，
∴，
解得；

⑤如圖5，直線，，則
∴，又，
∴，
∵，
∴不成立；
⑥如圖6，直線，同理可得，
∴，，，
∴，解得；
綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)，并分類討論是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19. （1）計(jì)算：
（2）化簡(jiǎn)：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)平方差公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：（1）
；
（2）
．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的乘法，熟練掌握以上運(yùn)算法則以及乘法公式是解題的關(guān)鍵．
20. （1）解方程：
（2）解不等式組：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解；
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】（1）
解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，求不等式組的解集，熟練掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．求證：

（1）；
（2）四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到，，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
在與中，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
證明：由（1）證得，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
22. 為了深入推動(dòng)大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國(guó)旅游日惠民周活動(dòng)，活動(dòng)主辦方在活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)提供免費(fèi)門票抽獎(jiǎng)箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：攪勻后從抽獎(jiǎng)箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎(jiǎng)的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費(fèi)門票．
（1）小明獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是_________．
（2）小亮獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫出樹(shù)狀圖，得出總的結(jié)果數(shù)和恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：∵共有4張相同的卡片且任意抽取一張卡片，記錄后放回，
∴每張卡片抽到的概率都是，
設(shè)小明恰好抽到景區(qū)A門票為事件，則,
故答案為：；
小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)題意，畫樹(shù)狀圖如下：

∴一共有16種等可能的情況，恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況有2種，
∴他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率為；
【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率，樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
23. 2023年5月30日，神州十六號(hào)載人飛船成功發(fā)射，為大力弘揚(yáng)航天精神，普及航天知識(shí)，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新熱情，某初中在全校開(kāi)展航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)現(xiàn)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從每個(gè)年級(jí)抽取相同數(shù)量的學(xué)生答題成績(jī)進(jìn)行分析，繪制成下列圖表，請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：
學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)頻數(shù)分布表
學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

（1）_________；_________%；
（2）請(qǐng)根據(jù)“學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表”對(duì)本次競(jìng)賽中3個(gè)年級(jí)的總體情況做出評(píng)價(jià)，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）90；10
（2）七年級(jí)的平均分最高；八年級(jí)的中位數(shù)最大；九年級(jí)的眾數(shù)最大
【解析】
【分析】（1）先求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)C所占的百分比求出a，再由所有頻率之和為1，求出“E”所占的百分比，進(jìn)而確定m的值；
（2）比較中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的大小得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵抽取的總?cè)藬?shù)為（人），
∴C組的人數(shù)為（人），
；
故答案為：90，10；
【小問(wèn)2詳解】
解：七年級(jí)的平均分最高；
八年級(jí)的中位數(shù)最大；
九年級(jí)的眾數(shù)最大．（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及樣本估計(jì)總體，理解中位數(shù)、眾數(shù)的定義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
24. 如圖，已知，點(diǎn)M是上的一個(gè)定點(diǎn)．

（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中作，使得與射線相切于點(diǎn)M，同時(shí)與相切，切點(diǎn)記為N；
（2）在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先作的平分線，再過(guò)M點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)O，接著過(guò)O點(diǎn)作于N點(diǎn)，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則滿足條件；
（2）先利用切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，則，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用的劣弧與所圍成圖形的面積進(jìn)行計(jì)算．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，為所作；
；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵和為的切線，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的劣弧與所圍成圖形的面積
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積計(jì)算．
25. 如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．

（1）求的度數(shù)；
（2）若，求的半徑．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)為的切線，則，由，則，根據(jù)圓周角定理可得，又，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
如圖，連接．

為的切線，
．
，
．
，
．
，
．
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
26. 某景區(qū)旅游商店以元的價(jià)格采購(gòu)一款旅游食品加工后出售，銷售價(jià)格不低于元，不高于元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量與銷售價(jià)格（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式：
（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤(rùn)最大？最大銷售利潤(rùn)是多少？【銷售利潤(rùn)=（銷售價(jià)格一采購(gòu)價(jià)格）×銷售量】
【答案】（1）
（2）銷售價(jià)格為元時(shí)，利潤(rùn)最大為
【解析】
【分析】（1）分時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）設(shè)利潤(rùn)為，根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，得出，當(dāng)時(shí)，，
進(jìn)而根據(jù)分時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求得最大值，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，
∴
解得：
∴，
當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，
解得：
∴，
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)利潤(rùn)為
當(dāng)時(shí)，
∵在范圍內(nèi)，隨著的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為；
當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值為
，
當(dāng)銷售價(jià)格為元時(shí)，利潤(rùn)最大為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
27. 如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；
（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
如圖，連接、，

四邊形為菱形，
，，
為等邊三角形．
為中點(diǎn)，
，，
，．
，
為等腰直角三角形，
，，
翻折，
，，
，；.
同理，
，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

，，，
．
∵
，
，
．
，則，
，
，
．
∵，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問(wèn)題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
28. 已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）請(qǐng)直接寫出，的值；
（2）直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．
①求的最大值；
②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】（1），
（2）①；②2或
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)
∴
解得：
∴，，；
【小問(wèn)2詳解】
①如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．
∵，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
直線解析式為．
設(shè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
的最大值為．
②如圖2，已知，令，則，
在上取點(diǎn)，使得，
∴，
設(shè)，則，
則，
解得，
∴，即．
如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，
又∵，
設(shè)，則．
分類討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，
∴與的相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
ⅱ當(dāng)時(shí)，則，
∴相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
競(jìng)賽成績(jī)x（組別）
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
（F）
頻數(shù)
21
96
a
57
b
6
年級(jí)
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
七年級(jí)
82
81
八年級(jí)
82
82
九年級(jí)
83
80

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