注意事項(xiàng).
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改功，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知，則（ ）
A. B. C. D.
3.已知橢圓的焦距為2，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
4.乒乓球被譽(yù)為我國(guó)的“國(guó)球”，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)尺寸乒乓球的直徑是，其表面積約為（ ）
A. B. C. D.
5.已知函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，則（ ）
A. B. C. D.
7.已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為10，且.設(shè)，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A.9.5 B.10.5
8.甲?乙?丙三名同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)?物理?化學(xué)?生物興趣小組.-已知每人參加兩個(gè)興趣小組，三人不能同時(shí)參加同一個(gè)興趣小組，每個(gè)興趣小組至少有一人參加，則不同的報(bào)名參加方式共有（ ）
A.45種 B.81種 C.90種 D.162種
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知函數(shù)，則（ ）
A.的最小正周期是
B.的值域是
C.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
10.已知點(diǎn)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為的右支上一點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，，邊在平面上的射影長(zhǎng)分別為3，4，則邊在上的射影長(zhǎng)可能為（ ）
A. B. C. D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，若，則___________，___________.
13.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.
14.已知且，函數(shù)在的最大值為，則在的最小值為_(kāi)__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）若，求；
（2）若，求的面積.
16.（15分）
如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且.
（1）證明：平面；
（2）若平面，且，求二面角的正弦值.
17.（15分）
已知某客運(yùn)輪渡最大載客質(zhì)量為，且乘客的體重（單位：）服從正態(tài)分布.
（1）記為任意兩名乘客中體重超過(guò)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（所有結(jié)果均精確到0.001）；
（2）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布，記，則當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若保證該輪渡不超載的概率不低于，求最多可運(yùn)載多少名乘客.
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則；若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則；，，.
18.（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為各頂點(diǎn)均在上，且.
（1）證明：是的重心；
（2）能否是等邊三角形？并說(shuō)明理由；
（3）若均在第一象限，且直線的斜率為，求面積.
19.（17分）
已知函數(shù).
（1）若，求的極值；
（2）若，設(shè).證明：
（i）；
（ii）.
絕密★啟用前（新高考卷）
數(shù)學(xué)參考答案
1.【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?
2.【答案】A
【解析】，故.
3.【答案】D
【解析】根據(jù)題意有半焦距，故，且，故的離心率.
4.【答案】C
【解析】標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的半徑，故表面積.
5.【答案】B
【解析】，若沒(méi)有極值點(diǎn)，則方程至多只有一個(gè)解，
即，故的取值范圍是.
6.【答案】A
【解析】由，可得，由，可得，故，故當(dāng)時(shí)，.
7.【答案】B
【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因?yàn)?，所以，所?
8.【答案】C
【解析】方法1：根據(jù)題意可知有2個(gè)興趣小組各有2個(gè)人報(bào)名，有2個(gè)興趣小組各有1個(gè)人報(bào)名，則共有種；若有2個(gè)同學(xué)所報(bào)名的2個(gè)興趣小組完全相同，則剩下的1個(gè)同學(xué)所報(bào)名參加的2個(gè)興趣小組都只有1個(gè)人報(bào)名，則有種；若三人中只有一人所報(bào)名的2個(gè)興趣小組各有2人報(bào)名，則另兩人每人各報(bào)名一個(gè)有2人報(bào)名的興趣小組和一個(gè)僅有1人報(bào)名的興趣小組，則有種，故一共有種.
方法2：甲乙完全相同的報(bào)名參加方式有種，甲?乙只有一個(gè)興趣小組相同的報(bào)名參加方式有種，甲?乙完全不同的報(bào)名參加方式有種，所以他們不同的報(bào)名參加方式共有種.
9.【答案】ABD（選對(duì)部分得3分）
【解析】，故的最小正周期是，值域?yàn)檎_；因?yàn)?，故不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，故關(guān)于直線對(duì)稱，正確.
10.【答案】BCD（選對(duì)部分得3分）
【解析】當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為無(wú)窮大時(shí)，也為無(wú)窮大，故A錯(cuò)誤；由雙曲線的定義可知，故，故B正確；，故C正確；的一條漸近線的斜率為，大于直線的斜率，所以當(dāng)在軸上方時(shí)，不可能共線，故由三角形三邊關(guān)系可知，故D正確.
11.【答案】AC（選對(duì)部分得3分）
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在上，因?yàn)椋疫呍谄矫嫔系纳溆伴L(zhǎng)分別為3，4，所以點(diǎn)到的距離分別為4，3.當(dāng)在同一側(cè)時(shí)，在上的射影長(zhǎng)為；當(dāng)在不同側(cè)時(shí)，在上的射影長(zhǎng)為.
12.【答案】，（第一空3分，第二空2分）
【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，?dāng)時(shí)，，即，故，所以.
13.【答案】49
【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，故，所?br>.
14.【答案】5
【解析】方法1：因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故若在的最大值為-3，則在的最小值為5.
方法2：由條件得，當(dāng)時(shí)，，且等號(hào)成立，即，
，且等號(hào)成立，在的最小值為5.
15.（13分）
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>，
因?yàn)椋?br>所以，
故.
所以.
（2）由余弦定理可知，
即，
故.
又，
所以.
16.（15分）
【解析】（1）記為的交點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則為的重心，故.
又因?yàn)樗倪呅问钦叫危蕿榈闹悬c(diǎn)，且由于，故，，
所以.
又因?yàn)槠矫?，且平?br>所以平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以，
平面與平面的法向量分別為，則
，
不妨取，則，
所以，
所以二面角的正弦值為.
17.（15分）
【解析】（1）設(shè)乘客的體重為，則，其中，
因?yàn)椋矗?br>故，
所以，
，
，
所以的分布列為：
方法1：所以.
方法2：因?yàn)?，?
注：考生把寫(xiě)成，不影響得分.
（2）設(shè)為第位乘客的體重，則，其中，
所以.
因?yàn)?故有，
得，即，故，
所以若保證該輪渡不超載的概率不低于，最多可運(yùn)載64名乘客.
18.（17分）
【解析】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由可知，設(shè)的中點(diǎn)為，同理可知，
所以兩條中線相交于，故是的重心.
（2）方法1：根據(jù)題意有.
設(shè)，則，
由可得，，且.
又由拋物線的幾何性質(zhì)可知.
若是等邊三角形，則由（1）可知.
由，得，又因?yàn)椴恢睾?，故可知?br>所以.
故，這與矛盾.
綜上，不可能是等邊三角形.
方法2：根據(jù)題意有.
設(shè)，由拋物線的幾何性質(zhì)可知，.
若是等邊三角形，則由（1）可知.
所以，故，
因此中至少兩個(gè)相等，中至少有兩個(gè)點(diǎn)重合，這與互不重合矛盾，故不可能是等邊三角形.
（3）方法1：設(shè)直線的方程為，其中，且因?yàn)樵诘谝幌笙蓿?br>易知，與的方程聯(lián)立有，其中，可知，
結(jié)合（2）中所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)可知.
由（2）可知，
且，代入有：
，故，
整理化簡(jiǎn)有，
，點(diǎn)到直線的距離，
所以.
由（1）可知，故.
方法2：由條件可設(shè)的方程為.把此方程與聯(lián)立，化簡(jiǎn)得.
.
根據(jù)（2）有，
.
由解得.
，直線的方程為.
.
點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積為.
19.（17分）
【解析】（1）方法1：當(dāng)時(shí)，，
所以，且.
設(shè)，則，其中，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，
單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
故是的極小值點(diǎn)，的極小值為，
是的極大值點(diǎn)，的極大值為.
方法2：當(dāng)時(shí)，，
所以.
設(shè)，則在單調(diào)遞減.由于，，故存在唯一，使得.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，
單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
故是的極小值點(diǎn)，的極小值為，
是的極大值點(diǎn)，的極大值為.
（2）（i）設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.
令，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋蕟握{(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，.
所以，，故對(duì)于任意.
（ii）由（i）可知，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)取等.故當(dāng)時(shí)，，令，則在單調(diào)遞增.
由（i）可知，故，即.
所以.
因?yàn)?，?
所以，
且由可知，.
綜上，有.0
1
2
0.708
0.267
0.025

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