1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角的集合是；②將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是；③若是第三象限角，則是第二象限角；④若，則．其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
3．若都是第一象限角，則“”是“”成立的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知函數(shù)，且對(duì)，滿(mǎn)足，若，則（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函數(shù)，若有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) B．有一個(gè)或兩個(gè)零點(diǎn)
C．的取值范圍是 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
6．已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成；一個(gè)半徑為的扇形，它的周長(zhǎng)是，則這個(gè)扇形所含弓形的面積是（ ）
A． B． C． D．
8．冬季是流感高發(fā)期，其中甲型流感病毒傳染性非常強(qiáng)?；驹偕鷶?shù)與世代間隔是流行病學(xué)基本參考數(shù)據(jù)。某市疾控中心數(shù)據(jù)庫(kù)統(tǒng)計(jì)分析，可以用函數(shù)模型來(lái)描述累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長(zhǎng)率與基本再生數(shù)和世代間隔之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足，根據(jù)已有數(shù)據(jù)估計(jì)出時(shí)，。據(jù)此回答，累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)增加至的3倍至少需要（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值范圍是（ ）
A．0 B．2 C． D．4
10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到
B．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
C．若，則的最小值為
D．方程在區(qū)間上只有一個(gè)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為
11．已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則（ ）
A．的范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
12．已知，則（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為
C．的最小值為 D．的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，則_______。
14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______。
15．已知函數(shù)。若存在，使不等式成立，則的取值范圍是_______。
16．已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是_______。
四、解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（1）化簡(jiǎn)：；
（2）化簡(jiǎn)：。
18．已知函數(shù)．
（1）求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
19．國(guó)務(wù)院于2023年開(kāi)展第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查，為更好地推動(dòng)第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查工作，某地充分利用信息網(wǎng)絡(luò)開(kāi)展普查宜傳，向基層普查人員、廣大普查對(duì)象及社會(huì)公眾宣傳經(jīng)濟(jì)普查知識(shí)。為了解宣傳進(jìn)展情況，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組），第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)（精確到0.1）；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人。
①再?gòu)牡诙M和第五組中抽取的人中任選3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求從中至少抽到2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查的概率；
②若第2組中參與調(diào)查的人的年齡的平均數(shù)和方差分別為30和6，第3組中參與調(diào)查的人的年齡的平均數(shù)和方差分別為40和6，據(jù)此估計(jì)這次參與調(diào)查的人中第2組和第3組所有人的年齡的方差。
20．已知函數(shù)，其中。
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值及取最值時(shí)的值；
（2）若的最小值為，求。
21．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：如果對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)函數(shù)是上的凹函數(shù)，已知二次函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)是否為凹函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）如果函數(shù)對(duì)任意的時(shí)，都有，試求實(shí)數(shù)的范圍．
22．設(shè)函數(shù)且是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)。
（1）求的值；
（2）若，求使不等式對(duì)一切恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，是否存在正數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為0，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
2026屆高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)答案
一、BACB DCCB
二、多選題：9．BC 10．BC 11．ACD 12．ABD
三、填空題：
13． 14． 15． 16．8
四、解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．【詳解】
（1）
。5分
（2）
。10分
18．【詳解】（1）因?yàn)椋?分
所以或或，
解得或或，
綜上所述，不等式的解集為。6分
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上，，9分
所以，
故，故，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為。12分
19．【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，解得，
設(shè)第30百分位數(shù)為，
，
位于第三組：內(nèi)，
；3分
（2）①由題意得，第2組和第5組的頻率分別為，故第2組和第5組所抽取的人數(shù)之和為，且第2組和第5組抽取人數(shù)之比為，
即第2組3人，記為，
第5組2人，記為甲，乙，
對(duì)應(yīng)的樣本空間為：甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，甲乙，甲乙，共10個(gè)樣本點(diǎn)，
設(shè)事件為“至2人被選上”，
則有甲，乙，甲，乙，甲，乙，共有7個(gè)樣本點(diǎn)，
；
（2）設(shè)第2組的宣傳使者的年齡平均數(shù)分為，方差為，
設(shè)第3組的宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，
第2組和第3組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，
則，10分
即第2組和第3組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為。
即第2組和第3組所有宣傳使者的年齡方差為27。12分
20．（1）當(dāng)時(shí)，，
令，則，2分
的圖象對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，最小值為，4分
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，最大值為42。6分
（2）因?yàn)榈淖钚≈禐椋?分
所以，所以，10分
又，
所以。12分
21．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，即所值域?yàn)椋?分。
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是凹函數(shù)，此時(shí)，，
作差得到：，
即有，故函數(shù)是凹函數(shù)；8分
（3）由，則有，即
當(dāng)時(shí)，有，即10分
又，則，
當(dāng)時(shí)，，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為。12分
22．【詳解】【詳解】（1）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)
，
；經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。2分
（2）由（1）得，
由得又，
由得，
為奇函數(shù)，
為上的增函數(shù)。4分，
對(duì)一切恒成立，
即對(duì)一切恒成立，
故，解得；6分
（3）假設(shè)存在正數(shù)符合題意，由得
，8分
設(shè)，則，
，12分
記，
函數(shù)在上的最大值為0，9分
（i）若，則函數(shù)在有最小值為1，
對(duì)稱(chēng)軸，不合題意；10分
（ii）若，則函數(shù)在上恒成立，且最大值為1，最小值大于0，
①，
又此時(shí)，
又，故無(wú)意義，
所以應(yīng)舍去；12分
（2）無(wú)解，12分
故不存在正數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為0。12分

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