合并同類型：
法則：“一相加，兩不變”，即系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變照寫。
整式的加減的實(shí)質(zhì)：
合并同類項(xiàng)。
整式的乘除運(yùn)算：
①單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：系數(shù)相乘，同底數(shù)冪相乘，其中一個(gè)因式單獨(dú)存在的字母連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
②單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，變成單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式。
③多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：用其中一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，變成單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式。
④單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：系數(shù)相除，同底數(shù)冪相除，被除數(shù)中單獨(dú)存在的字母連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
⑤多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，變成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式。
乘法公式：
①平方差公式：。
②完全平方公式：。
因式分解的方法：
①提公因式法：；
②公式法：平方差公式：
完全平方公式：。
③十字相乘法：在中，若，則：
。
專題練習(xí)
1． (2023?湖北）先化簡(jiǎn)，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
2． (2023?鹽城）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
3． (2023?長(zhǎng)春）先化簡(jiǎn)，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
4． (2023?北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代數(shù)式x（x+2）+（x+1）2的值．
5． (2023?廣西）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
6． (2023?衡陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
7． (2023?麗水）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
8． (2023?南充）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
9． (2023?安順）（1）計(jì)算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
10． (2023?岳陽(yáng)）已知a2﹣2a+1＝0，求代數(shù)式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
11． (2023?蘇州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
12． (2023?荊門）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2； （2）x4+．
13． (2023?無(wú)錫）計(jì)算：
（1）|﹣|×（﹣）2﹣cs60°； （2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
14． (2023?安徽）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫出第5個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
15． (2023?西寧）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和b（a＞b），斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．
根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
專題03 整式的運(yùn)算與因式分解
知識(shí)回顧
合并同類型：
法則：“一相加，兩不變”，即系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變照寫。
整式的加減的實(shí)質(zhì)：
合并同類項(xiàng)。
整式的乘除運(yùn)算：
①單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：系數(shù)相乘，同底數(shù)冪相乘，其中一個(gè)因式單獨(dú)存在的字母連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
②單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，變成單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式。
③多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：用其中一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，變成單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式。
④單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：系數(shù)相除，同底數(shù)冪相除，被除數(shù)中單獨(dú)存在的字母連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
⑤多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，變成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式。
乘法公式：
①平方差公式：。
②完全平方公式：。
因式分解的方法：
①提公因式法：；
②公式法：平方差公式：
完全平方公式：。
③十字相乘法：在中，若，則：
。
專題練習(xí)
31． (2023?湖北）先化簡(jiǎn)，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x，y的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）
＝4xy﹣2xy+3xy
＝5xy，
當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．
32． (2023?鹽城）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式、合并同類項(xiàng)法則把原式化簡(jiǎn)，整體代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
33． (2023?長(zhǎng)春）先化簡(jiǎn)，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
當(dāng)a＝﹣4時(shí)，原式＝4+﹣4
＝．
34． (2023?北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代數(shù)式x（x+2）+（x+1）2的值．
【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x2+2x＝2代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴當(dāng)x2+2x＝2時(shí)，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
35． (2023?廣西）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
【分析】根據(jù)平方差公式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，可以將題目中的式子化簡(jiǎn)，然后將x、y的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
當(dāng)x＝1，y＝時(shí)，原式＝12﹣2×＝0．
36． (2023?衡陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】根據(jù)平方差公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，再把a(bǔ)＝1，b＝﹣2代入計(jì)算即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）
＝a2﹣b2+2ab+b2
＝a2+2ab，
將a＝1，b＝﹣2代入上式得：
原式＝12+2×1×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
37． (2023?麗水）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
【分析】先根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把x＝代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）
＝1﹣x2+x2+2x
＝1+2x，
當(dāng)x＝時(shí)，原式＝1+＝1+1＝2．
38． (2023?南充）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
【分析】提取公因式x+2，再利用平方差公式計(jì)算，再代入計(jì)算．
【解答】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，
原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．
39． (2023?安順）（1）計(jì)算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
【分析】（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣
＝1+1+2×+﹣1﹣2
＝2++﹣1﹣2
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
當(dāng)x＝時(shí)，原式＝4×＝2．
40． (2023?岳陽(yáng)）已知a2﹣2a+1＝0，求代數(shù)式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
【分析】先化簡(jiǎn)所求的式子，再結(jié)合已知求解即可．
【解答】解：a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1
＝a2﹣4a+a2﹣1+1
＝2a2﹣4a
＝2（a2﹣2a），
∵a2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．
41． (2023?蘇州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再結(jié)合已知代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
42． (2023?荊門）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2； （2）x4+．
【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，用上述關(guān)系式解答即可；
（2）將式子用完全平方公式的特征變形后，利用整體代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝
＝
＝﹣4x?
＝32﹣4
＝5；
（2）∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
43． (2023?無(wú)錫）計(jì)算：
（1）|﹣|×（﹣）2﹣cs60°；
（2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；
（2）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，平方差公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．
【解答】解：（1）原式＝×3﹣
＝﹣
＝1；
（2）原式＝a2+2a﹣（a2﹣b2）﹣b2+3b
＝a2+2a﹣a2+b2﹣b2+3b
＝2a+3b．
44． (2023?安徽）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫出第5個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出第5個(gè)等式；
（2）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開(kāi)，看是否相等，即可證明猜想．
【解答】解：（1）因?yàn)榈?個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5個(gè)等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案為：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n個(gè)等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
證明：左邊＝4n2+4n+1，
右邊＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左邊＝右邊．
∴等式成立．
45． (2023?西寧）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和b（a＞b），斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．
根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
【分析】（1）用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）用分組分解法將ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；
（3）先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和b（a＞b），斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．

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