一、單選題
1．命題“”的否定是（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．
3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．一個(gè)容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（ ）
A．15B．16C．17D．18
6．已知函數(shù)，，向右平移個(gè)單位長度后的圖象與原函數(shù)圖象重合，的極大值與極小值的差大于15，則a的最小值為（ ）
A．6B．7.5C．12D．18
7．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知拋物線與過焦點(diǎn)的一條直線相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．準(zhǔn)線的方程是B．以為直徑的圓與軸相切
C．的最小值為D．的面積最小值為
二、多選題
9．已知分別是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．的一個(gè)對稱中心為
B．的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)是偶函數(shù)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．若在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，則
11．如圖所示，在平行六面體中，為正方形的中心，分別為線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．平面
B．平面平面
C．直線與平面所成的角為
D．
三、填空題
12．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇 上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)
參考數(shù)據(jù)：若則，，
13．已知曲線和，若C與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) ；若C與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
14．已知是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
四、解答題
15．某校對高二年級選學(xué)生物的學(xué)生的某次測試成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取了80名學(xué)生的成績作為樣本，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：
(1)求表中n，p的值和頻率分布直方圖中a的值；
(2)如果用分層抽樣的方法，從樣本成績在和的學(xué)生中共抽取5人，再從這5人中選2人，求這2人的成績在的概率.
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)從中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)……第項(xiàng)，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
17．如圖，在三棱臺(tái)中，平面，且為中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若，求此時(shí)平面和平面所成角的余弦值.
18．已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線和關(guān)于軸對稱？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.
19．已知點(diǎn)滿足，，且，過點(diǎn)、的直線為l．
（1）證明：對于任意的，點(diǎn)均在直線l上；
（2）求對所有，均有的最大實(shí)數(shù)k的值．
分組
頻數(shù)
頻率
[60,70）
16
0.2
[70,80）
50
n
[80,90）
10
p
[90,100]
4
0.05
合計(jì)
80
1
參考答案：
1．A
【分析】將特稱量詞改為全稱量詞，再否定結(jié)論即可得解..
【詳解】因?yàn)槊}“”是存在量詞命題，
所以其否定是全稱量詞命題，即，
故選：A.
2．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡，由純虛數(shù)的概念求出，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長公式可得結(jié)果.
【詳解】復(fù)數(shù)，則，
依題意得，，解得，即，
，
所以.
故選：.
3．C
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由已知可得出，可得出，化簡得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
則，
所以，，
則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，
因此，的最小值為.
故選：C.
4．D
【分析】利用平面向量加法的三角形法則結(jié)合相反向量的定義可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，故.
故選：D.
5．D
【分析】將這些數(shù)從小到大重新排列后結(jié)合百分位數(shù)的定義計(jì)算即可得.
【詳解】將這些數(shù)從小到大重新排列后為：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，則取從小到大排列后的第8個(gè)數(shù)，
即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為18.
故選：D.
6．C
【分析】寫出平移后解析式，由它與原函數(shù)相同，結(jié)合周期性得的表達(dá)式，再由極大值與極小值的差大于15得的范圍，從而可得結(jié)論．
【詳解】平移后函數(shù)式為，它與原函數(shù)一樣，則，，
是正弦型函數(shù)，極大值與極小值的差是，由題意，，
所以的最小值是12．
故選：C．
7．D
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．
故選：D．
8．C
【分析】根據(jù)拋物線方程，結(jié)合準(zhǔn)線定義即可判斷A；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，計(jì)算可得此時(shí)以為直徑的圓不與軸相切，即可判斷B；對于CD：分直線斜率存在以及不存在兩種情況分別討論，即可求解．
【詳解】對于A：由拋物線的方程可知其焦點(diǎn)為，故準(zhǔn)線的方程為：，故A錯(cuò)誤.
對于B：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線方程：，易得，
則以為直徑的圓半徑為，此時(shí)不與軸相切，故B錯(cuò)誤.
對于C：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
由，得，
得，，，
，
易知直線的方程為，由，得，
，，
綜上所得，的最小值為，故C正確．
對于D：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，
所以；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，且此時(shí)最小值為，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
9．BCD
【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件得到時(shí)，，再檢驗(yàn)是否滿足，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，根據(jù)條件可直接求出，即可判斷出結(jié)果；選項(xiàng)C，通過放縮，即可得出結(jié)果；選項(xiàng)D，根據(jù)條件，利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)棰?，所以②?br>②①可得，即，
又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
又，不滿足，
故，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B，令，得，故，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，由于恒成立?br>故，所以選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，因?yàn)?br>所以，所以選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
10．AC
【分析】對A，代入驗(yàn)證即可；對B，根據(jù)平移的原則即可判斷；對C，利用整體法即可判斷其單調(diào)性；對D，找到第7個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則得到的范圍.
【詳解】對A，由0，故A正確；
對B，的圖象向右平移個(gè)單位長度后得
，顯然其為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對C，當(dāng)時(shí)，則，
由余弦函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；
對于D，由，得，解得或，，
在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，
其橫坐標(biāo)從小到大依次為：，，，，，，
而第7個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
11．BCD
【分析】A選項(xiàng)，判斷和平面關(guān)系可得答案；
B選項(xiàng)，注意到平面，平面，即可判斷選項(xiàng)正誤；
C選項(xiàng)，注意到平面，，則與平面所成的角即為與平面所成的角；
D選項(xiàng)，題目數(shù)據(jù)及勾股定理逆定理可得，后由，可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】對于，若平面，因?yàn)?，則平面，或平面，而和平面相交，故A錯(cuò)；
對于B，因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面平面，平面，所以平面平面，故B正確；
對于C，由于，且，故，而，故平面，而，故與平面所成的角即為與平面所成的角，又AB與AO夾角為，即直線與平面所成的角為，故正確；
對于D，設(shè)，則，顯然，故，由，所以，而，所以，故D正確.
故選：BCD.

12．公交
【分析】由題意可知從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間不超過48分鐘，小明就不會(huì)遲到，由此計(jì)算三種方式下的值，比較大小，即可得結(jié)論.
【詳解】由題意可知從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間不超過48分鐘，小明就不會(huì)遲到；
若選擇自駕，則；
若選擇地鐵，則；
若選擇公交，則，
而，
故選擇公交上班遲到的可能性最小，
故答案為：公交
13． 0或4
【分析】若C與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析求解；若C與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合對稱性可知C與在內(nèi)只有1個(gè)交點(diǎn)，且不過，聯(lián)立方程可得關(guān)于x方程只有一個(gè)正根，且根不為0，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布分析求解.
【詳解】由題意可知：曲線表示圓心為，半徑為的圓，
若C與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則，解得或；
因?yàn)镃與均關(guān)于y軸對稱，注意到與y軸的交點(diǎn)為，
若C與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于C與在內(nèi)只有1個(gè)交點(diǎn)，且不過，
此時(shí)，
聯(lián)立方程，消去y得，
即關(guān)于x方程只有一個(gè)正根，且根不為0，
則或，
解得或，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：0或4；.
14．
【分析】設(shè)，變形可得，利用的幾何意義轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系即可求解．
【詳解】設(shè)，變形可得，
則的幾何意義為直線的斜率，
是圓上任意一點(diǎn)，圓心，半徑為，
則，解得，
即的取值范圍為.
故答案為：.
15．(1)，，；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布表，利用頻率的意義求出，再利用頻率分布直方圖求出作答.
（2）利用分層抽樣求出5人中，每個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，再利用列舉法求出概率作答.
【詳解】（1）依題意，，，.
（2）樣本成績在和的學(xué)生的人數(shù)之比為，
因此抽取5人中成績在的有4人，記這4人為，成績在的有1人，記為，
從這5人中任選2人，有，共10個(gè)結(jié)果，
其中這2人成績均在內(nèi)有，共6個(gè)，
所以這2人成績均在內(nèi)的概率為.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由，，代入可得，化簡即可證明結(jié)論；
（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)積為，所以，
又因?yàn)?，所以?br>化簡可得，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2.
（2）由（1）可得,
所以，故，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則①
②
①②可得：
化簡可得：，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理即可得證；
（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，再利用空間向量法即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所?
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
又，且平面，
所以平面；
（2）依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
所以，可取，則，
又易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面和平面所成角為，
則，
故平面和平面所成角的余弦值為.
18．(1)
(2)存在；
【分析】（1）將帶入橢圓的方程求解即可；
（2）將直線和關(guān)于軸對稱轉(zhuǎn)化為，然后聯(lián)立直線和橢圓的方程求解即可.
【詳解】（1）橢圓的焦距為，故，
過點(diǎn)，，且，
聯(lián)立解得：
所以橢圓的方程為：.
（2）
橢圓右焦點(diǎn)為，
故過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線為：，
和橢圓聯(lián)立得：，
，
設(shè)，則，
設(shè)存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，直線和關(guān)于軸對稱，
故，即
化簡得：，
即則.
故存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線和關(guān)于軸對稱.
19．（1）見解析；（2）
【詳解】（1）由，，得，．
于是，直線．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
，．①
當(dāng)時(shí)，，，結(jié)論成立．
假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，．
則當(dāng)時(shí)，
，
，
結(jié)論成立．
從而，對于任意的，結(jié)論①均成立．
又，故對于任意的，點(diǎn)均在直線l上．
（2）實(shí)數(shù)k的最大值為．
對于任意的正整數(shù)n，定義函數(shù)．
則 ．
于是單調(diào)遞增．
故原不等式等價(jià)于對任意正整數(shù)n，有．
從而，k的最大可能值為．
因此，實(shí)數(shù)k的最大值為

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