時(shí)量：120分鐘 滿(mǎn)分：150分
得分：______
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
3．某中學(xué)高二1班共有50名同學(xué)，其中男生30名，女生20名，采用按比例分層隨機(jī)抽樣方法，從全班學(xué)生中抽取20人測(cè)量其身高（單位：）．已知在抽取的樣本中，男生的平均身高為，女生的平均身高為，由此估計(jì)該班全體學(xué)生的平均身高約為（ ）
A．B．C．D．
4．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．84D．672
5．函數(shù)的極值點(diǎn)是（ ）
A．B．
C．D．
6．如圖，在下列各正方體中，為正方體的一條對(duì)角線(xiàn)，、分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿(mǎn)足的是（ ）
A．B．C．D．
7．直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見(jiàn)到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1、2）；（與9互素有1、2、4、5、7、8）．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
B．雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
C．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是
D．直線(xiàn)與圓相交
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．的值域是
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
D．為偶函數(shù)
11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
12．在正方體中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直
B．若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為
D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知，為單位向量，且，則______．
14．某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有______種（用數(shù)字作答）．
15．已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積為_(kāi)_____．
16．已知雙曲線(xiàn)：，，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，連接交雙曲線(xiàn)左支于點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（本小題滿(mǎn)分10分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，，，，，，，，…，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
18．（本小題滿(mǎn)分12分）
2023年底，某商業(yè)集團(tuán)總公司根據(jù)相關(guān)評(píng)分細(xì)則，對(duì)其所屬25家商業(yè)連鎖店進(jìn)行了年度考核評(píng)估，將各連鎖店的評(píng)估分?jǐn)?shù)按，，，分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示．總公司還依據(jù)評(píng)估得分，將這些連鎖店劃分為、、、四個(gè)等級(jí)，等級(jí)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)如表所示．
（1）估計(jì)該商業(yè)集團(tuán)各連鎖店評(píng)估得分的第64百分位數(shù)；
（2）從評(píng)估分?jǐn)?shù)不小于80的連鎖店中隨機(jī)抽取2家介紹營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)驗(yàn)，求至少抽到1家等級(jí)的概率．
19．（本小題滿(mǎn)分12分）
在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，．求：
（1）的長(zhǎng)；
（2）二面角的余弦值．
20．（本小題滿(mǎn)分12分）
在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓．
最小覆蓋圓滿(mǎn)足以下性質(zhì)：①線(xiàn)段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓；②銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓．
已知曲線(xiàn)：，，，，為曲線(xiàn)上不同的四點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程；
（2）求四邊形的最小覆蓋圓的方程；
（3）求曲線(xiàn)的最小覆蓋圓的方程．
21．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知橢圓：與拋物線(xiàn)：有公共的焦點(diǎn)，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為定值？若存在，則求出點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
參考答案
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．C【解析】由已知，，且，所以．
2．B【解析】由已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．
3．D【解析】因?yàn)槌闃颖壤秊?，則樣本中男生有人，女生有人，所以樣本的平均身高為，由此估計(jì)該班全體學(xué)生的平均身高約為．
4．B【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為．
5．A【解析】，令，則，得．
6．C【解析】如圖，在正方體中，，，則平面，所以．同理，，所以平面．若，則平面．在A(yíng)，B，D中，都與平面相交，在C中，平面．所以．
7．C【解析】①當(dāng)時(shí)，斜率不存在，傾斜角為；②當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為；③當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為．綜上，直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為．
8．A【解析】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，共有，所以，則，于是①，
②，
由①②得，則，于是．
二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．AC【解析】在橢圓中，因?yàn)?，，則，且焦點(diǎn)在軸上，A正確．雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)在軸上，B錯(cuò)誤．拋物線(xiàn)開(kāi)口向左，，準(zhǔn)線(xiàn)為，C正確．圓心到直線(xiàn)的距離，則直線(xiàn)與圓相切，D錯(cuò)誤．
10．BCD【解析】由已知，．當(dāng)時(shí)，，則不單調(diào)；因?yàn)?，，則的值域是；因?yàn)?，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；為偶函數(shù)．
11．CD【解析】令，，因?yàn)?，則，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t，結(jié)合選項(xiàng)可知，，從而有，即，故A錯(cuò)誤，因?yàn)?，結(jié)合在上單調(diào)遞減可知，，從而有，由可得，故B錯(cuò)誤；，從而有，且，即．故C正確；，從而有，即．故D正確．
12．BD【解析】A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，
所以，，
則，，設(shè)平面的法向量為，
所以令，則，
即平面的一個(gè)法向量為．
若平面，則，即，，
令，解得．
即為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫?，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；
C選項(xiàng)：如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線(xiàn)段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；當(dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，故D正確．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．【解析】由已知，，即．因?yàn)?，則．
14．64【解析】若選2門(mén)，則只能各選1門(mén)，有種，若選3門(mén)，則分體育類(lèi)選修課選2門(mén)，藝術(shù)類(lèi)選修課選1門(mén)，或體育類(lèi)選修課選1門(mén)，藝術(shù)類(lèi)選修課選2門(mén)，則有，綜上共有種不同的方案．
15．【解析】作軸截面圖如圖．由已知，，，則，，在中，．設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等面積法，得，所以?xún)?nèi)切球體積．
16．【解析】設(shè)，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以，，由雙曲線(xiàn)的定義知，，，所以，，又，所以，即，在中，由余弦定理知，，
所以，
即，整理得，，即，所以離心率．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
兩式相減得，，
整理得，，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，所以，．
（2）因?yàn)?，?br>所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和：
．
18．【解析】（1）直方圖中從左至右第一、三、四個(gè)小矩形的面積分別為0.28，0.16，0.08，則第二個(gè)小矩形的面積為．
因?yàn)?，則第64百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)．
設(shè)第64百分位數(shù)為，則，得．
所以第64百分位數(shù)估計(jì)為77.5分．
（2）由直方圖知，等級(jí)的頻數(shù)為，等級(jí)的頻數(shù)為．
從這6家連鎖店中任選2家，共有種選法，則．
設(shè)事件“至少抽到1家等級(jí)”，因?yàn)檫x1家等級(jí)和1家等級(jí)的選法有種，
選2家等級(jí)的選法只有1種，則．
所以，即至少抽到1家等級(jí)的概率為．
19．【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，，，，
則，，
所以，
即，
解得（負(fù)值舍去），故的長(zhǎng)為4．
（2）設(shè)平面的法向量為，
由題意知，
則由令，可得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
易得平面的一個(gè)法向量為，
則，
所以二面角的余弦值為．
20．【解析】（1）由題意，，
由于為銳角三角形，外接圓就是的最小覆蓋圓．
設(shè)外接圓方程為，
則
解得
所以的最小覆蓋圓的方程為．
（2）因?yàn)榈淖钚「采w圓就是以為直徑的圓，
所以的最小覆蓋圓的方程為．
又因?yàn)?，所以點(diǎn)，都在圓內(nèi)．
所以四邊形的最小覆蓋圓的方程為．
（3）由題意，曲線(xiàn)為中心對(duì)稱(chēng)圖形．
設(shè)，則．
所以，且．
故，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以曲線(xiàn)的最小覆蓋圓的方程為．
21．【解析】（1）拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，可得①，
拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3，
由代入橢圓方程可得，即有②，
解①②可得，，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線(xiàn)：，，，
聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程
消去可得，
則，，
所以，，
所以，直線(xiàn)：③，
直線(xiàn)的方程中，令可得，所以，
因?yàn)橹本€(xiàn)，所以直線(xiàn)的方程為④，
將③④聯(lián)立相乘得到，即，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（去掉與軸的兩個(gè)交點(diǎn)），
所以存在定點(diǎn)，使得的長(zhǎng)為定值．
22．【解析】（1）由題意，
因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，
因?yàn)?，設(shè)，則，
所以只需或
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）證明：由（1）可知，，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，
所以，是的根，則
所以
，
因?yàn)?，所以要證即證，
即，
即證，
即證，
即證，
令，即證明．
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
則，即，
所以原不等式成立．
評(píng)估分?jǐn)?shù)
評(píng)定等級(jí)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
A
C
C
A
題號(hào)
9
10
11
12
答案
AC
BCD
CD
BD

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