命題：安慶市高考命題研究課題組
考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．
1．設(shè)集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．1C．2D．4
3．設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過橢圓C中心的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則的周長的最小值為（ ）
A．12B．14C．16D．18
4．在一次學(xué)科核心素養(yǎng)能力測試活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績（評(píng)分滿分為100分），將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進(jìn)行分組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)為（ ）
A．80B．78C．76D．74
5．設(shè)是公比不為1的無窮正項(xiàng)等比數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B滿足，則與夾角最大值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上沒有最小值，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在長方體中，，點(diǎn)E是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則（ ）
A．不存在點(diǎn)E，使得
B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條
C．過點(diǎn)E與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條
D．過點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知定義在R上的函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)為減函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
10．拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線C的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．面積的最大值為2
C．點(diǎn)E在一條定直線上
D．設(shè)直線傾斜角為，為定值
11．滿足，，的數(shù)列稱為盧卡斯數(shù)列，則（ ）
A．存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等差數(shù)列
B．存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等比數(shù)列
C．
D．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________．
13．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為M，底面直徑．圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點(diǎn)O，則該圓錐的全面積為__________．
14．剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的中國民間藝術(shù)．其傳承賡續(xù)的視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣，具有認(rèn)知、教化、表意、抒情、娛樂、交往等多重社會(huì)價(jià)值．現(xiàn)有如圖所示剪紙圖案，其花紋中就隱含方程為的曲線C（稱為星形線），則曲線C的內(nèi)切圓半徑為__________；以曲線C上點(diǎn)為切點(diǎn)的直線被坐標(biāo)軸截得的線段長等于__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）如圖，在平面凸四邊形中，．
（1）求；
（2）若，，求．
16．（15分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
17．（15分）如圖，將邊長為2的菱形沿其對(duì)角線對(duì)折，使得點(diǎn)A、D分別位于邊長為2的等邊所在平面的兩側(cè)，且，．設(shè)E是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的正弦值．
18．（17分）樹人高中擬組織學(xué)生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗(yàn)活動(dòng)，該項(xiàng)活動(dòng)對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)和航天知識(shí)素養(yǎng)有明確要求．學(xué)校所有3000名學(xué)生參加了遴選活動(dòng)，遴選活動(dòng)分以下兩個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)兩個(gè)環(huán)節(jié)均測試合格可以參加體驗(yàn)活動(dòng)．
第一環(huán)節(jié)：對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)進(jìn)行測試，當(dāng)測試值時(shí)體能指標(biāo)合格；
第二環(huán)節(jié)：對(duì)身體體能指標(biāo)符合要求的學(xué)生進(jìn)行航天知識(shí)素養(yǎng)測試，測試方案為對(duì)A，B兩類試題依次作答，均測試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫中隨機(jī)產(chǎn)生，有兩次測試機(jī)會(huì)，在任一類試題測試中，若第一次測試合格，不再進(jìn)行第二次測試．若第一次測試不合格，則進(jìn)行第二次測試，若第二次測試合格，則該類試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試結(jié)束．
經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，該校學(xué)生身體體能指標(biāo)服從正態(tài)分布．
參考數(shù)值：，，
．
（1）請(qǐng)估計(jì)樹人高中遴選學(xué)生符合身體體能指標(biāo)的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；
（2）學(xué)生小華通過身體體能指標(biāo)遴選，進(jìn)入航天知識(shí)素養(yǎng)測試，作答A類試題，每次測試合格的概率為，作答B(yǎng)類試題，每次測試合格的概率為，且每次測試相互獨(dú)立．
①在解答A類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進(jìn)行3次的概率．
②若解答A、B兩類試題測試合格的類數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
19．（17分）取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：
設(shè)，不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱為取整函數(shù)．另外也稱是x的整數(shù)部分，稱為x的小數(shù)部分．
（1）直接寫出和的值；
（2）設(shè)a，，證明：，且，并求在b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；
（3）對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)a，a能唯一寫為，其中為質(zhì)數(shù)，為整數(shù)，且對(duì)任意的，，i，，稱該式為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為．證明：在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)（，，）的指數(shù)．
2024年安慶二模數(shù)學(xué)參考答案
一、單項(xiàng)選擇題
二、多項(xiàng)選擇題
三、填空題
12．21013．14．，a
四、解答題
15．【解析】（1）由已知得：，
故，
所以．
因?yàn)?，故，所以?br>（2）由已知，為邊長為4的等邊三角形，
在中，，由正弦定理得，
故．
由于，所以，故．
在中，由余弦定理得，
即，得．
16．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)，得．
令，得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）方法1：由條件可知，于是，解得．
當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，，
對(duì)其求導(dǎo)，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
方法2：由條件可知對(duì)任意的恒成立，
令，，只需即可．
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，于是，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
17．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接、，如圖所示．
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，是邊長為2的等邊三角形，
所以也是邊長為2的等邊三角形．
在等邊中，O是的中點(diǎn)，故；且，
又，故；又，故平面；
又平面，故平面平面．
（2）由（1）知，，．
又O是等邊的邊中點(diǎn)，故．
所以，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x、y、z軸，建立如圖示空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，故．
因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，故，所以，且，
又，，故平面，則D在平面內(nèi)．故求得，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，顯然可令；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，即．所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
故平面與平面的夾角的正弦值為．
18．【解析】（1）．
所以符合該項(xiàng)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為：人．
（2）①記表示解答A類試題第一次測試合格，
，分別表示解答B(yǎng)類試題第一次和第二次測試合格，測試共進(jìn)行3次記為事件M，
則，．
②設(shè)X的取值為0，1，2，
，，，
所以X的分布列為
數(shù)學(xué)期望．
19．【解析】（1）1，0.25；
（2）證明：因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)乘b，得．
因?yàn)閍，b都為整數(shù)，所以也為整數(shù)，
又，所以．所以，得證．
假設(shè)b，，…，都小于等于a，因?yàn)椋?br>所以，所以．
因?yàn)?，所以，所以b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為．
（3），將2，3，…，n每一個(gè)數(shù)都分解為質(zhì)因數(shù)的乘積．
對(duì)于質(zhì)因數(shù)，利用（2）中結(jié)論，的倍數(shù)中不大于n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，記為，
將這些數(shù)都提取出來，此時(shí)p的倍數(shù)中還有可以提取出的數(shù)，
注意到的倍數(shù)中不大于n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，記為，將這些數(shù)提取出來；
同理，的倍數(shù)中不大于n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，記為，
依此這樣進(jìn)行下去，則質(zhì)因數(shù)的指數(shù)，得證．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
A
B
D
題號(hào)
9
10
11
答案
ACD
CD
BCD
X
0
1
2
P

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