1.矩形的判定:
（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；
（3）有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形．
2.題型分析
矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“一個(gè)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：
因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．
確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．下：
同時(shí)，也可以先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出直線AB的解析式，進(jìn)而得到直線AD或BC的解析式，從而確定C或D的坐標(biāo).

【例1】． (2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，c的值；
（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；
（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【例2】 (2023?綏化）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)A（0，﹣4），并經(jīng)過點(diǎn)C（6，0），過點(diǎn)A作AB⊥y軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，BD．點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線AD運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，以EF為對(duì)角線作正方形EGFH．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【例3】 (2023?黔東南州）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【例4】． (2023?梁山縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OA．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記m＝，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，m取最大值時(shí)，點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
1． (2023?武功縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y＝﹣x2+bx+c（b、c為常數(shù)）與x軸交于A（﹣6，0）、B（2，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將該拋物線L1向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線L2，與原拋物線L1交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)N在平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)問在拋物線L2上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2． (2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝+bx+c與x軸的正半軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在拋物線上，AB⊥y軸于點(diǎn)B．△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBE，連接DE．當(dāng)+bx+c＜0時(shí)，x的取值范圍是﹣＜x＜2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：四邊形OBED是矩形；
（3）在線段OD上找一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線m垂直x軸，交OE于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)△DNF的面積取得最大值時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，在直線m上找一點(diǎn)P，連接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
3． (2023?石家莊二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c（c≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為 （用含b的式子表示），∠OBC＝ 度；
（2）當(dāng)b＝1時(shí)，若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，求△BCP面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）已知矩形ODEF的頂點(diǎn)D，F(xiàn)分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2）．
①拋物線的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)AQ的中點(diǎn)落在直線EF上時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．
4． (2023?濱海縣一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，直線BM：y＝2x+m交y軸于點(diǎn)M．P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線BC、BM于點(diǎn)E、F．
（1）求拋物線的表達(dá)式：
（2）當(dāng)點(diǎn)P落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求△PBC的面積：
（3）①若點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形BENF為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點(diǎn)Q，滿足QN＝QM，當(dāng)△QNB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
5． (2023?石家莊模擬）某公園有一個(gè)截面由拋物線和矩形構(gòu)成的觀景拱橋，如圖1所示，示意圖如圖2，且已知圖2中矩形的長(zhǎng)AD為12米，寬AB為4米，拋物線的最高處E距地面BC為8米．
（1）請(qǐng)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若觀景拱橋下放置兩根長(zhǎng)為7米的對(duì)稱安置的立柱，求這兩根立柱之間的水平距離；
（3）現(xiàn)公園管理處打算在觀景橋側(cè)面搭建一個(gè)矩形“腳手架”PQMN（如圖2），對(duì)觀景橋表面進(jìn)行維護(hù)，P，N點(diǎn)在拋物線上，Q，M點(diǎn)在BC上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿PQ，PN，MN的長(zhǎng)度之和的最大值，請(qǐng)你幫管理處計(jì)算一下．
6． (2023?朝陽區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣m與y軸交于點(diǎn)M，直線y＝m+5與y軸交于點(diǎn)A，與直線x＝4交于點(diǎn)B，直線y＝﹣2m與y軸交于點(diǎn)D（A與D不重合），與直線x＝4交于點(diǎn)C，構(gòu)建矩形ABCD．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求m的取值范圍．
（2）求證：拋物線y＝x2﹣2mx﹣m與直線y＝m+5恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的函數(shù)值y隨著x的增大而增大或y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍．
（4）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B到x軸距離的時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
7． (2023?長(zhǎng)春一模）已知拋物線y＝x2﹣2mx+2m+1．
（1）寫出拋物線y＝x2﹣2mx+2m+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 ．
（3）當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2mx+2m+1的圖象記為G，設(shè)圖象G的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0．當(dāng)y0＝﹣1時(shí)，求m的值．
（4）當(dāng)m＞0時(shí)，分別過點(diǎn)A（2，1）、B（2，4）作y軸垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C，拋物線在矩形ABCD內(nèi)部的圖象（包括邊界）的最低點(diǎn)到直線y＝﹣2的距離等于最高點(diǎn)到x軸的距離，直接寫出m的值．
8． (2023?咸豐縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線l，P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線l上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值；
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求m的值；
（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍．
9． (2023?白山模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+b（b為常數(shù)，b≠0）與y軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），過點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l．P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線l上的一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為﹣m+1．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值；
（3）當(dāng)矩形PQMN為正方形時(shí)，求m的值；
（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
10． (2023?吉林四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx﹣與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與該拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)B，作直線AB．P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，以PQ、PN為邊作矩形PQMN．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AB的解析式；
（3）當(dāng)該拋物線被矩形PQMN截得的部分圖象的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的距離為2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到直線MQ的距離相等時(shí)，直接寫出m的值．
11． (2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2ax﹣a（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)（﹣，m）在拋物線上，求m的值．
（2）當(dāng)拋物線的最低點(diǎn)到x軸的距離恰好是時(shí)，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），連接AB．當(dāng)拋物線與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不與A、B重合），將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PM，以PM、PA為鄰邊構(gòu)造矩形PMQA．
①若拋物線在矩形PMQA內(nèi)部的圖象的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小時(shí)，求a的取值范圍．
②當(dāng)拋物線在矩形PMQA內(nèi)部（包含邊界）圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值的差為時(shí)，直接寫出a的值．
12． (2023?吉林二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸正半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線y＝kx+b（k≠0）與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m+1，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)C，在該垂線的點(diǎn)P上方取一點(diǎn)D，使PD＝1，以CD為邊作矩形CDEF，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2m．
（1）求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在該拋物線上時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)到EF的距離；
（4）當(dāng)矩形CDEF的一組鄰邊與該拋物線相交，且該拋物線在矩形CDEF內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
13． (2023?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線l．P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線l上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為﹣m+．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值．
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求m的值．
（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
14． (2023?長(zhǎng)春模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c（b、c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）和（2，7），點(diǎn)A在這個(gè)拋物線上，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)B在這個(gè)拋物線上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1﹣2m．
①當(dāng)△ABC是以AB為底的等腰三角形時(shí)，求OABC的面積．
②將此拋物線A、B兩點(diǎn)之間的部分（包括A、B兩點(diǎn)）記為圖象G，當(dāng)頂點(diǎn)C在圖象G上，記圖象G最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h，求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，2﹣m），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1﹣m，2﹣m），點(diǎn)F在坐標(biāo)平面內(nèi)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)構(gòu)造矩形，當(dāng)此拋物線與矩形有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
15． (2023?丹東）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)線段PE的長(zhǎng)度為h，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示h；
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時(shí)，請(qǐng)求出m的值；
（4）如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
16．如圖，已知拋物線C1：y＝a1x2+b1x+1c和C2：y＝a2x2+b2x+c2（|a1|＝|a2|）都經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)分別為A，B，與x軸的另一交點(diǎn)分別為M，N，如果四邊形ANBM是平行四邊形，則稱拋物線C1和C2為對(duì)稱拋物線．
（1）觀察圖象，寫出對(duì)稱拋物線兩條特征；（如：拋物線開口大小相同）
（2）若拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+2x，確定對(duì)稱拋物線C2的解析式．
（3）若MN＝4，且四邊形ANBM是矩形時(shí)，確定對(duì)稱拋物線C1和C2的解析式．
17． (2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c與x軸交于點(diǎn)A，B，直線y＝x+1與拋物線交于點(diǎn)A，C（3，n）．點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知直線l：x＝m+5與直線AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P（橫坐標(biāo)為m），作PE⊥l于點(diǎn)E，以PE，DE為邊作矩形PEDF．
①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在矩形PEDF內(nèi)部時(shí)，m的取值范圍為 （請(qǐng)直接寫出）
②在①的條件下，求矩形PEDF的周長(zhǎng)的最小值．
18． (2023?綠園區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣n2+2n﹣3，點(diǎn)A、點(diǎn)B均在此二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為n﹣1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2n﹣2，在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的圖象為G．
（1）當(dāng)n＝2時(shí)，
①求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．
（2）AB所在的直線交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，以AD、CD為鄰邊構(gòu)造矩形ADCE，直接寫出當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)落在矩形ADCE的邊上時(shí)n的值．
（3）當(dāng)圖象G上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝3n﹣4的距離為3，直接寫出滿足條件的n的取值范圍．
19． (2023?羅湖區(qū)二模）【實(shí)踐與探究】九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐一一應(yīng)用一一探究的過程：
（1）實(shí)踐：他們對(duì)一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖①所示的直角坐標(biāo)系，則該拋物線的解析式為 ．
（2）應(yīng)用：按規(guī)定，機(jī)動(dòng)車輛通過隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m、最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時(shí)不考慮兩車之間的空隙）？
（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個(gè)問題，請(qǐng)予解答：
Ⅰ．如圖②，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上，頂點(diǎn)A、B落在x軸上．設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，求l的最大值．
Ⅱ．如圖③，過原點(diǎn)作一條y＝x的直線OM，交拋物線于點(diǎn)M，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N，P為直線OM上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．問：在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
20． (2023?安徽模擬）如圖；已知拋物線y＝ax2+3x+c與直線y＝x+1交于兩點(diǎn)A，B（3，n），且點(diǎn)A在x軸上．
（1）求a，c，n的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．直線l：x＝m+5與直線AB交于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥l于點(diǎn)D，以PD，CD為邊作矩形PDCE，使得拋物線的頂點(diǎn)在矩形PDCE內(nèi)部．
①直接寫出：m的取值范圍是 ；
②求PD+CD的最小值．
21． (2023春?朝陽區(qū)校級(jí)月考）已知拋物線L：y＝﹣x2+4x+a（a≠0）．
（1）拋物線L的對(duì)稱軸為直線 ．
（2）當(dāng)拋物線L上到x軸的距離為3的點(diǎn)只有兩個(gè)時(shí)，求a的取值范圍．
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，直線x＝a、x＝﹣3a與拋物線L分別交于點(diǎn)A、C，以線段AC為對(duì)角線作矩形ABCD，且AB⊥y軸．若拋物線L在矩形ABCD內(nèi)部（包含邊界）最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于2，求矩形ABCD的周長(zhǎng)．
（4）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），當(dāng)拋物線L與線段MN有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．
22． (2023?煙臺(tái)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C（4，﹣5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；
（3）N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
23． (2023?海口模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D（2，3）在該拋物線上，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線AD上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F到直線AD距離最大時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形．
①求n的值；
②若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．
24． (2023?錦州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，OA＝3，OC＝4，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)D（﹣1，0）和點(diǎn)E．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，PE，當(dāng)四邊形OCPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)四邊形OCPE的最大面積是多少；
（3）若N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘
專題8二次函數(shù)與矩形存在性問題
1.矩形的判定:
（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；
（3）有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形．
2.題型分析
矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“一個(gè)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：
因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．
確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．下：
同時(shí)，也可以先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出直線AB的解析式，進(jìn)而得到直線AD或BC的解析式，從而確定C或D的坐標(biāo).

【例1】 (2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，c的值；
（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；
（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)代入拋物線y＝ax2+x+c中列方程組解出即可；
（2）利用待定系數(shù)可得直線AB的解析式，再設(shè)直線DE的解析式為：y＝mx，點(diǎn)D是直線DE和AB的交點(diǎn)，列方程可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，根據(jù)△BDO與△OCE的面積相等列等式可解答；
（3）設(shè)P（t，﹣t2+t+4），分兩種情況：作輔助線構(gòu)建相似三角形，證明三角形相似或利用等角的三角函數(shù)列等式可解答．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)代入拋物線y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+4，
設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，
則，解得：，
∴AB的解析式為：y＝2x+4，
設(shè)直線DE的解析式為：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO與△OCE的面積相等，CE⊥OC，
∴?3?（﹣3m）＝?4?，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直線DE的解析式為：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形有兩種情況：
設(shè)P（t，﹣t2+t+4），
①如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，
∵四邊形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如圖2，過點(diǎn)G作GN⊥y軸于N，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，
同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）．
【例2】 (2023?綏化）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)A（0，﹣4），并經(jīng)過點(diǎn)C（6，0），過點(diǎn)A作AB⊥y軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，BD．點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線AD運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，以EF為對(duì)角線作正方形EGFH．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，可得出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），列出交點(diǎn)式，再將點(diǎn)A（0，﹣4）可得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)可得出△ABD是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)和正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)H，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可得出直線BC的解析式，將點(diǎn)G代入直線BC的解析式即可；
（3）若存在，則△BGC是直角三角形，則需要分類討論，當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，分別求解即可．
【解答】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣2，0），
∴拋物線的解析式為：y＝a（x+2）（x﹣6），
將點(diǎn)A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，
∴a＝．
∴拋物線的解析式為：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．
（2）∵AB⊥y軸，A（0，﹣4），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣4）．
∵D（4，0），
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝m，
∴AF＝EF＝m，
∴E（m，﹣4+m），F(xiàn)（m，﹣4）．
∵四邊形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分線，點(diǎn)H是AE的中點(diǎn)．
∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．
∵B（4，﹣4），C（6，0），
∴直線BC的解析式為：y＝2x﹣12．
當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，有2×m﹣12＝﹣4+m．
解得m＝．
∴G（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．
∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，
BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，
CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．
若以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則△BGC是直角三角形，
∴分以下三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，BG2+BC2＝CG2，
∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，
解得m＝，
∴G（，﹣）；
②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，BC2+CG2＝BG2，
∴20+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝（4﹣m）2+（m）2，
解得m＝，
∴G（，﹣）；
③當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)時(shí)，BG2+CG2＝BC2，
∴（4﹣m）2+（m）2+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝20，
解得m＝或2，
∴G（3，﹣3）或（，﹣）；
綜上，存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）或（3，﹣3）或（，﹣）．
【例3】 (2023?黔東南州）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①當(dāng)AC＝AN時(shí)，②當(dāng)AC＝CN時(shí)，③當(dāng)AN＝CN時(shí)三種情況進(jìn)行討論，列出關(guān)于t的方程，求出t的值，即可寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）分兩種情形討論：①當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)BC為邊時(shí)，先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用平行四邊形的中心對(duì)稱性求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，
將點(diǎn)B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①當(dāng)AC＝AN時(shí)，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）；
②當(dāng)AC＝CN時(shí)，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，3﹣）；
③當(dāng)AN＝CN時(shí)，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；
綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）設(shè)E（1，a），F(xiàn)（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC為對(duì)角線時(shí)，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）；
②以BC為邊時(shí)，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（﹣2，1），
綜上所述：存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
【例4】 (2023?梁山縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OA．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記m＝，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，m取最大值時(shí)，點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）因?yàn)閽佄锞€y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，所以可以假設(shè)y＝a（x+2）（x﹣4），求出點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根據(jù)關(guān)于m關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（3）存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形．分兩種情形分別求解即可：①當(dāng)DP是矩形的邊時(shí)，有兩種情形；②當(dāng)DP是對(duì)角線時(shí)；
【解答】解：（1）因?yàn)閽佄锞€y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，
所以可以假設(shè)y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入拋物線的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．
（2）如圖1中，由題意，點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，作PE⊥x軸于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，則D（0，1），
∵BC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)P（n，﹣n2+n+4），則F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)n＝2時(shí)，m有最大值，最大值為，此時(shí)P（2，4）．
（3）存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形．
①當(dāng)DP是矩形的邊時(shí)，有兩種情形，
a、如圖2﹣1中，四邊形DQNP是矩形時(shí)，
有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直線DP的解析式為y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得＝，
∴OD2＝OE?OQ，
∴1＝?OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點(diǎn)P向右平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如圖2﹣2中，四邊形PDNQ是矩形時(shí)，
∵直線PD的解析式為y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點(diǎn)D向右平移6個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②當(dāng)DP是對(duì)角線時(shí)，設(shè)Q（x，0），則QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角頂點(diǎn)，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程無解，此種情形不存在，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（，3）或（6，﹣3）．
1． (2023?武功縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y＝﹣x2+bx+c（b、c為常數(shù)）與x軸交于A（﹣6，0）、B（2，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將該拋物線L1向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線L2，與原拋物線L1交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)N在平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)問在拋物線L2上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；
（2）存在，根據(jù)題意求得拋物線L2的表達(dá)式，再與拋物線L1聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；要使得以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的矩形，分當(dāng)M在x軸上方時(shí)和當(dāng)M在x軸下方時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)矩形的性質(zhì)列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣6，0）、B（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣4x+12；
（2）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16，
∴拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+2﹣4）2+16＝﹣（x﹣2）2+16＝﹣x2+4x+12，
令﹣x2﹣4x+12＝﹣x2+4x+12，
解得：x＝0，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣4x+12＝12，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，12），
∵點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣12），
①當(dāng)M在x軸上方時(shí)，
要使得以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的矩形，
則yM＝y(tǒng)C，即﹣x2+4x+12＝12，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴M1（4，12）；
②當(dāng)M在x軸下方時(shí)，
要使得以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的矩形，
則yM＝y(tǒng)D，即﹣x2+4x+12＝﹣12，
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，
M2（2+2，﹣12），M3（2﹣2，﹣12）．
綜上所述，在拋物線L2上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的矩形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，12）或（2+2，﹣12）或（2﹣2，﹣12）．
2． (2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝+bx+c與x軸的正半軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在拋物線上，AB⊥y軸于點(diǎn)B．△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBE，連接DE．當(dāng)+bx+c＜0時(shí)，x的取值范圍是﹣＜x＜2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：四邊形OBED是矩形；
（3）在線段OD上找一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線m垂直x軸，交OE于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)△DNF的面積取得最大值時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，在直線m上找一點(diǎn)P，連接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）由題意可知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（2，0），（﹣，0），再將兩個(gè)點(diǎn)代入解析式即可求解；
（2）由旋轉(zhuǎn)是性質(zhì)，可得OB＝AB，則設(shè)A（﹣m，m），求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得BE＝OD，再由BE∥OD，OB⊥OD即可證明；
（3）設(shè)N（n，0），則F（n，n），則S＝﹣（n﹣1）2+，可知當(dāng)n＝1時(shí)，S有最大值，此時(shí)N（1，0），F(xiàn)（1，），通過已知可推導(dǎo)出∠OPN＝∠POE，從而得到PF＝OF，設(shè)P（1，t），則|t﹣|＝，求出t的值即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】（1）解：∵當(dāng)+bx+c＜0時(shí)，x的取值范圍是﹣＜x＜2，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（2，0），（﹣，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣1；
（2）證明：由（1）可知D（2，0），C（0，﹣1），
∴OD＝2，OC＝1，
∵AB⊥y軸，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBE，
∴OB⊥BE，AB＝OB，
設(shè)A（﹣m，m），
∴m＝m2﹣m﹣1，
解得m＝﹣1或m＝，
∴A（﹣1，1），
∴BO＝1，
∴BC＝BE＝2，
∴BE＝OD，
∵∠BOD＝90°，
∴BE∥OD，
∴四邊形OBED是矩形；
（3）∵E（2，1），
∴直線OE的解析式為y＝x，
設(shè)N（n，0），則F（n，n），
∴S＝×DN×FN＝×（2﹣n）×n＝﹣（n﹣1）2+，
∵N在線段OD上，
∴0≤n≤2，
∴當(dāng)n＝1時(shí)，S有最大值，
此時(shí)N（1，0），F(xiàn)（1，），
∵∠PNO＝90°，
∴∠EOD+∠POE＝90°，
∵∠OPD+∠DOE＝90°，
∴∠POE+∠OPN＝∠OPD，
∵O點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，
∴∠OPN＝∠NPD，
∴∠OPN＝∠POE，
∴PF＝OF，
設(shè)P（1，t），
∴|t﹣|＝，
∴t＝+或t＝﹣+，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，+）或（1，﹣+）．
3． (2023?石家莊二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c（c≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為 b+1 （用含b的式子表示），∠OBC＝ 45 度；
（2）當(dāng)b＝1時(shí)，若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，求△BCP面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）已知矩形ODEF的頂點(diǎn)D，F(xiàn)分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2）．
①拋物線的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)AQ的中點(diǎn)落在直線EF上時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．
【分析】（1）將（﹣1，0）代入解析式可得c與b的關(guān)系，從而可得OB＝OC，進(jìn)而求解．
（2）由b＝1可得拋物線解析式及點(diǎn)B，C坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC解析式，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），作PE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，連接PC，PB，由S△BCP＝S△CEP+S△BEP求解．
（3）①將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，由點(diǎn)A，Q坐標(biāo)可得A，Q中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
②根據(jù)拋物線與y軸交點(diǎn)的位置及拋物線對(duì)稱軸的位置，結(jié)合圖象求解．
【解答】解：（1）將（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣1﹣b+c，
解得c＝b+1，
∴y＝﹣x2+bx+b+1，
設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，0），則拋物線對(duì)稱軸為直線x＝＝，
解得x2＝b+1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（b+1，0），
∴OC＝OB＝b+1，
∴∠OBC＝45°，
故答案為：b+1，45．
（2）當(dāng)b＝1時(shí)，y＝﹣x2+x+2，
作PE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，連接PC，PB，
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，
將B（2，0），（0，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+2．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），則點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，﹣m+2），
∴PE＝﹣m2+2m，
∵S△BCP＝S△CEP+S△BEP＝PE?xP+PE（xB﹣xP）＝PE?xB＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，
∴m＝1時(shí)，△BCP面積的最大為1，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）．
（3）①∵y＝﹣x2+bx+b+1＝﹣（x﹣）2++b+1，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，+b+1），
∵A（﹣1，0），
∴點(diǎn)A，Q中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣+，++），
∴++＝2，
解得b＝2或b＝﹣6，
當(dāng)b＝2時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，4），
當(dāng)b＝﹣6時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣3，4）．
②∵E（3，2），
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，2），
將（0，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得b+1＝2，
解得b＝1，
將E（3，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得2＝﹣9+4b+1，
解得b＝，
∴1≤b＜，滿足題意．
當(dāng)拋物線頂點(diǎn)Q（，+b+1）落在y軸上時(shí)，＝0，
解得b＝0，
當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，0＝b+1，
解得b＝﹣1，
∴﹣1＜b≤0符合題意．
綜上所述，1≤b＜或﹣1＜b≤0．
4． (2023?濱?？h一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，直線BM：y＝2x+m交y軸于點(diǎn)M．P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線BC、BM于點(diǎn)E、F．
（1）求拋物線的表達(dá)式：
（2）當(dāng)點(diǎn)P落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求△PBC的面積：
（3）①若點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形BENF為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點(diǎn)Q，滿足QN＝QM，當(dāng)△QNB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，即知拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
（2）由y＝﹣x2+x+2求出P（，），由B（4，0），C（0，2）得直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+2，從而可得E（，），PE＝﹣＝，即可得△PBC的面積是；
（3）①過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，求得直線BM的表達(dá)式為：y＝2x﹣8即知M（0，﹣8），設(shè)E（a，﹣a+2），則F（a，2a﹣8），證明△NEG≌△BFH（AAS），可得NG＝BH，EG＝FH，即有a＝4﹣a，解得F（2，﹣4），E（2，1），從而可得N（0，﹣3）；
②取MN的中點(diǎn)D，由QN＝QM，知點(diǎn)Q在MN的垂直平分線上，又C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，故要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，即點(diǎn)B、Q、M共線，此時(shí)，點(diǎn)Q即為MN的垂直平分線與直線BM的交點(diǎn)，由N（0，﹣3），M（0，﹣8），得D（0，﹣），即可得Q（，﹣）．
【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
（2）如圖：
∵點(diǎn)P落在拋物線y＝﹣x2+x+2的對(duì)稱軸上，
∴P為拋物線y＝﹣x2+x+2的頂點(diǎn)，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴P（，），
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2）
由B（4，0），C（0，2）得直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+2，
把x＝代入y＝﹣x+2得y＝，
∴E（，），
∴PE＝﹣＝，
∴S△PBC＝PE?|xB﹣xC|＝××4＝，
答：△PBC的面積是；
（3）①過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，如圖：
∵y＝2x+m過點(diǎn)B（4，0），
∴0＝2×4+m，
解得m＝﹣8，
∴直線BM的表達(dá)式為：y＝2x﹣8，
∴M（0，﹣8），
設(shè)E（a，﹣a+2），則F（a，2a﹣8），
∵四邊形BENF為矩形，
∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，
又∠NGE＝90°＝∠BHF，
∴△NEG≌△BFH（AAS），
∴NG＝BH，EG＝FH，
而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，
∴a＝4﹣a，
解得a＝2，
∴F（2，﹣4），E（2，1），
∴EH＝1，
∵EG＝FH，
∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，
∵F（2，﹣4），
∴G（2，﹣3），
∴N（0，﹣3）；
②取MN的中點(diǎn)D，如圖：
∵QN＝QM，
∴點(diǎn)Q在MN的垂直平分線上，
又∵B（4，0），N（0，﹣3），
∴BN＝5，
∴C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，
∴要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，
∴當(dāng)點(diǎn)B、Q、M共線時(shí)，△QNB的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)，點(diǎn)Q即為MN的垂直平分線與直線BM的交點(diǎn)，
∵N（0，﹣3），M（0，﹣8），
∴D（0，﹣），
在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：
﹣＝2x﹣8，
解得x＝，
∴Q（，﹣）．
5． (2023?石家莊模擬）某公園有一個(gè)截面由拋物線和矩形構(gòu)成的觀景拱橋，如圖1所示，示意圖如圖2，且已知圖2中矩形的長(zhǎng)AD為12米，寬AB為4米，拋物線的最高處E距地面BC為8米．
（1）請(qǐng)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若觀景拱橋下放置兩根長(zhǎng)為7米的對(duì)稱安置的立柱，求這兩根立柱之間的水平距離；
（3）現(xiàn)公園管理處打算在觀景橋側(cè)面搭建一個(gè)矩形“腳手架”PQMN（如圖2），對(duì)觀景橋表面進(jìn)行維護(hù)，P，N點(diǎn)在拋物線上，Q，M點(diǎn)在BC上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿PQ，PN，MN的長(zhǎng)度之和的最大值，請(qǐng)你幫管理處計(jì)算一下．
【分析】（1）以CB所在的直線為x軸，點(diǎn)E為頂點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求解即可；
（2）確定立柱的縱坐標(biāo)，解方程可得答案；
（3）設(shè)N（m，﹣m2+8），則PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，三根支桿的總長(zhǎng)度w＝﹣m2+2m+16，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）如圖，以CB所在的直線為x軸，點(diǎn)E為頂點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
由題意得，E（0，8），A（﹣6，4），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+c，
代入可得，解得，
∴y＝﹣x2+8；
（2）依題意可得﹣x2+8＝7，
解得x＝±3，
∴3﹣（﹣3）＝6（米），
答：這兩根立柱之間的水平距離是6米；
（3）設(shè)N（m，﹣m2+8），則PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，
∴三根支桿的總長(zhǎng)度w＝PQ+PN+MN+2m+2（﹣m2+8）＝﹣m2+2m+16，
∵a＝﹣＜0，
∴m＝﹣＝4.5時(shí)，w最大＝20.5，
∴三根支桿PQ，PN，MN的長(zhǎng)度之和的最大值為20.5米．
6． (2023?朝陽區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣m與y軸交于點(diǎn)M，直線y＝m+5與y軸交于點(diǎn)A，與直線x＝4交于點(diǎn)B，直線y＝﹣2m與y軸交于點(diǎn)D（A與D不重合），與直線x＝4交于點(diǎn)C，構(gòu)建矩形ABCD．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求m的取值范圍．
（2）求證：拋物線y＝x2﹣2mx﹣m與直線y＝m+5恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的函數(shù)值y隨著x的增大而增大或y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍．
（4）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B到x軸距離的時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）由題意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），分兩種情況：當(dāng)m+5＞﹣2m，即m＞﹣時(shí)，當(dāng)m+5＜﹣2m，即m＜﹣時(shí)，分別根據(jù)“點(diǎn)M在線段AD上”，列出不等式求解即可；
（2）由題意得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，根據(jù)根的判別式即可證得結(jié)論；
（3）由題意得：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣m），開口向上，分三種情況：①當(dāng)m+5＜﹣2m，即m＜﹣時(shí)，②當(dāng)m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0時(shí)，③當(dāng)16﹣9m≤﹣2m，即m≥時(shí)，分別畫出圖形討論即可；
（4）由題意得：拋物線y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的范圍是0≤x≤4，點(diǎn)B（4，m+5）到x軸的距離為|m+5|，根據(jù)“拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B到x軸距離的”分三種情況：①當(dāng)m＜﹣5時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣m﹣，﹣2m），②當(dāng)﹣5≤m＜時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+，﹣2m），③當(dāng)m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+，m+5），分別代入拋物線解析式求解即可．
【解答】（1）解：由題意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），
當(dāng)m+5＞﹣2m，即m＞﹣時(shí)，
∵點(diǎn)M在線段AD上，
∴﹣2m＜﹣m＜m+5，
∴m＞0；
當(dāng)m+5＜﹣2m，即m＜﹣時(shí)，
∵點(diǎn)M在線段AD上，
∴m+5＜﹣m＜﹣2m，
∴m＜；
綜上所述，m的取值范圍為m＞0或m＜．
（2）證明：當(dāng)x2﹣2mx﹣m＝m+5時(shí)，
整理得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，
Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣2m﹣5）＝4（m+1）2+16，
∵4（m+1）2≥0，
∴4（m+1）2+16＞0，
∴拋物線y＝x2﹣2mx﹣m與直線y＝m+5恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
（3）解：∵y＝x2﹣2mx﹣m＝（x﹣m）2﹣m2﹣m，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣m），開口向上，與y軸的交點(diǎn)M（0，﹣m），
①當(dāng)m+5＜﹣2m，即m＜﹣時(shí)，如圖1，
此時(shí)拋物線在矩形內(nèi)部的函數(shù)值y隨著x的增大而增大；
②當(dāng)m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0時(shí)，如圖2，
此時(shí)拋物線在矩形內(nèi)部的函數(shù)值y隨著x的增大而增大；
③當(dāng)m＞0時(shí)，如圖3，
令x＝4，則y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，
當(dāng)16﹣9m≤﹣2m，即m≥時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)部（不包括邊界）的函數(shù)值y隨著x的增大而減??；
綜上，m的取值范圍為m＜﹣或﹣＜m≤0或m≥．
（4）解：由題意得：拋物線y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的范圍是0≤x≤4，
點(diǎn)B（4，m+5）到x軸的距離為|m+5|，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝16﹣9m，
∵拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B到x軸距離的，
∴拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為|m+5|，
①當(dāng)m＜﹣5時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣m﹣，﹣2m），
∴﹣2m＝（﹣m﹣）2﹣2m（﹣m﹣）﹣m，
解得：m＝，
∵m＜﹣5，
∴m＝﹣；
②當(dāng)﹣5≤m＜時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+，﹣2m），
∴﹣2m＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，
解得：m＝﹣1，
∵﹣5≤m＜，
∴m＝﹣1﹣；
③當(dāng)m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤時(shí)，
拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+，m+5），
∴m+5＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，
解得：m＝﹣3，
∵﹣＜m≤，
∴m＝﹣3+；
綜上所述，m的值為﹣或﹣1﹣或﹣3+．
7． (2023?長(zhǎng)春一模）已知拋物線y＝x2﹣2mx+2m+1．
（1）寫出拋物線y＝x2﹣2mx+2m+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 m≤1 ．
（3）當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2mx+2m+1的圖象記為G，設(shè)圖象G的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0．當(dāng)y0＝﹣1時(shí)，求m的值．
（4）當(dāng)m＞0時(shí)，分別過點(diǎn)A（2，1）、B（2，4）作y軸垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C，拋物線在矩形ABCD內(nèi)部的圖象（包括邊界）的最低點(diǎn)到直線y＝﹣2的距離等于最高點(diǎn)到x軸的距離，直接寫出m的值．
【分析】（1）由y＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，即可求解；
（2）由拋物線的圖象可得m≤1時(shí)，y隨x的增大而增大；
（3）分三種情況討論：當(dāng)m＜﹣1時(shí)，y0＝2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；當(dāng)m＞2時(shí)，x＝2，函數(shù)有最小值，y0＝5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；當(dāng)﹣1≤m≤2時(shí)，y0＝﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（4）分五種情況討論：當(dāng)0＜m≤時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；當(dāng)＜m≤1時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；當(dāng)1＜m≤時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；當(dāng)＜m≤2時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；當(dāng)m＞2時(shí)，最高點(diǎn)縱坐標(biāo)是4，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)是1，此時(shí)不符合題意．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+1）；
（2）∵拋物線開口向上，
∴m≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，
故答案為：m≤1；
（3）當(dāng)m＜﹣1時(shí)，x＝﹣1，函數(shù)有最小值，
∴y0＝2+4m，
∵y0＝﹣1，
∴2+4m＝﹣1，
解得m＝﹣（舍）；
當(dāng)m＞2時(shí)，x＝2，函數(shù)有最小值，
∴y0＝5﹣2m，
∵y0＝﹣1，
∴5﹣2m＝﹣1，
解得m＝3；
當(dāng)﹣1≤m≤2時(shí)，x＝m，函數(shù)有最小值，
∴y0＝﹣m2+2m+1，
∵y0＝﹣1，
∴﹣m2+2m+1＝﹣1，
解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
綜上所述：m的值為3或﹣+1；
（4）當(dāng)0＜m≤時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝4，
解得m＝1（舍）；
當(dāng)＜m≤1時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，
解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；
當(dāng)1＜m≤時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，
解得m＝或m＝﹣（舍）；
當(dāng)＜m≤2時(shí)，﹣m2+2m+1+2＝4，
解得m＝1（舍）；
當(dāng)m＞2時(shí)，最高點(diǎn)縱坐標(biāo)是4，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)是1，
∴3≠4，
∴此時(shí)不符合題意；
綜上所述：m的值為或2﹣．
8． (2023?咸豐縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線l，P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線l上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值；
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求m的值；
（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等構(gòu)建方程求解即可．
（3）根據(jù)PQ＝MQ，構(gòu)建方程求解即可．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q是下方下方時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，觀察圖象可知．當(dāng)0＜m＜3時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，如圖4﹣1中．當(dāng)m＞4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)Q的上方，也滿足條件，如圖4﹣2中．
【解答】解：（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），
∴＝0，
解得b＝1．
∴拋物線解析式為：．
（2）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且P點(diǎn)在拋物線y＝的圖象上，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），
∵PQ⊥l，l過A點(diǎn)且垂直于x軸，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，），
∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣m+），
∵Q點(diǎn)與M點(diǎn)重合，
∴＝﹣m+，
解方程得：m＝0或m＝4．
（3）∵拋物線＝﹣（x﹣1）2+2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
∵N點(diǎn)的坐標(biāo)為N（m，﹣m+），
要使頂點(diǎn)（1，2）在正方形PQMN內(nèi)部，
∴﹣m+＞2，得m＜﹣．
∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．
∵四邊形PQMN是正方形，
∴m2﹣2m＝3﹣m，
解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．
∴當(dāng)m＝1﹣時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在正方形PQMN內(nèi)部．
（4）∵M(jìn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)﹣m+，隨P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的增大而減小，根據(jù)（1）的結(jié)果得：
當(dāng)m＝0時(shí)，M，Q兩點(diǎn)重合；m＝3時(shí)，P，Q重合；m＝4時(shí)，M，Q重合，矩形PQMN不存在；
當(dāng)m＜0時(shí)，直線MN在直線PQ上方，拋物線頂點(diǎn)在矩形PQMN內(nèi)部，不合題意．
當(dāng)0＜m＜4時(shí)，直線MN在直線PQ下方，如圖4﹣1，
當(dāng)3＜m＜4時(shí)，矩形內(nèi)部沒有拋物線圖象，不合題意；
當(dāng)m＞4時(shí)，直線MN在直線PQ上方，矩形內(nèi)部有拋物線，且為對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，如圖4﹣2；
綜上：當(dāng)0＜m＜3或m＞4時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減?。?br>9． (2023?白山模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+b（b為常數(shù)，b≠0）與y軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），過點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l．P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線l上的一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為﹣m+1．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值；
（3）當(dāng)矩形PQMN為正方形時(shí)，求m的值；
（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)Q與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)相等構(gòu)建方程求解即可．
（3）根據(jù)PQ＝MQ，構(gòu)建方程求解即可．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線l的下邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則有﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)M右邊時(shí)，存在兩段，不合題意；當(dāng)0＜m＜2時(shí)，點(diǎn)P在l的上方，當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，有＜m＜2．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b，得到b＝3．
（2）∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
∴P（m，﹣m2+2m+3），
∵PQ⊥l，且l⊥y軸，
∴PQ∥y，
∴Q（m，3）；
∵點(diǎn)M（﹣m+1，3）與點(diǎn)Q重合，
∴﹣m+1＝m，
解得m＝．
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
由題意PQ＝MQ，
∴|﹣m2+2m+3﹣3|＝|﹣m+1﹣m|
解得，m＝1或m＝﹣1或m＝2+或m＝2﹣．
（4）根據(jù)題意可知，需要分類討論：
當(dāng)點(diǎn)P在直線l的下邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，如圖1，
此時(shí)﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；
當(dāng)點(diǎn)P在直線l的下邊，點(diǎn)Q在點(diǎn)M右邊時(shí)，如圖2，存在兩段，不合題意；
當(dāng)點(diǎn)P在l上方時(shí)，如圖3和4，當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，
當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，有＜m＜2．
綜上，當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，﹣1≤m＜0或＜m＜2．
10． (2023?吉林四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx﹣與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與該拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)B，作直線AB．P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，以PQ、PN為邊作矩形PQMN．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AB的解析式；
（3）當(dāng)該拋物線被矩形PQMN截得的部分圖象的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的距離為2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到直線MQ的距離相等時(shí)，直接寫出m的值．
【分析】（1）把點(diǎn)A（5，0）代入拋物線y＝x2+bx﹣中可解答；
（2）根據(jù)配方法可得拋物線頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AB的解析式；
（3）分兩種情況：①點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)；②點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)；根據(jù)該拋物線被矩形PQMN截得的部分圖象的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的距離為2列方程可解答；
（4）先求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到直線MQ的距離相等可知：點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣，將y＝﹣代入直線AB的解析式可得答案．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（5，0）代入拋物線y＝x2+bx﹣中得：
+5b﹣＝0，
解得：b＝﹣2，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣＝（x﹣2）2﹣，
∴B（2，﹣），
設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+n，
則，解得：，
∴直線AB的解析式為：y＝x﹣；
（3）由題意得：P（m，m2﹣2m﹣），
∴Q（m，m﹣），
分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，
∵拋物線被矩形PQMN截得的部分圖象的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的距離為2，
∴m2﹣2m﹣+＝2，
解得：m1＝0，m2＝4（舍），
∴P（0，﹣）；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右邊時(shí)，
∵拋物線被矩形PQMN截得的部分圖象的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的距離為2，
∴m2﹣2m﹣﹣m+＝2，
解得：m1＝6，m2＝1（舍），
∴P（6，3.5）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣）或（6，3.5）；
（4）如圖3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣
∵該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到直線MQ的距離相等，即點(diǎn)D與C到直線MQ的距離相等，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣，
當(dāng)y＝﹣時(shí)，m﹣＝﹣，
解得：m＝．
11． (2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2ax﹣a（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)（﹣，m）在拋物線上，求m的值．
（2）當(dāng)拋物線的最低點(diǎn)到x軸的距離恰好是時(shí)，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），連接AB．當(dāng)拋物線與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不與A、B重合），將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PM，以PM、PA為鄰邊構(gòu)造矩形PMQA．
①若拋物線在矩形PMQA內(nèi)部的圖象的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小時(shí)，求a的取值范圍．
②當(dāng)拋物線在矩形PMQA內(nèi)部（包含邊界）圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值的差為時(shí)，直接寫出a的值．
【分析】（1）將（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．
（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，通過頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為±求解．
（3）①通過數(shù)形結(jié)合，討論拋物線對(duì)稱軸與矩形邊的位置關(guān)系與拋物線經(jīng)過臨界點(diǎn)時(shí)的值求解．
②分類討論點(diǎn)B在A上方與點(diǎn)B在A下方兩種情況，分別求出最高點(diǎn)與最低點(diǎn)坐標(biāo)作差求解．
【解答】解：（1）將（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：
m＝+a﹣a，
∴m＝．
（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣a），
當(dāng)﹣a2﹣a＝時(shí)，
解得a＝﹣，
當(dāng)﹣a2﹣a＝﹣時(shí)，
解得a＝或a＝．
∴a＝﹣或a＝或a＝．
（3）①AB所在直線解析式為x＝﹣1，
將x＝﹣1代入y＝x2﹣2ax﹣a得y＝1+a，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，1+a），
當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A上方時(shí)，2a﹣＞1+a＞﹣1，
解得a＞，
∵PB＝PM＝2a﹣﹣（1+a）＝a﹣，
∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)為﹣1+a﹣＝a﹣，
∵a＞a﹣，
∴拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)M右側(cè)，滿足題意，
∴a＞．
當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A下方時(shí)，﹣1＞1+a＞2a﹣，
解得a＜0，
∵PB＝PM＝1+a﹣（2a﹣）＝﹣a，
∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)為﹣1﹣（﹣a）＝a﹣，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，a＝，
解得a＝﹣，
∴﹣＜a＜0滿足題意．
綜上所述，﹣＜a＜0或a＞．
②由①得Q的橫坐標(biāo)為a﹣，
∴Q的坐標(biāo)為（a﹣，1），
當(dāng)a＞，拋物線經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，將（a﹣，1）代入拋物線解析式得：
1＝（a﹣）2﹣2a（a﹣）﹣a，
解得a＝或a＝（舍），
拋物線與直線x＝a﹣交點(diǎn)為（a﹣，﹣a2﹣a+），
當(dāng)＜a＜時(shí)，拋物線與矩形交點(diǎn)最高點(diǎn)為點(diǎn)P（﹣1，1+a），最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
（1+a）﹣1＝時(shí)，解得a＝（舍）．
當(dāng)點(diǎn)P為最高點(diǎn)，拋物線與MQ交點(diǎn)E為最低點(diǎn)時(shí)，
（1+a）﹣（﹣a2﹣a+）＝，
解得a＝﹣1﹣（舍）或a＝﹣1+．
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，a＝，
∴≤a＜0時(shí)，拋物線與矩形交點(diǎn)最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1+a，
當(dāng)1﹣（1+a）＝時(shí)，a＝﹣．
當(dāng)a＜時(shí)，拋物線與直線MQ交點(diǎn)（a﹣，﹣a2﹣a+）為最高點(diǎn)，點(diǎn)P為最低點(diǎn)，
當(dāng)﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝時(shí)，解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣．
綜上所述，a＝﹣1﹣或a＝﹣或a＝﹣1+．
12． (2023?吉林二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸正半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線y＝kx+b（k≠0）與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m+1，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)C，在該垂線的點(diǎn)P上方取一點(diǎn)D，使PD＝1，以CD為邊作矩形CDEF，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2m．
（1）求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在該拋物線上時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)到EF的距離；
（4）當(dāng)矩形CDEF的一組鄰邊與該拋物線相交，且該拋物線在矩形CDEF內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）構(gòu)建方程求解即可．
（3）由題意，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為．代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程求解即可．
（4）求出三種特殊情形m的值，利用圖象法判斷即可．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝2時(shí)，．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，），
當(dāng)y＝0時(shí)，．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
∵拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．
由題意，得，
解得，
∴直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，m+1＝3．
解得m＝2．
∴2m＝4．
∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1）．
（3）將配方，得．
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）．
由題意，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為．
∵點(diǎn)E在該拋物線上，
∴．
解得，．
當(dāng)2m＜1時(shí)，即，頂點(diǎn)（1，﹣2）在EF的右邊．
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)到EF的距離為．
當(dāng)2m＞1時(shí)，即，頂點(diǎn)（1，﹣2）在EF的左邊．
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)到EF的距離為．
綜上所述，拋物線的頂點(diǎn)到EF的距離為或．
（4）當(dāng)點(diǎn)F（2m，m﹣3）在拋物線上時(shí)，m﹣3＝2m2﹣2m﹣，
解得m＝或1，
當(dāng)E在拋物線上時(shí)，m＝，
當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，m＝2，
觀察圖1，圖2，圖3可知，當(dāng)或或m≥2時(shí)，矩形CDEF的一組鄰邊與該拋物線相交．
也可以寫成：當(dāng)或m≠1或m≥2時(shí)，矩形CDEF的一組鄰邊與該拋物線相交．
13． (2023?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線l．P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線l上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為﹣m+．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值．
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求m的值．
（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等構(gòu)建方程求解即可．
（3）根據(jù)PQ＝MQ，構(gòu)建方程求解即可．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q是下方下方時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，觀察圖象可知．當(dāng)0＜m＜3時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，如圖4﹣1中．當(dāng)m＞4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)Q的上方，也滿足條件，如圖4﹣2中．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M(jìn)，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
由題意PQ＝MQ，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合題意舍棄），
∴m＝1﹣．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q下方時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，
則有﹣m+＜﹣m2+m+，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
觀察圖象可知．當(dāng)0＜m＜3時(shí)，拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，如圖4﹣1中，
當(dāng)3＜m＜4時(shí)，拋物線不在矩形PQMN內(nèi)部，不符合題意，
當(dāng)m＞4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)Q的上方，也滿足條件，如圖4﹣2中，
綜上所述，滿足條件的m的值為0＜m＜3或m＞4．
14． (2023?長(zhǎng)春模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c（b、c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）和（2，7），點(diǎn)A在這個(gè)拋物線上，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)B在這個(gè)拋物線上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1﹣2m．
①當(dāng)△ABC是以AB為底的等腰三角形時(shí)，求OABC的面積．
②將此拋物線A、B兩點(diǎn)之間的部分（包括A、B兩點(diǎn)）記為圖象G，當(dāng)頂點(diǎn)C在圖象G上，記圖象G最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h，求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，2﹣m），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1﹣m，2﹣m），點(diǎn)F在坐標(biāo)平面內(nèi)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)構(gòu)造矩形，當(dāng)此拋物線與矩形有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再將拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，即可求解；
（2）①先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；
②按第一種情況：當(dāng)點(diǎn)A是最高點(diǎn)，可得m＞1或m＜﹣，第二種情況：當(dāng)點(diǎn)B是最高點(diǎn)，得m的取值范圍，再計(jì)算縱坐標(biāo)的差h即可解答；
（3）分情況討論：①當(dāng)m＜﹣1時(shí)，②當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí)時(shí)，③當(dāng)1＜m＜2時(shí)，④當(dāng)2＜m＜3時(shí)，⑤當(dāng)3≤m＜4時(shí)，⑥當(dāng)m＝4時(shí)，⑦當(dāng)m＞4時(shí)，分別畫出圖形求解即可．
【解答】解：（1）把（0，﹣1）和（2，7）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；
（2）①當(dāng)x＝﹣1﹣2m時(shí)，y＝（﹣1﹣2m+1）2﹣2＝4m2﹣2，
∴B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．
當(dāng)△ABC是以AB為底的等腰三角形時(shí)，
則AC＝BC，
又∵點(diǎn)C在拋物線對(duì)稱軸x＝﹣1上，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，
∴A（2m﹣1，4m2﹣2），
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
∴2m﹣1＝m，
解得：m＝1，
∴A（1，2），B（﹣3，2），
∵由（1）得，C（﹣1，﹣2），
∴S△ABC＝[1﹣（﹣3）]×[2﹣（﹣2）]＝8；
②∵A（m，（m+1）2﹣2），B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．
∴當(dāng)點(diǎn)A是最高點(diǎn)，即m＞1或m＜﹣時(shí)，
則h＝（m+1）2﹣2﹣（﹣2）＝（m+1）2；
當(dāng)點(diǎn)B是最高點(diǎn)，即﹣＜m＜1時(shí)，則h＝4m2﹣2﹣（﹣2）＝4m2，
綜上，h與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：h＝（m+1）2（m＞1或m＜﹣）或 h＝4m2（﹣＜m＜1）；
（3）①當(dāng)m＜﹣1時(shí)，則2﹣m＞3，1﹣m＞2，如圖：
此時(shí)矩形ADEF與拋物線有3個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí)，則1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如圖：
此時(shí)矩形ADEF與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)1＜m＜2時(shí)，則0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如圖：
此時(shí)矩形ADEF與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；
④當(dāng)2＜m＜3時(shí)，則﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如圖：
此時(shí)矩形ADEF與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；
⑤當(dāng)3≤m＜4時(shí)，則﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如圖：
此時(shí)矩形ADEF與拋物線有4個(gè)交點(diǎn)；
⑥當(dāng)m＝4時(shí)，則2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如圖：
此時(shí)矩形ADEF與拋物線有3個(gè)交點(diǎn)（ED經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)）；
⑦當(dāng)m＞4時(shí)，則2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如圖：
此時(shí)矩形ADEF與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)．
綜上，當(dāng)m≤﹣1或m＝4時(shí)，拋物線與矩形有3個(gè)交點(diǎn)．
15． (2023?丹東）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)線段PE的長(zhǎng)度為h，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示h；
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時(shí)，請(qǐng)求出m的值；
（4）如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），即可得出h＝m2+m；
（3）如圖，過點(diǎn)E、F分別作EH⊥y軸于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G，可證得△BOC∽△PFE，得出＝，可求得EF＝（m2+m），再由△CEH∽△CBO，可得＝，求得CE＝m，結(jié)合CF＝EF，可得EF＝CE＝m，建立方程求解即可得出答案；
（4）設(shè)Q（2，t），分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線OD所在的直線上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線CD上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線DC延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+x+3；
（2）∵拋物線y＝x2+x+3與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）如圖，過點(diǎn)E、F分別作EH⊥y軸于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x軸，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y軸，PD⊥x軸，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四邊形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH∥x軸，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）∵拋物線y＝x2+x+3，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，
∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴設(shè)Q（2，t），設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H，交CP邊于點(diǎn)G，
則GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線OD所在的直線上時(shí)，如圖，
則CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四邊形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線CD上時(shí)，如圖，連接CD交GH于點(diǎn)K，
∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對(duì)稱，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH∥OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)G是CP的中點(diǎn)，GH∥OC∥PD，
∴點(diǎn)K是CD的中點(diǎn)，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線DC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)O′作O′K⊥y軸于點(diǎn)K，連接OO′交CQ于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對(duì)稱，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵點(diǎn)M是OO′的中點(diǎn)，
∴M（﹣，），
設(shè)直線CQ的解析式為y＝k′x+b′，
則，
解得：，
∴直線CQ的解析式為y＝x+3，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
16．如圖，已知拋物線C1：y＝a1x2+b1x+1c和C2：y＝a2x2+b2x+c2（|a1|＝|a2|）都經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)分別為A，B，與x軸的另一交點(diǎn)分別為M，N，如果四邊形ANBM是平行四邊形，則稱拋物線C1和C2為對(duì)稱拋物線．
（1）觀察圖象，寫出對(duì)稱拋物線兩條特征；（如：拋物線開口大小相同）
（2）若拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+2x，確定對(duì)稱拋物線C2的解析式．
（3）若MN＝4，且四邊形ANBM是矩形時(shí)，確定對(duì)稱拋物線C1和C2的解析式．
【分析】（1）觀察函數(shù)圖象，任意找出對(duì)稱拋物線兩條特征即可得出結(jié)論；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出對(duì)稱拋物線C2的解析式；
（3）由MN的長(zhǎng)可得出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)及拋物線C1的對(duì)稱軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），則AM2＝（1﹣2）2+m2，AN2＝[1﹣（﹣2）]2+m2，利用勾股定理可求出m的值，由點(diǎn)A，M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出對(duì)稱拋物線C1的解析式，由點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，同理（待定系數(shù)法）可求出對(duì)稱拋物線C2的解析式．
【解答】解：（1）觀察函數(shù)圖象，可得出對(duì)稱拋物線的特征：點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱；兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱．
（2）∵拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+2x，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，0）.
將B（﹣1，﹣1），N（﹣2，0）代入y＝a2x2+b2x中，
得：，解得：，
∴對(duì)稱拋物線C2的解析式為y＝x2+2x．
（3）∵M(jìn)N＝4，
∴OM＝MN＝×4＝2，
∴拋物線C1的對(duì)稱軸為直線x＝1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），則AM2＝（1﹣2）2+m2，AN2＝[1﹣（﹣2）]2+m2．
∵四邊形ANBM是矩形，
∴△AMN為直角三角形，
∴AM2+AN2＝MN2，
即（1﹣2）2+m2+[1﹣（﹣2）]2+m2＝42，
解得：m1＝，m2＝﹣，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣）．
當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）時(shí)，將A（1，），M（2，0）代入y＝a1x2+b1x，
得：，解得：，
∴對(duì)稱拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+2x；
當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣）時(shí)，將A（1，﹣），M（2，0）代入y＝a1x2+b1x，
得：，解得：，
∴對(duì)稱拋物線C1的解析式為y＝x2﹣2x；
∵點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）或（﹣1，），
同理，可得出對(duì)稱拋物線C2的解析式為y＝x2+2x或y＝﹣x2﹣2x．
綜上所述，對(duì)稱拋物線C1和C2的解析式為y＝﹣x2+2x，y＝x2+2x或y＝x2﹣2x，y＝﹣x2﹣2x．
17． (2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c與x軸交于點(diǎn)A，B，直線y＝x+1與拋物線交于點(diǎn)A，C（3，n）．點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知直線l：x＝m+5與直線AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P（橫坐標(biāo)為m），作PE⊥l于點(diǎn)E，以PE，DE為邊作矩形PEDF．
①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在矩形PEDF內(nèi)部時(shí)，m的取值范圍為 （請(qǐng)直接寫出）
②在①的條件下，求矩形PEDF的周長(zhǎng)的最小值．
【分析】（1）根據(jù)c點(diǎn)在直線y＝x+1上，把C（3，n）代入，得到n，再把A，C代入拋物線上，解方程組即可得到拋物線的解析式．
（2）①根據(jù)矩形左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、矩形右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，矩形上邊點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，就可得到不等式組，解之即可．
②把矩形的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的解析式，求它的最小值，再加上寬即可．
【解答】解：（1）∵y＝x+1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∵直線y＝x+1與拋物線交于點(diǎn)A，C（3，n）．
將C（3，n）代入y＝x+1，得n＝3+1＝4，
∴C（3，4）．
將A（﹣1，0），C（3，4）分別代入y＝ax2+3x+c，
得，
解得，，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4．
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）①，
由題意可知，P（m，﹣m2+3m+4），E（m+5，﹣m2+3m+4），D（m+5，m+6）．
∵拋物線的頂點(diǎn)在矩形PEDF內(nèi)部，
可得：，
解得：，
故答案為：；
②DF＝PE＝（5+m）﹣m＝5，DE＝m+6﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1．
∵，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，DE最小，最小值為1，
∴矩形PEDF周長(zhǎng)的最小值為2×1+2×5＝12．
18． (2023?綠園區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣n2+2n﹣3，點(diǎn)A、點(diǎn)B均在此二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為n﹣1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2n﹣2，在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的圖象為G．
（1）當(dāng)n＝2時(shí)，
①求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．
（2）AB所在的直線交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，以AD、CD為鄰邊構(gòu)造矩形ADCE，直接寫出當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)落在矩形ADCE的邊上時(shí)n的值．
（3）當(dāng)圖象G上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝3n﹣4的距離為3，直接寫出滿足條件的n的取值范圍．
【分析】（1）①求出函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+1，即可求解；
②由題意可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值﹣，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有最大值1，即可求y的取值范圍；
（2）求出頂點(diǎn)為（n，2n﹣3），A（n﹣1，2n﹣），B（2n﹣2，n2+4n﹣5），D（0，2n﹣），C（0，n2﹣2），當(dāng)n﹣1＞0時(shí)，頂點(diǎn)在直線AE的右側(cè)，此時(shí)頂點(diǎn)不能落在矩形ADCE的邊上；當(dāng)n﹣1＜0，即n＜1，頂點(diǎn)在CD邊上時(shí)，n＝0；
（3）當(dāng)2n﹣2≥n，即n≥2時(shí)，2n﹣≥n2+4n﹣5，解得n≥3，此時(shí)3n﹣4﹣2n+≥3，3n﹣4﹣2n+3＜3，解得≤n＜4時(shí)，圖象G上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝3n﹣4的距離為3；當(dāng)n﹣1＞2n﹣2時(shí)，此時(shí)2n﹣﹣3n+4≥3，3n﹣4﹣（n2+4n﹣5）≥3，解得n≤﹣．
【解答】解：（1）①當(dāng)n＝2時(shí)，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣2）2+1，
∴頂點(diǎn)為（2，1）；
②∵﹣1≤x≤3，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值﹣，
當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有最大值1，
∴﹣≤y≤1；
（2）∵y＝﹣n2+2n﹣3＝﹣（x﹣n）2+2n﹣3，
∴頂點(diǎn)為（n，2n﹣3），
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為n﹣1，
∴A（n﹣1，2n﹣），
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2n﹣2，
∴B（2n﹣2，n2+4n﹣5），
∵AD⊥y軸，
∴D（0，2n﹣），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝（﹣n）x+n2﹣2，
∴C（0，n2﹣2），
∵以AD、CD為鄰邊構(gòu)造矩形ADCE，
∴E（n﹣1，n2﹣2），
當(dāng)n﹣1＞0時(shí)，頂點(diǎn)在直線AE的右側(cè)，此時(shí)頂點(diǎn)不能落在矩形ADCE的邊上；
當(dāng)n﹣1＜0，即n＜1，頂點(diǎn)在CD邊上時(shí)，n＝0；
（3）如圖1，當(dāng)2n﹣2≥n，即n≥2時(shí)，
2n﹣≥n2+4n﹣5，解得n≥3或n≤1，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，3n﹣4﹣2n+≥3，3n﹣4﹣2n+3＜3時(shí)，
解得≤n＜4時(shí)，圖象G上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝3n﹣4的距離為3；
如圖2，當(dāng)n﹣1＞2n﹣2時(shí)，即n＜1，
2n﹣﹣3n+4≥3，3n﹣4﹣（n2+4n﹣5）≥3，
解得n≤﹣；
綜上所述：≤n＜4或n≤﹣時(shí)，圖象G上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝3n﹣4的距離為3．
19． (2023?羅湖區(qū)二模）【實(shí)踐與探究】九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐一一應(yīng)用一一探究的過程：
（1）實(shí)踐：他們對(duì)一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖①所示的直角坐標(biāo)系，則該拋物線的解析式為 y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25 ．
（2）應(yīng)用：按規(guī)定，機(jī)動(dòng)車輛通過隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m、最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時(shí)不考慮兩車之間的空隙）？
（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個(gè)問題，請(qǐng)予解答：
Ⅰ．如圖②，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上，頂點(diǎn)A、B落在x軸上．設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，求l的最大值．
Ⅱ．如圖③，過原點(diǎn)作一條y＝x的直線OM，交拋物線于點(diǎn)M，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N，P為直線OM上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．問：在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用頂點(diǎn)式將頂點(diǎn)坐標(biāo)（5，6.25）代入，求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出當(dāng)x＝2時(shí)，正好是汽車寬度，代入函數(shù)解析式求出即可；
（3）I．首先用未知數(shù)表示出矩形周長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)最值公式求出；
Ⅱ?利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN＝AB＝AO，以及P在y＝x的圖象上，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）根據(jù)坐標(biāo)系可知此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，6.25），且圖象過（10，0）點(diǎn)，
代入頂點(diǎn)式得：
y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
故答案為：y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25．
（2）當(dāng)最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛時(shí)，
∴10﹣3×2＝4，
4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
y＝4，
4﹣3.5＝0.5，
∴隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛；
（3）I．假設(shè)AO＝x，可得AB＝10﹣2x，
∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為l為：l＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20，
∴l(xiāng)的最大值為：＝＝20.5．
Ⅱ如圖④，當(dāng)以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y＝x的圖象上，過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，
∴5＝，
解得：m＝5±，
如圖⑤，當(dāng)∠P3NQ3＝90°時(shí)，過點(diǎn)Q3作Q3K1⊥對(duì)稱軸，
當(dāng)△NQ3K1為等腰直角三角形時(shí)，△NP3Q3為等腰直角三角形，
Q點(diǎn)在OM的上方時(shí)，P3Q3＝2Q3K1，P3Q3＝﹣x2+﹣x+，
Q3K1＝5﹣x，
Q點(diǎn)在OM的下方時(shí)，P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝x﹣（﹣x2+），
Q4K2＝x﹣5，
∴x2﹣x+10＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
P3（4，4），P4（10，10）．
∴使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（5﹣，5﹣）或（5+，5+）或（4，4）或（10，10）．
20． (2023?安徽模擬）如圖；已知拋物線y＝ax2+3x+c與直線y＝x+1交于兩點(diǎn)A，B（3，n），且點(diǎn)A在x軸上．
（1）求a，c，n的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．直線l：x＝m+5與直線AB交于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥l于點(diǎn)D，以PD，CD為邊作矩形PDCE，使得拋物線的頂點(diǎn)在矩形PDCE內(nèi)部．
①直接寫出：m的取值范圍是 ＜m＜ ；
②求PD+CD的最小值．
【分析】（1）先由直線求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入拋物線求得a和c的值；
（2）①由（1）中的a和c得到拋物線的解析式，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)D的坐標(biāo)和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出不等式即可求得m的取值范圍；
②用含有m的式子表示PD+CD，然后求得最小值．
【解答】解：（1）對(duì)直線y＝x+1，當(dāng)x＝3時(shí)，n＝4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，
∴點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，4），
將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+3x+c，得
，解得：．
（2）①∵a＝﹣1，c＝4，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m+5，﹣m2+3m+4），
∵直線l：x＝m+5與直線AB交于點(diǎn)C，
∴C（m+5，m+6），
∵拋物線的頂點(diǎn)在矩形PDCE內(nèi)部，
∴，
解得：＜m＜，
∴m的取值范圍為＜m＜，
故答案為：＜m＜．
②∵P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m+5，﹣m2+3m+4），C（m+5，m+6），
∴PD＝5，CD＝m+6﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣2m+2，
∴PD+CD＝m2﹣2m+2+5＝（m﹣1）2+6，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，PD+CD的最小值為6．
21． (2023春?朝陽區(qū)校級(jí)月考）已知拋物線L：y＝﹣x2+4x+a（a≠0）．
（1）拋物線L的對(duì)稱軸為直線 x＝2 ．
（2）當(dāng)拋物線L上到x軸的距離為3的點(diǎn)只有兩個(gè)時(shí)，求a的取值范圍．
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，直線x＝a、x＝﹣3a與拋物線L分別交于點(diǎn)A、C，以線段AC為對(duì)角線作矩形ABCD，且AB⊥y軸．若拋物線L在矩形ABCD內(nèi)部（包含邊界）最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于2，求矩形ABCD的周長(zhǎng)．
（4）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），當(dāng)拋物線L與線段MN有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，即可求解；
（2）由題意可得4+a＜3，即可求解；
（3）分別求出A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得﹣9a2﹣11a＝2，求出a值即可求解；
（4）當(dāng)4+a＝﹣1時(shí)，a＝﹣5，此時(shí)拋物線L與線段MN有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，拋物線L與線段MN有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，解得﹣1＜a＜4．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
故答案為：x＝2；
（2）∵拋物線開口向下，
∴y＝﹣3與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∵拋物線L上到x軸的距離為3的點(diǎn)只有兩個(gè)，
∴﹣3＜4+a＜3，即﹣7＜a＜﹣1；
（3）由題意可知A（a，﹣a2+5a），B（﹣3a，﹣a2+5a），C（﹣3a，﹣9a2﹣11a），D（a，﹣9a2﹣11a），
由題意可得﹣9a2﹣11a＝2，
解得a＝﹣1或a＝﹣，
當(dāng)a＝﹣時(shí)，AB＝﹣4a＝，AD＝﹣9a2﹣11a+a2﹣5a＝﹣8a2﹣16a＝，
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)＝2×（+）＝；
當(dāng)a＝﹣1時(shí)，AB＝4，AD＝8，
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)＝2×（4+8）＝24；
綜上所述：矩形ABCD的周長(zhǎng)為24或；
（4）當(dāng)a＞0時(shí)，界點(diǎn)（﹣1，﹣5+a ）在點(diǎn)N 處或下方滿足條件，此時(shí)﹣5+a≤﹣1，
所以0＜a≤4 當(dāng)a＜0時(shí)，
若界點(diǎn)（4，a ）在x 軸下方，MN 上方，且界點(diǎn)（﹣1，﹣5+a ）在點(diǎn)N 處或其下方滿足條件，
解得﹣1＜a＜0，
若頂點(diǎn)（2，4+a ）與MN 相切，滿足條件，此時(shí)4+a＝﹣1，解得a＝﹣5．
綜上，﹣1＜a≤4且a≠0或a＝﹣5．
22． (2023?煙臺(tái)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C（4，﹣5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；
（3）N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）求出A點(diǎn)坐標(biāo)后，將點(diǎn)A、C代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）連接OC，交對(duì)稱x＝1于點(diǎn)Q，此時(shí)EQ+OQ的值最小，最小值為線段OC長(zhǎng)，再求解即可；
（3）分三種情況討論：①以AE為菱形對(duì)角線，此時(shí)AM＝ME；②以AM為菱形對(duì)角線，此時(shí)AE＝EM；③以AN為菱形對(duì)角線，此時(shí)AE＝AM；再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間距離公式求解即可．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，C（4，﹣5），
∴AD＝AB＝5，B（4，0），
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
將點(diǎn)A，C代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）連接OC，交對(duì)稱軸x＝1于點(diǎn)Q，
∵PQ⊥y軸，
∴AO∥PQ，
∵AO＝PQ＝1，
∴四邊形AOQP是平行四邊形，
∴AP＝OQ，
∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ
若使EQ+PQ+AP值為最小，則EQ+OQ的值為最小，
∵E，C關(guān)于對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，
∴EQ＝CQ，
∴EQ+OQ＝CQ+OQ，
此時(shí)EQ+OQ的值最小，最小值為線段OC長(zhǎng)，
∵C（4，﹣5），
∴，
∴EQ+PQ+AP的最小值為，
即EQ+PQ+AP的最小值為；
（3）存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：
①以AE為菱形對(duì)角線，此時(shí)AM＝ME，
∴，
解得，
∴M（1，﹣3）；
②以AM為菱形對(duì)角線，此時(shí)AE＝EM，
∴，
解得或，
∴M（1，﹣5+）或（1，﹣5﹣）；
③以AN為菱形對(duì)角線，此時(shí)AE＝AM，
∴，
解得或，
∴M（1，）或（1，﹣）；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），，，，．
23． (2023??？谀M）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D（2，3）在該拋物線上，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線AD上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F到直線AD距離最大時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形．
①求n的值；
②若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），再將點(diǎn)D（2，3）代入即可求函數(shù)的解析式；
（2）求出直線AD的解析式，過點(diǎn)F作FG∥y軸交直線AD于點(diǎn)G，設(shè)F（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1），當(dāng)S△FAD最大時(shí)，點(diǎn)F到直線AD距離最大；
（3）①當(dāng)AP為矩形對(duì)角線時(shí)，過點(diǎn)M作SR∥y軸交x軸于點(diǎn)R，過交P作PS⊥SR交于S，可證明△PMS∽△MAR，由相似的性質(zhì)可求P（0，），則n＝；當(dāng)AQ為矩形對(duì)角線時(shí)，過點(diǎn)M作MR∥x軸，過點(diǎn)A作AR⊥MR交于R，可得tan∠RAM＝，再由∠OAP＝∠RAM，可求P（0，﹣），則n＝﹣；
②當(dāng)n＝時(shí)，延長(zhǎng)QA交y軸于點(diǎn)T，設(shè)AM與y軸交點(diǎn)為K，可證明△AOT≌△PMS（AAS），即可求T（0，﹣）；當(dāng)n＝﹣時(shí)，延長(zhǎng)QM與y軸交點(diǎn)為T，設(shè)RM與y軸交點(diǎn)為G，證明△TMG≌△PAO（ASA），即可求T（0，）．
【解答】解：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
∵點(diǎn)D（2，3）在拋物線上，
∴3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；
（2）設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
過點(diǎn)F作FG∥y軸交直線AD于點(diǎn)G，
設(shè)F（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1），
∴FG＝﹣t2+t+2，
當(dāng)S△FAD最大時(shí)，點(diǎn)F到直線AD距離最大，
∴＝，
即當(dāng)時(shí)，S△FAD最大，
當(dāng)時(shí)，
∴；
（3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4），
當(dāng)AP為矩形對(duì)角線時(shí)，
如圖2，過點(diǎn)M作SR∥y軸交x軸于點(diǎn)R，過交P作PS⊥SR交于S，
∵∠PMA＝90°，
∴∠PMS+∠AMR＝90°，
∵∠PMS+∠MPS＝90°，
∴∠AMR＝∠MPS，
∴△PMS∽△MAR，
∴＝，
∵PS＝1，AR＝2，MR＝4，
∴＝，
∴SM＝，
∴P（0，），
∴n＝；
當(dāng)AQ為矩形對(duì)角線時(shí)，
如圖3，過點(diǎn)M作MR∥x軸，過點(diǎn)A作AR⊥MR交于R，
∴RM＝2，AR＝4，
∴tan∠RAM＝，
∵∠RAM+∠MAO＝∠MAO+∠OAP＝90°，
∴∠OAP＝∠RAM，
∴OP＝，
∴P（0，﹣），
∴n＝﹣；
綜上所述：n的值為﹣或；
②當(dāng)n＝時(shí)，
∵四邊形AQPM是矩形，
∴AQ＝PM，
延長(zhǎng)QA交y軸于點(diǎn)T，設(shè)AM與y軸交點(diǎn)為K，
∵PS∥AO，KT∥SM，
∴∠ATO＝∠PMS，
∵∠OAT＝∠PSM＝90°，PS＝AO＝1，
∴△AOT≌△PMS（AAS），
∴MS＝OT＝，
∴T（0，﹣）；
當(dāng)n＝﹣時(shí)，
延長(zhǎng)QM與y軸交點(diǎn)為T，設(shè)RM與y軸交點(diǎn)為G，
∵M(jìn)Q∥AP，GM∥OA，
∴∠TMG＝∠OAP，
∵GM＝AO＝1，∠TGM＝∠AOP＝90°，
∴△TMG≌△PAO（ASA），
∴TM＝AP，
∵M(jìn)P＝AP，
∴TM＝MQ，
∵TG＝OP＝，
∴T（0，）；
綜上所述：T點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣）或（0，）．
24． (2023?錦州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，OA＝3，OC＝4，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)D（﹣1，0）和點(diǎn)E．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，PE，當(dāng)四邊形OCPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)四邊形OCPE的最大面積是多少；
（3）若N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)結(jié)合OA，OC的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)A，C，B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），利用S四邊形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE，即可得出S四邊形OCPE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)論；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得出拋物線對(duì)稱軸為直線直線x＝，利用待定系數(shù)法可求出直線CD的表達(dá)式，分CD為邊及CD為對(duì)角線兩種情況考慮：①當(dāng)CD為邊時(shí)，利用CN⊥CD或DN⊥CD可得出CN或DN的表達(dá)式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用矩形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為G，過點(diǎn)G作GH⊥拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H，利用勾股定理可求出HN的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用矩形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，且OA＝3，OC＝4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4）．
將B（3，4），D（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得：，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+3x+4．
（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），
∴OE＝4．
過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1所示．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），
則S四邊形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE
＝（OC+PF）?OF+FE?PF
＝（4﹣m2+3m+4）?m+（4﹣m）?（﹣m2+3m+4）
＝﹣2m2+8m+8
＝﹣2（m﹣2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴m＝2時(shí)，S四邊形OCPE取得最大值，最大值＝16，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6），
∴當(dāng)四邊形OCPE的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6），此時(shí)四邊形OCPE的最大面積是16．
（3）∵拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+3x+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝．
利用待定系數(shù)法可求出直線CD的表達(dá)式為y＝4x+4，分CD為邊及CD為對(duì)角線兩種情況考慮：
①當(dāng)CD為邊時(shí)，若四邊形DCNM為矩形，則直線CN的解析式為y＝﹣x+4，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1+﹣0，0+﹣4），即（，﹣）；
若四邊形CDNM為矩形，則直線DN的解析式為y＝﹣x﹣，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，﹣），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0+﹣（﹣1），4﹣﹣0），即（，）；
②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為G，過點(diǎn)G作GH⊥拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H，如圖3所示．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣，2），
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，2），
∴GH＝﹣（﹣）＝2．
又∵以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，即△OCN為直角三角形，
∴GN＝OC＝＝，
∴HN＝＝＝，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）．
當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1+0﹣，0+4﹣），即（﹣，）；
當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1+0﹣，0+4﹣），即（﹣，）．
綜上所述，在平面內(nèi)存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，）或（﹣，）或（﹣，）．

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