（滿分120分，時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷共8頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡規(guī)定的位置．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
2．選擇題，須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，請(qǐng)先用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．
3．非選擇題，須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案須寫(xiě)在答題卡各題目指定的區(qū)域內(nèi)，答在區(qū)域外或試卷上均不得分．
第Ⅰ卷（選擇題 30分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 第十九屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江杭州舉辦，中國(guó)代表團(tuán)共獲得383枚獎(jiǎng)牌雄踞獎(jiǎng)牌榜榜首，充分展現(xiàn)了中華健兒良好的精神風(fēng)貌和競(jìng)技水平．在下列給出的運(yùn)動(dòng)圖片中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義“平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸”，由此即可求解，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，A，B，C選項(xiàng)不能找到直線使得圖形成軸對(duì)稱圖形，D選項(xiàng)可以找到一條直線可以使圖形左右對(duì)稱，
故選：D．
2. 下列從左到右的變形：①；②；③；④；其中是因式分解的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 0個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了因式分解的定義，因式分解是整式的變形，并且因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．因式分解就是把多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式積的形式，根據(jù)定義即可進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①符合因式分解的定義，是因式分解；
②右邊不是整式的積，不是因式分解；
③等式左邊不是多項(xiàng)式，不是因式分解；
④是整式的乘法運(yùn)算，不是因式分解，
是因式分解的個(gè)數(shù)是個(gè)，
故選：A．
3. 如圖，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB＝DEB. ∠B＝∠EC. EF＝BCD. EF//BC
【答案】C
【解析】
【分析】本題可以假設(shè)A、B、C、D選項(xiàng)成立，分別證明△ABC≌△DEF，即可解題．
【詳解】解：（1）∵AB//DE，AC//DF，∴∠A=∠D，
AB=DE，則△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（2）∠B=∠E，則△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（3）EF=BC，無(wú)法證明△ABC≌△DEF；故C選項(xiàng)正確；
（4）∵EF//BC，AB//DE，
∴∠B=∠E，則△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的不同方法的判定，注意題干中“不能”是解題的關(guān)鍵．
4. 如果分式的值為0，則x的值是
A. 1B. 0C. －1D. ±1
【答案】A
【解析】
【詳解】根據(jù)分式分子為0分母不為0的條件，要使分式的值為0，則必須．
故選A．
5. 已知，則值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查完全平方公式的變形，利用完全平方公式變形解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．由可得答案．
【詳解】解：∵ ，
∴
，
故選B．
6. 截至2023年12月31日，中國(guó)內(nèi)地累計(jì)有59個(gè)城市投運(yùn)城軌交通線路公里，中國(guó)地鐵的發(fā)展速度之快，讓世界相形見(jiàn)絀．小明和小強(qiáng)分別從A地和B地出發(fā)趕往機(jī)場(chǎng)乘坐飛機(jī)，出行方式、路徑及路程如下表所示：
由于地面交通擁堵，地鐵的平均速度約為公交平均速度的兩倍，于是小明比小強(qiáng)少用了半小時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)．若設(shè)公交的平均速度為公里/時(shí)，根據(jù)題意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了列分式方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)公交的平均速度為x公里/時(shí)，則地鐵的平均速度為2x公里/時(shí)，然后根據(jù)小貝比小京少用了半小時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)公交的平均速度為x公里/時(shí)，則地鐵的平均速度為2x公里/時(shí)，
由題意得：，
故選B．
7. 如圖，在銳角三角形中，的面積15，平分交于點(diǎn)D，若分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】過(guò) 作 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ， 過(guò) 點(diǎn) 作 于 ，則 即為 的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出 的長(zhǎng)，即為 的最小值；
【詳解】過(guò) 作 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 作 于 ，如圖：

∵ 平分 于點(diǎn) 于 ，
∴，
∴ 是 最小值，此時(shí) 與 重合， 與 重合，
∵三角形 的面積為 ，
∴，
∴，
即 的最小值為 6 ；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的最短路徑，解題的關(guān)鍵是理解 的長(zhǎng)度即為 最小值
8. 從，，0，2，5，8這六個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽一個(gè)數(shù)，記為，若數(shù)使關(guān)于的不等式組無(wú)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)數(shù)解，則符合條件的的值的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式組無(wú)解確定出的一個(gè)取值范圍、由分式方程其解為非負(fù)數(shù)確定的一個(gè)取值范圍，綜上可確定的最終取值范圍，根據(jù)其取值范圍即可判定出滿足題意的值．
【詳解】解：
解①得，
解②得，
∵不等式組無(wú)解
∴
∵
∴
∵關(guān)于的分式方程有非負(fù)數(shù)解
∴且
∴且a≠-1
∴綜上所述，且
∴符合條件的值有、、共三個(gè)．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式（組）的解法、分式方程的解法，能根據(jù)已知條件確定的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9. “三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖1所示的“三等分角儀”能三等分任意一個(gè)角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．點(diǎn)固定，，點(diǎn)可在槽中滑動(dòng)．如圖2，若，則的度數(shù)是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)，可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，進(jìn)一步根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，即可求出的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
10. 如圖，為的中線，的面積記為；為的中線，的面積記為；為的中線，的面積記為；……按此規(guī)律，為的中線，面積記為．若的面積為S，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)得到，，…，據(jù)此規(guī)律，可得，，從而推出，可得結(jié)果．
【詳解】解：∵的面積為S，為的中線，
∴，
∴；
∵為的中線，
∴，
∴，
…，按此規(guī)律，
∴，
∴
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中線得到各部分面積的計(jì)算方法．
第Ⅱ卷（非選擇題 90分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將答案直接寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
11. 若點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則____________..
【答案】4
【解析】
【詳解】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，可知b=3，a-2=-a，解得a=1，因此可求得a+b=4.
故答案為4.
12. 若多項(xiàng)式是關(guān)于的完全平方式，則的值為_(kāi)_____．
【答案】13或##或13
【解析】
【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征建立方程即可確定出的值．
【詳解】解：∵是關(guān)于x的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案為：13或．
13. （如圖1）從邊長(zhǎng)為的正方形剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．上述過(guò)程所揭示的因式分解的等式是______．
圖1 圖2
【答案】
【解析】
【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．用代數(shù)式分別表示圖1中陰影部分以及圖2的面積即可．
【詳解】解：圖1中陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此面積為，
所以有，
故答案為：．
14. 已知：，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的值，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)可得，再代入計(jì)算即可得．
【詳解】解：由得：，
，
，
故答案為：．
15. 如圖，為的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，則，則________．

【答案】
【解析】
【分析】作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再由可得，即可證明得到，即可證明，求解即可．
【詳解】作于點(diǎn)，

∵為的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，
∴，，
∵
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，等腰中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，且．有下面四個(gè)結(jié)論：
①；②；③是等邊三角形；④．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，即可判斷①；易證，，即可判斷②；連接，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，再證明，可得出，求出，即可判斷③；在線段上截取，連接，證明，即可判斷結(jié)論④．
【詳解】解：①∵，，
∴，
∵，
∴，故①正確；
②∵，，，
∴，
∴，
中，，
∴
與不全等，故②不正確；
③連接，
∵，，
∴為的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可得
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形；故③正確；
④在上截取，連接，

，，
是等邊三角形，
∴，，
由②知是等邊三角形，
∴，
，
在和中，

∴，
，
∴，
故④正確；
綜上：正確的有①③④；
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. （1）因式分解：；
（2）計(jì)算：
（3）解方程：
【答案】（1）；（2）；（3）原方程無(wú)解．
【解析】
【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算，分解因式，解分式方程，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則與解法步驟是解本題的關(guān)鍵；
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先計(jì)算整式的乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（3）先去分母化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
；
（3），
去分母得：，
去括號(hào)得：，
整理得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是增根，
∴原方程無(wú)解．
18. 先化簡(jiǎn)，再求值：（1+）÷，其中a＝2．
【答案】
，
【解析】
【分析】先將分式化簡(jiǎn)，再把值代入計(jì)算即可．
【詳解】原式＝
＝，
當(dāng)a＝2時(shí)，
原式＝．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵在于熟練掌握化簡(jiǎn)方法．
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中：
描出點(diǎn)、；
描出點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)D；
依次連接點(diǎn)A、B、C、D，得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）12
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)即可；
由軸對(duì)稱的定義作圖即可得；
利用割補(bǔ)法將原四邊形分割成兩個(gè)三角形即可得．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)A、B即為所求；
如圖，點(diǎn)C和點(diǎn)D即為所求；
四邊形ABCD的面積為，
故答案為12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖軸對(duì)稱變換，割補(bǔ)法求圖形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的定義和性質(zhì)．
20. 如圖，點(diǎn)C在線段上，，，，于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)；
（3）求證：平分．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)求出，根據(jù)推出；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和即可求解；
（3）根據(jù)全等三角形性質(zhì)推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可證明平分．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴
∵，
∴
【小問(wèn)3詳解】
∵，
∴，
又∵，
∴平分
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
21. 在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小紅同學(xué)將一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，如圖①所示，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)全等的小長(zhǎng)方形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形．小紅同學(xué)通過(guò)觀察圖①②，用兩種不同的方法表示出了圖②中陰影部分的面積，并得出，，這三個(gè)代數(shù)式之間的一個(gè)等量關(guān)系．
圖① 圖②
（1）請(qǐng)寫(xiě)出代數(shù)式的一個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查完全平方差公式和完全平方和公式的聯(lián)系．會(huì)用代數(shù)式表示圖形面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；兩數(shù)的完全平方和比它們的完全平方差多了兩數(shù)積的4倍，該結(jié)論經(jīng)常用到．
（1） 分別表示大正方形，小正方形和長(zhǎng)方形面積，由圖知大正方形面積四個(gè)長(zhǎng)方形面積=小正方形面積，可得它們之間的關(guān)系．
（2）直接把（1）中得到的關(guān)系式用的值對(duì)應(yīng)替換即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：陰影部分的面積可表示為： 或
∴．
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴
；
22. 如圖，在ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，且CD＝CB，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠ABF＝∠BCD；
（2）判斷BCF的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BCF是等腰三角形，見(jiàn)解析
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及角平分線的定義即可得解；
（2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根據(jù)三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角對(duì)等邊”即可得解．
【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于點(diǎn)E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；
（2）解：如上圖，△BCF是等腰三角形，
理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
23. 某村經(jīng)濟(jì)合作社在鄉(xiāng)村振興工作隊(duì)的指導(dǎo)下，根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)劃在2022年將30畝土地全部用于種植兩種經(jīng)濟(jì)作物，預(yù)計(jì)種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值是A種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值的3倍．
（1）為實(shí)現(xiàn)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值20萬(wàn)元，種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值30萬(wàn)元的目標(biāo)，2022年兩種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)各種植多少畝？
（2）將兩種經(jīng)濟(jì)作物承包給20位工人維護(hù)和管理，已知每位工人維護(hù)和管理A種經(jīng)濟(jì)作物的承包費(fèi)用是4000元，每位工人維護(hù)和管理種經(jīng)濟(jì)作物的承包費(fèi)用是3000元，且每位工人只維護(hù)和管理一種經(jīng)濟(jì)作物，如果總的承包費(fèi)不超過(guò)萬(wàn)元，那么至多安排多少人維護(hù)和管理A種經(jīng)濟(jì)作物？
【答案】（1）2022年A種經(jīng)濟(jì)作物種植20畝，種經(jīng)濟(jì)作物種植10畝
（2）至多安排12人維護(hù)和管理A種經(jīng)濟(jì)作物
【解析】
【分析】（1）設(shè)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物種植x畝，則B種經(jīng)濟(jì)作物種植（）畝，利用畝產(chǎn)值總產(chǎn)值種植畝數(shù)，結(jié)合預(yù)計(jì)B種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值是A種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值的3倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出A種經(jīng)濟(jì)作物種植的畝數(shù)，再將其代入（）中即可求出B種經(jīng)濟(jì)作物種植的畝數(shù)；
（2）設(shè)安排m人維護(hù)和管理A種經(jīng)濟(jì)作物，則安排（）人維護(hù)和管理B種經(jīng)濟(jì)作物，利用總的承包費(fèi)每畝的承包費(fèi)用種植畝數(shù)維護(hù)和管理的工人人數(shù)，結(jié)合總的承包費(fèi)不超過(guò)萬(wàn)元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物種植畝，則種經(jīng)濟(jì)作物種植畝，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
，
答：2022年A種經(jīng)濟(jì)作物種植20畝，種經(jīng)濟(jì)作物種植10畝；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)安排人維護(hù)和管理A種經(jīng)濟(jì)作物，則安排人維護(hù)和管理種經(jīng)濟(jì)作物，
依題意得：，
解得：．
答：至多安排12人維護(hù)和管理A種經(jīng)濟(jì)作物．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
24. 如圖，和是兩個(gè)都含有角的大小不同的直角三角板，其中．

（1）如圖1，點(diǎn)在邊上，若，求的長(zhǎng)．
（2）若等腰繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到等腰，如圖2所示，連接，交于點(diǎn)O，求證：．
（3）若等腰繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到等腰，如圖3所示，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于．
①求證：；
②若，求的面積．
【答案】（1）
（2）見(jiàn)解析 （3）①見(jiàn)解析；②
【解析】
【分析】（1）求證，進(jìn)一步可證，于是；
（2）求證，進(jìn)一步可證，過(guò)點(diǎn)作，則，得是的平分線，求證，于是，得．
（3）①延長(zhǎng)至使，連接，可證，得，進(jìn)一步求證，于是，得，可證；②由①知：，得，而，于是
【小問(wèn)1詳解】
，
在和中
【小問(wèn)2詳解】
，
即
在和中
∴
過(guò)點(diǎn)作，則，
∴
是的平分線
故
【小問(wèn)3詳解】
①延長(zhǎng)至使，連接，
∵
∴
又，
和中
即
②由①知：
故
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定；添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．出行方式
路徑
路程
地鐵
A地機(jī)場(chǎng)
全程約43公里
公交
B地機(jī)場(chǎng)
全程約54公里

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