正方形的定義：
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形
正方形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。
所以正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正方形分成了四個(gè)全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點(diǎn)是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組對邊中點(diǎn)的直線也是對稱軸。
微專題
1．(2023?黃石）如圖，正方形OABC的邊長為，將正方形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（ ）
第1題 第2題
A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，2）
2．(2023?廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長為（ ）
A．B．C．2﹣D．
3．(2023?貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（ ）
第3題 第4題
A．4B．8C．12D．16
4．(2023?青島）如圖，O為正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形．若AB＝2，則OE的長度為（ ）
A．B．C．2D．2
5．(2023?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（ ）
第5題 第6題 第7題
A．B．2C．2D．4
6．(2023?黔東南州）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（ ）
A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1
7．(2023?隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，連接MP，NF，沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板．則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法正確的有（ ）
①圖中的三角形都是等腰直角三角形；
②四邊形MPEB是菱形；
③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．
A．只有①B．①②C．①③D．②③
8．(2023?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（ ）
第8題 第9題
A．正方形紙片的面積B．四邊形EFGH的面積
C．△BEF的面積D．△AEH的面積
9．(2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，連接DF，若BE＝AF，則∠CDF的度數(shù)為（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
10．(2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F分別為AC、BD上一點(diǎn)，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為（ ）
第10題 第11題
A．50°B．55°C．65°D．70°
11．(2023?益陽）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是 ．
12．(2023?海南）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，則∠AEB＝ °；若△AEF的面積等于1，則AB的值是 ．
第12題 第13題
13．(2023?廣西）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF，交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′的周長是 ．
14．(2023?無錫）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝ ．
15．(2023?江西）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為 ．
考點(diǎn)二：正方形的判定
知識回顧
直接判定：
四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。
利用平行四邊形判定：
一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）
利用菱形與矩形判定：
①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。
②對角線相等的菱形是正方形。
③鄰邊相等的矩形是正方形。
④對角線相互垂直的矩形是正方形。
微專題
16．(2023?紹興）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)是對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說法：
①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF；
②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF；
③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF；
④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．(2023?濱州）下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形
B．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C．對角線互相平分的四邊形是菱形
D．對角線互相垂直的矩形是正方形
18．(2023?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點(diǎn)A在△BCF內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADFE是矩形；③當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADFE是正方形．其中正確結(jié)論有 （填上所有正確結(jié)論的序號）．
考點(diǎn)三：中點(diǎn)四邊形：
知識回顧
中點(diǎn)四邊形的定義：
將任意四邊形各條邊的中點(diǎn)順次連接起來得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。
中點(diǎn)四邊形的判定：
①任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。
②對角線相互垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形。（菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形）
③對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形。（矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形）
④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形。（正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形）
微專題
19．(2023?玉林）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD一定是（ ）
A．互相平分B．互相垂直
C．互相平分且相等D．互相垂直且相等
20．(2023?德陽）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．四邊形EFGH是矩形
B．四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形ABCD的內(nèi)角和
C．四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和
D．四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD的面積的
專題27 正方形
考點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)
知識回顧
正方形的定義：
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形
正方形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。
所以正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正方形分成了四個(gè)全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點(diǎn)是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組對邊中點(diǎn)的直線也是對稱軸。
微專題
1．(2023?黃石）如圖，正方形OABC的邊長為，將正方形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，2）
【分析】連接OB，由正方形的性質(zhì)和勾股定理得OB＝2，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得B1在y軸正半軸上，且OB1＝OB＝2，即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接OB，
∵正方形OABC的邊長為，
∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，
∴OB＝＝＝2，
∵將正方形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B1的位置，
∴B1在y軸正半軸上，且OB1＝OB＝2，
∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（0，2），
故選：D．
2．(2023?廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長為（ ）
A．B．C．2﹣D．
【分析】連接EF，由正方形ABCD的面積為3，CE＝1，可得DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF＝∠ABE＝30°，故AF＝＝1，DF＝AD﹣AF＝﹣1，可知EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，而M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，即得MN＝EF＝．
【解答】解：連接EF，如圖：
∵正方形ABCD的面積為3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝，
∵CE＝1，
∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF＝＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，
∵M(jìn)，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，
∴MN是△BEF的中位線，
∴MN＝EF＝．
故選：D．
3．(2023?貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出小正方形的邊長，然后即可得到小正方形的周長．
【解答】解：由題意可得，
小正方形的邊長為3﹣1＝2，
∴小正方形的周長為2×4＝8，
故選：B．
4．(2023?青島）如圖，O為正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形．若AB＝2，則OE的長度為（ ）
A．B．C．2D．2
【分析】首先利用正方形的性質(zhì)可以求出AC，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可求出OE．
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，AB＝2，
∴AC＝2，
∵O為正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形，
∴∠AOE＝90°，
∴AC＝AE＝2，AO＝，
∴OE＝×＝．
故選：B．
5．(2023?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】連接AE，那么，AE＝CG，所以這三個(gè)d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故當(dāng)AEFC四點(diǎn)共線有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解答】解：如圖，連接AE，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條線上時(shí)，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
連接AC，
∴d1+d2+d3最小值為AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∴d1+d2+d3最?。紸C＝2，
故選：C．
6．(2023?黔東南州）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（ ）
A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1
【分析】方法一：如圖，延長DA、BC交于點(diǎn)G，利用正方形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，運(yùn)用解直角三角形可得AG＝2，DG＝2+2，再求得∠G＝30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出答案．
方法二：過點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝，再證明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝，即可求得答案．
【解答】解：方法一：如圖，延長DA、BC交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB?tan∠ABC＝2×tan60°＝2，
∴DG＝AD+AG＝2+2，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，
故選D．
方法二：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，
則∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四邊形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE?sin∠EBH＝2?sin30°＝2×＝1，BH＝BE?cs∠EBH＝2cs30°＝，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四邊形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
，
∴△BEH≌△DEG（AAS），
∴DG＝BH＝，
∴DF＝DG+FG＝+1，
故選：D．
7．(2023?隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，連接MP，NF，沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板．則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法正確的有（ ）
①圖中的三角形都是等腰直角三角形；
②四邊形MPEB是菱形；
③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．
A．只有①B．①②C．①③D．②③
【分析】①利用正方形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)可以解決問題；
②利用①的結(jié)論可以證明OM≠M(fèi)P解決問題；
③如圖，過M作MG⊥BC于G，設(shè)AB＝BC＝x，利用正方形的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)分別求出BE和MG即可判定是否正確．
【解答】解：①如圖，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，
∴EF為△CBD的中位線，
∴EF∥BD，
∵AP⊥EF，
∴AP⊥BD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴A、O、P、C在同一條直線上，
∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，
∵M(jìn)，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，
∴MP∥BC，NF∥OC，
∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．
故①正確；
②根據(jù)①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM
∴四邊形MPEB不可能是菱形．故②錯(cuò)誤；
③∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∵四邊形ABCD是正方形，且設(shè)AB＝BC＝x，
∴BD＝x，
∵AP⊥EF，
∴AP⊥BD，
∴BO＝OD，
∴點(diǎn)P在AC上，
∴PE＝EF，
∴PE＝BM，
∴四邊形BMPE是平行四邊形，
∴BO＝BD，
∵M(jìn)為BO的中點(diǎn)，
∴BM＝BD＝x，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE＝BC＝x，
過M作MG⊥BC于G，
∴MG＝BM＝x，
∴四邊形BMPE的面積＝BE?MG＝x2，
∴四邊形BMPE的面積占正方形ABCD面積的．
∵E、F是BC，CD的中點(diǎn)，
∴S△CEF＝S△CBD＝S四邊形ABCD，
∴四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的（1﹣﹣﹣）＝．
故③正確．
故選：C．
8．(2023?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（ ）
A．正方形紙片的面積B．四邊形EFGH的面積
C．△BEF的面積D．△AEH的面積
【分析】根據(jù)題意設(shè)PD＝x，GH＝y(tǒng)，則PH＝x﹣y，根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得AP＝x+y，先用面積差表示圖中陰影部分的面積，并化簡，再用字母分別表示出圖形四個(gè)選項(xiàng)的面積，可得出正確的選項(xiàng)．
【解答】解：設(shè)PD＝x，GH＝y(tǒng)，則PH＝x﹣y，
∵矩形紙片和正方形紙片的周長相等，
∴2AP+2（x﹣y）＝4x，
∴AP＝x+y，
∵圖中陰影部分的面積＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB
＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×?（x﹣y）（2x+y）﹣2×?（2x﹣y）?x
＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）
＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy
＝2xy，
A、正方形紙片的面積＝x2，故A不符合題意；
B、四邊形EFGH的面積＝y(tǒng)2，故B不符合題意；
C、△BEF的面積＝?EF?BQ＝xy，故C符合題意；
D、△AEH的面積＝?EH?AM＝y(tǒng)（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合題意；
故選：C．
9．(2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，連接DF，若BE＝AF，則∠CDF的度數(shù)為（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到∠ADF的度數(shù)，從而可以求得∠CDF的度數(shù)．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
，
△DAF≌△ABE（SAS），
∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故選：C．
10．(2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F分別為AC、BD上一點(diǎn)，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【分析】利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．
∵OE＝OF，
∴△OEF為等腰直角三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，
∴∠FAO＝20°．
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（SAS）．
∴∠FAO＝∠EBO＝20°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．
故選：C．
11．(2023?益陽）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是 ．
【分析】由正方形邊長為3，可求AC＝3，則AA′＝AC＝，由平移可得重疊部分是正方形，根據(jù)正方形的面積公式可求重疊部分面積．
【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為3，
∴AC＝3，
∴AA′＝AC＝，
∴A′C＝2，
由題意可得重疊部分是正方形，且邊長為2，
∴S重疊部分＝4．
故答案為：4．
12．(2023?海南）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，則∠AEB＝ °；若△AEF的面積等于1，則AB的值是 ．
【分析】利用“HL”先說明△ABE與△ADF全等，得結(jié)論∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差關(guān)系及三角形的內(nèi)角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面積求出AE，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AB．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴∠BAE＝∠DAF．
∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）
＝（90°﹣30°）
＝30°．
∴∠AEB＝60°．
故答案為：60．
過點(diǎn)F作FG⊥AE，垂足為G．
∵sin∠EAF＝，
∴FG＝sin∠EAF×AF．
∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，
∴×AE2×sin30°＝1．
即×AE2×＝1．
∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵cs∠BAE＝，
∴AB＝cs30°×AE
＝×2
＝．
故答案為：．
13．(2023?廣西）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF，交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′的周長是 ．
【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先根據(jù)翻折的性質(zhì)得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周長＝△EGH的周長，接下來計(jì)算△EGH的三邊即可；證明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函數(shù)和勾股定理分別計(jì)算EG，GH和EH的長，相加可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，過點(diǎn)F作FP⊥AC于P，連接GH，
∵將△EFH沿EF翻折得到△EFH′，
∴△EGH'≌△EGH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，
∵F是CD的中點(diǎn)，
∴CF＝CD＝2，
∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，
∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEM＝∠FEN，
∵∠BME＝∠FNE，
∴△BME≌△FNE（ASA），
∴EB＝EF，
∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，
∴∠BEO＝∠EFP，
∵∠BOE＝∠EPF＝90°，
∴△BEO≌△EFP（AAS），
∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，
∵tan∠OEG＝＝，即＝，
∴OG＝1，
∴EG＝＝，
∵OB∥FP，
∴∠OBH＝∠PFH，
∴tan∠OBH＝tan∠PFH，
∴＝，
∴＝＝2，
∴OH＝2PH，
∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，
∴OH＝×2＝，
在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，
∴△EGH′的周長＝△EGH的周長＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．
故答案為：5+．
14．(2023?無錫）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝ ．
【分析】設(shè)CG＝x，則BG＝8﹣x，根據(jù)勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x的值，進(jìn)而求出BG的長．
【解答】解：連接AG，EG，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CE＝4，
設(shè)CG＝x，則BG＝8﹣x，
在Rt△ABG和Rt△GCE中，根據(jù)勾股定理，得
AB2+BG2＝CE2+CG2，
即82+（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝7，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．
故答案是：1．
15．(2023?江西）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為 ．
【分析】根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題．
【解答】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2，
長方形的寬是正方形對角線的一半為1，
則長方形的對角線長＝＝．
故答案為：．
考點(diǎn)二：正方形的判定
知識回顧
直接判定：
四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。
利用平行四邊形判定：
一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）
利用菱形與矩形判定：
①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。
②對角線相等的菱形是正方形。
③鄰邊相等的矩形是正方形。
④對角線相互垂直的矩形是正方形。
微專題
16．(2023?紹興）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)是對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說法：
①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF；
②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF；
③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF；
④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可．
【解答】解：連接AC，MN，且令A(yù)C，MN，BD相交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只要OM＝ON，那么四邊形MENF就是平行四邊形，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF，故①正確；
只要MN＝EF，OM＝ON，則四邊形MENF是矩形，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無數(shù)個(gè)矩形MENF，故②正確；
只要MN⊥EF，OM＝ON，則四邊形MENF是菱形，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無數(shù)個(gè)菱形MENF，故③正確；
只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，則四邊形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；
故選：C．
17．(2023?濱州）下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形
B．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C．對角線互相平分的四邊形是菱形
D．對角線互相垂直的矩形是正方形
【分析】根據(jù)，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判斷即可．
【解答】解：A、對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；
B、有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；
C、對角線互相平分的四邊形是菱形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；
D、對角線互相垂直的矩形是正方形，是真命題，本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
18．(2023?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點(diǎn)A在△BCF內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADFE是矩形；③當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADFE是正方形．其中正確結(jié)論有 （填上所有正確結(jié)論的序號）．
【分析】①利用SAS證明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根據(jù)兩邊分別相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可判斷結(jié)論①正確；
②當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，求出∠EAD＝90°，根據(jù)有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形即可判斷結(jié)論②正確；
③先證明AE＝AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷結(jié)論③正確；
④根據(jù)正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四邊形是正方形即可判斷結(jié)論④正確．
【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等邊三角形，
∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；
∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；
∴△EFB≌△ACB（SAS）；
∴EF＝AC＝AD；
同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；
由AE＝DF，AD＝EF即可得出四邊形ADFE是平行四邊形，故結(jié)論①正確；
②當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，
由①知四邊形AEFD是平行四邊形，
∴平行四邊形ADFE是矩形，故結(jié)論②正確；
③由①知AB＝AE，AC＝AD，四邊形AEFD是平行四邊形，
∴當(dāng)AB＝AC時(shí)，AE＝AD，
∴平行四邊形AEFD是菱形，故結(jié)論③正確；
④綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時(shí)，四邊形AEFD既是菱形，又是矩形，
∴四邊形AEFD是正方形，故結(jié)論④正確．
故答案為：①②③④．
考點(diǎn)三：中點(diǎn)四邊形：
知識回顧
中點(diǎn)四邊形的定義：
將任意四邊形各條邊的中點(diǎn)順次連接起來得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。
中點(diǎn)四邊形的判定：
①任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。
②對角線相互垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形。（菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形）
③對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形。（矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形）
④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形。（正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形）
微專題
19．(2023?玉林）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD一定是（ ）
A．互相平分B．互相垂直
C．互相平分且相等D．互相垂直且相等
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到所得四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是正方形，那么鄰邊互相垂直且相等，選擇即可，
【解答】解：如圖，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵四邊形EFGH是正方形，即EF⊥FG，F(xiàn)E＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故選：D．
20．(2023?德陽）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．四邊形EFGH是矩形
B．四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形ABCD的內(nèi)角和
C．四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和
D．四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD的面積的
【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得四邊形EFGH是平行四邊形，進(jìn)而逐一判斷即可．
【解答】解：A．如圖，連接AC，BD，
在四邊形ABCD中，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH＝BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．∵四邊形EFGH的內(nèi)角和等于360°，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于360°，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，
∴EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，
∴EH+FG＝BD，
同理：EF+HG＝AC，
∴四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和，故C選項(xiàng)正確；
D．四邊形EFGH的面積不等于四邊形ABCD的面積的，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．

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