直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交、相切、弦長(zhǎng)、面積以及中點(diǎn)弦等問(wèn)題，難度中等.
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線(xiàn)AB的斜率為k(k≠0)，
　已知點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段PD，D為垂足，M為線(xiàn)段PD的中點(diǎn)(當(dāng)點(diǎn)P為圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)P重合).(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，則D(x0，0)，
若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為k，如圖，
設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，
得3k4－k2－2＝0，解得k＝±1.
(1)設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，需考慮特殊直線(xiàn)，如直線(xiàn)的斜率不存在、斜率為0等.(2)涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)，Δ>0易漏掉.(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)公式，其他情況該公式不成立.
　　　已知雙曲線(xiàn)C： ＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)C上，AF2⊥x軸，且|AF1|＝7.(1)求雙曲線(xiàn)C及其漸近線(xiàn)的方程；
由題意知，2a＝6，即a＝3，由AF2⊥x軸，可知xA＝c，
(2)如圖，若過(guò)點(diǎn)F1且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C及其兩條漸近線(xiàn)從左至右依次交于M，P，Q，N四點(diǎn)，且|MN|＝2|PQ|，求k.
由(1)可知，c2＝a2＋b2＝12，
M(x1，y1)，P(x2，y2)，Q(x3，y3)，N(x4，y4)，
即36k4＝(12k2－1)(3k2－1)，
　(2023·合肥模擬)已知雙曲線(xiàn)C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為雙曲線(xiàn)C的右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，滿(mǎn)足∠F1AF2＝60°，且|BF2|＝2|AF2|.(1)求雙曲線(xiàn)C的離心率；
由對(duì)稱(chēng)性可知|BF2|＝|AF1|，故|AF1|＝2|AF2|，由雙曲線(xiàn)定義可知|AF1|－|AF2|＝2a，即2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，又因?yàn)閨F1F2|＝2c，在△AF1F2中，
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，則PQ⊥F1F2，
所以直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)不成立.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，如圖，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
圓錐曲線(xiàn)中求解三角形面積的方法
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，傾斜角為60°的直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積.
如圖，因?yàn)橹本€(xiàn)AB的傾斜角為60°，
消去x并整理得11y2－12y－36＝0，Δ＝144＋4×11×36>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線(xiàn)E上兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)C(x0，y0)，直線(xiàn)AB的斜率為k.
　(2023·呼和浩特模擬)已知拋物線(xiàn)T：y2＝2px(p>0)和橢圓C：過(guò)拋物線(xiàn)T的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)交橢圓C于M，N兩點(diǎn).(1)若F恰是橢圓C的焦點(diǎn)，求p的值；
(2)若p∈N*，且MN恰好被AB平分，求△OAB的面積.
消去x得y2－2mpy－p2＝0，Δ＝4m2p2＋4p2>0，
設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，
因?yàn)閜∈N*，所以p的值是1，
處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線(xiàn)l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
假設(shè)存在符合條件的直線(xiàn)l，易知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因?yàn)锳B的中點(diǎn)為P(2,1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
直線(xiàn)l的方程為y－1＝x－2，即y＝x－1，
可得Δ＝(－4)2－4×60，將直線(xiàn)y＝x－1的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得
又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－4)，
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線(xiàn)的方程為y＝x＋m，
△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點(diǎn)F1到直線(xiàn)AB的距離是點(diǎn)F2到直線(xiàn)AB的距離的2倍，
解得a＝4，即2a＝8，故雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)為8.
6.(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)A，B為雙曲線(xiàn)x2－ ＝1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線(xiàn)段AB中點(diǎn)的是A.(1,1) B.(－1,2) C.(1,3) D.(－1，－4)
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
對(duì)于A(yíng)，可得kOM＝1，kAB＝9，則AB：y＝9x－8，
消去y得72x2－144x＋73＝0，此時(shí)Δ＝(－144)2－4×72×73＝－2880)均關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線(xiàn)方程為y＝kx，k>0，
12.(2023·佛山模擬)設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)P，F(xiàn)到l的距離為2，過(guò)P的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)依次交于A(yíng)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在P，B兩點(diǎn)之間)，則kFA＋kFB＝____；設(shè)直線(xiàn)FA交y軸于點(diǎn)M，直線(xiàn)FB交準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)N，則 ＝____.
∵F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為2，∴p＝2，∴拋物線(xiàn)方程為y2＝4x，準(zhǔn)線(xiàn)l：x＝－1，P(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，由題意可設(shè)直線(xiàn)AB：x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＝16m2－16>0，解得m1，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4，
設(shè)kFA＝k，則kFB＝－k，∴直線(xiàn)FA：y＝k(x－1)，直線(xiàn)FB：y＝－k(x－1)，∴M(0，－k)，N(－1,2k)，
由題意，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(2)記A(－1,0)，探究：是否存在直線(xiàn)l，使得|AP|＝|AQ|，若存在，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l的一個(gè)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l，由題意知直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx＋m，k≠0，
消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，則Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，解得2k2＋1>m2，①
若直線(xiàn)l′過(guò)點(diǎn)A，則把點(diǎn)A(－1,0)代入l′的方程得2k2＋1＝mk，②聯(lián)立①②消去m得(2k2＋1)(k2＋1)0.
化簡(jiǎn)得9m4－3m2－20＝0，即(3m2＋4)(3m2－5)＝0，

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