以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是中考的熱點(diǎn)難點(diǎn)之一，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高.對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來解決.由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解.

解決拋物線中的平行四邊形存在性問題，常用的結(jié)論和方法有：線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、畫平行四邊形.
平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是.
平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、、，則，
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已知不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，在平面內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有三種情況：
【例1】．(2023?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【例2】．(2023?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（2，1），拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移，平移的距離為h（h＞0），在平移過程中，該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，求h的最大值；
（3）M是（1）中拋物線上一點(diǎn)，N是直線BC上一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【例3】．(2023?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC＝∠BCO；
（3）如圖②，延長DC交x軸于點(diǎn)M，平移二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象，使頂點(diǎn)D沿著射線DM方向平移到點(diǎn)D1且CD1＝2CD，得到新拋物線y1，y1交y軸于點(diǎn)N．如果在y1的對(duì)稱軸和y1上分別取點(diǎn)P，Q，使以MN為一邊，點(diǎn)M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【例4】．(2023?郴州）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，將直線BC向上平移，得到過原點(diǎn)O的直線MN．點(diǎn)D是直線MN上任意一點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸l上時(shí)，連接CD，與x軸相交于點(diǎn)E，求線段OE的長；
②如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F與點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
1．(2023?濱城區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為y＝kx+b（k≠0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，△PBE的面積最大并求出最大值．
（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N（不與點(diǎn)B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q．若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．
2．(2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PN，并求出PN的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+4沿著射線CB的方向平移，使得新拋物線y'過原點(diǎn)，點(diǎn)D為原拋物線y與新拋物線y'的交點(diǎn)，若點(diǎn)E為原拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為新拋物線y'上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)F使得以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫出一個(gè)F點(diǎn)的求解過程．
3．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線M：y＝ax2+bx+b﹣a經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3）和（﹣4，12），與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線M的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線N：y＝﹣（x﹣h）2+與拋物線M有一個(gè)公共點(diǎn)為E，則在拋物線N上是否存在一點(diǎn)F，使得以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出h的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
4．(2023?本溪模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）填空：△ABC的形狀是 ．
（2）求拋物線的解析式；
（3）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）M在直線BC上，N在拋物線上，以M、N、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
5．(2023?深圳模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣3a），對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是M．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過C，M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，滿足以點(diǎn)P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)直線y＝﹣x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B，D重合），經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．
6．(2023?銅梁區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．與y軸交于點(diǎn)C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是第一象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q為線段PB的中點(diǎn)，求△CPQ面積的最大值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)：
（3）將拋物線沿射線CB方向平移2個(gè)單位得新拋物線y'．M為新拋物線y′的頂點(diǎn)．D為新拋物線y'上任意一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)．當(dāng)以M、N、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．并選擇一個(gè)你喜歡的N點(diǎn)．寫出求解過程．
7．(2023?盤龍區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C（2，6）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的函數(shù)解析式及sin∠ABO的值；連接OC．若過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
8．(2023?海州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l與拋物線交于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D（0，3）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P（m，0）為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線EF，分別交拋物線于直線l于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，BE，求四邊形CEBF面積的最大值及此時(shí)m的值；
（3）點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥AC交直線l于點(diǎn)N，是否存在點(diǎn)M，使以A，C，M，N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
9．(2023?南昌縣一模）如圖，已知二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）圖象的頂點(diǎn)分別為M，N，與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）和C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊）．
（1）函數(shù)y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng)二次函數(shù)L1，L2的y值同時(shí)隨著x的增大而增大時(shí)，則x的取值范圍是 ；
（2）當(dāng)AD＝MN時(shí)，判斷四邊形AMDN的形狀（直接寫出，不必證明）；
（3）拋物線L1，L2均會(huì)分別經(jīng)過某些定點(diǎn)：
①求所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若拋物線L1位置固定不變，通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點(diǎn)組成的圖形為菱形，則拋物線L2應(yīng)平移的距離是多少？
10．(2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），連接BC，OB＝2OC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為H，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，求△PHQ周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線水平向左平移4個(gè)單位得到新拋物線y'；點(diǎn)D是新拋物線y'上的點(diǎn)且橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)M為新拋物線y'上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F為直線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出使得以點(diǎn)D、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的過程寫出來．
11．(2023?平桂區(qū) 二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與直線y＝﹣x+3交于點(diǎn)B、C（0，n）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求該拋物線的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，縱坐標(biāo)為t．若平移BC使點(diǎn)B與P重合，求點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；若點(diǎn)Q在拋物線上，以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且PQ∥BC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
12．(2023?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常數(shù)），當(dāng)m＝1時(shí)，記二次函數(shù)的圖象為C1；m≠1時(shí)，記二次函數(shù)的圖象為C2．如圖1，圖象C1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C；如圖2，圖象C2與x軸交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)）．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)O、D、E中恰有一點(diǎn)是其余兩點(diǎn)組成線段的中點(diǎn)時(shí)，m＝ ；
（3）如圖3，C2與C1交于點(diǎn)P，當(dāng)以點(diǎn)A、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求m的值．
13．(2023?康巴什一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+6x﹣5與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為y＝x﹣5．
（1）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)：A ，B ，C ；
（2）點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，△PBE的面積最大，并求出最大值．
（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N（不與點(diǎn)B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q．若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．
14．(2023?武城縣模擬）如圖，直線l：y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線l下方的拋物線上，過點(diǎn)P作PD∥x軸交l于點(diǎn)D，PE∥y軸交l于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；
（3）設(shè)F為直線l上的點(diǎn)，點(diǎn)P仍在直線l下方的拋物線上，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
15．(2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)（2，3）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于D，過點(diǎn)P作PE∥x軸，交直線BC于E，求PE+DB的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿x軸向左平移1個(gè)單位得到新拋物線y′，點(diǎn)M為新拋物線y′上一點(diǎn)，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求其中一個(gè)N點(diǎn)坐標(biāo)的解答過程．
16．(2023?開州區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線BD∥直線AC，交拋物線y于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段AB的長．
（2）過點(diǎn)P作PF∥y軸交AC于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，求2PE+3PF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，將拋物線y＝向右平移3個(gè)單位得到新拋物線y′，點(diǎn)M為新拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸一點(diǎn)，直接寫出所有使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)的求解過程．
17．(2023?鳳翔縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，﹣2）兩點(diǎn)，將拋物線C1向右平移2個(gè)單位得到拋物線C2，平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求拋物線C1與C2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線C2上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)且以AB為邊的四邊形是面積為8的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
18．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W：y＝x2﹣2x與x軸正半軸交于點(diǎn)A．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求線段AB的長度；
（2）將拋物線W平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，與直線BC的一個(gè)交點(diǎn)為P，若以A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形，求平移后的拋物線表達(dá)式．
19．(2023秋?文昌期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)A、C（2，﹣3）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做PE∥y軸交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長度的最大值；
（4）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A，C，G，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
20．(2023?眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x+c與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值；
（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
專題6 二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題

以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是中考的熱點(diǎn)難點(diǎn)之一，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高.對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來解決.由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解.

解決拋物線中的平行四邊形存在性問題，常用的結(jié)論和方法有：線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、畫平行四邊形.
平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是.
平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、、，
則，.
已知不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，在平面內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有三種情況：
【例1】(2023?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將x＝0及y＝0代入拋物線y＝x2﹣2x﹣6的解析式，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣2m﹣6），分別表示出S△POC，S△BOP，計(jì)算出S△BOC，根據(jù)S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC，從而得出△PBC的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（3）可分為?ACFE和?ACEF的情形．當(dāng)?ACFE時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，從而得出F點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)?ACED時(shí)，可推出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【解析】（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如圖1，
連接OP，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大＝；
方法二：如圖2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于點(diǎn)D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大＝；
（3）如圖3，
當(dāng)?ACFE時(shí)，AE∥CF，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線：x＝＝2，
∴F1點(diǎn)的坐標(biāo)：（4，﹣6），
如圖4，
當(dāng)?ACEF時(shí)，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
當(dāng)y＝6時(shí)，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F(xiàn)3（2﹣2，6），
綜上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
【例2】．(2023?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（2，1），拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移，平移的距離為h（h＞0），在平移過程中，該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，求h的最大值；
（3）M是（1）中拋物線上一點(diǎn)，N是直線BC上一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用拋物線的頂點(diǎn)式可直接得出拋物線的表達(dá)式；
（2）先根據(jù)（1）中拋物線的表達(dá)式求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線BC的表達(dá)式；設(shè)出點(diǎn)平移后的拋物線，聯(lián)立直線BC和拋物線的表達(dá)式，根據(jù)根的判別式可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分別以DE為邊，以DE為對(duì)角線，進(jìn)行討論即可．
【解析】（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（2，1），
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（2）由（1）知，拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，則x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3．
設(shè)平移后的拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，
令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，
∵該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，
∴Δ＝9﹣4h≥0，
∴h≤．
∴h的最大值為．
（3）存在，理由如下：
由題意可知，拋物線的對(duì)稱軸為：直線x＝2，
∴E（2，﹣1），
∴DE＝2，
設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2+4m﹣3），
若以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分以下兩種情況：
①當(dāng)DE為邊時(shí)，DE∥MN，
則N（m，m﹣3），
∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，
∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．
∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．
②當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為t，
則N（t，t﹣3），
∴，
解得m或（舍），
∴N（3，0）．
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．
【例3】(2023?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC＝∠BCO；
（3）如圖②，延長DC交x軸于點(diǎn)M，平移二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象，使頂點(diǎn)D沿著射線DM方向平移到點(diǎn)D1且CD1＝2CD，得到新拋物線y1，y1交y軸于點(diǎn)N．如果在y1的對(duì)稱軸和y1上分別取點(diǎn)P，Q，使以MN為一邊，點(diǎn)M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸和點(diǎn)C坐標(biāo)分別確定b和c的值，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）根據(jù)點(diǎn)A，D，C坐標(biāo)可得出AD，AC，CD的長，從而推出三角形ADC為直角三角形，進(jìn)而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，從而得出結(jié)論；
（3）先得出y1的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出先拋物線的表達(dá)式，N的坐標(biāo)，根據(jù)三角形相似或一次函數(shù)可求得點(diǎn)M坐標(biāo)，以MN為邊，點(diǎn)M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是?MNQP和?MNPQ根據(jù)M，N和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可以得出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得結(jié)果．
【解答】（1）解：由題意得，
，
∴，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）證明：∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如圖，
作DE⊥y軸于E，作D1F⊥y軸于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1FC，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的關(guān)系式為：y＝﹣（x﹣2）2+1，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得：，
∴，
∴OM＝3，
∴M（3，0），
設(shè)P（2，m），
當(dāng)?MNQP時(shí)，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
當(dāng)?MNPQ時(shí)，
同理可得：點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為：5，
當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
綜上所述：點(diǎn)Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【例4】(2023?郴州）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，將直線BC向上平移，得到過原點(diǎn)O的直線MN．點(diǎn)D是直線MN上任意一點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸l上時(shí)，連接CD，與x軸相交于點(diǎn)E，求線段OE的長；
②如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F與點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）①方法一：求出直線CD的解析式為y＝4x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，求出x的值，則可得出答案；
方法二：求出OD＝3，證明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)OE＝x，則BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，則可得出答案；
②分別以已知線段BC為邊、BC為對(duì)角線，畫出圖形，利用平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)求點(diǎn)F的坐標(biāo)和點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．
【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，
將C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
∴直線MN的解析式為y＝x，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
設(shè)直線CD的解析式為y＝k1x+b1，
將C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得，
∴直線CD的解析式為y＝4x﹣3，
當(dāng)y＝0時(shí)，4x﹣3＝0，
∴x＝，
∴E（，0），
∴OE＝．
方法二：
由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，
∴，
設(shè)OE＝x，則BE＝3﹣x，
∴，
解得x＝，
∴OE＝．
②存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四邊形以BC為邊時(shí)，
由BC∥FD可知，F(xiàn)D在直線MN上，
∴點(diǎn)F是直線MN與對(duì)稱軸l的交點(diǎn)，即F（1，1），
由點(diǎn)D在直線MN上，設(shè)D（t，t），
如圖，若四邊形BCFD是平行四邊形，則DF＝BC，
過點(diǎn)D作y軸的垂線交對(duì)稱軸l于點(diǎn)G，則G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x軸，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如圖，若四邊形BCDF是平行四邊形，則DF＝CB，
同理可證△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四邊形以BC為對(duì)角線時(shí)，
由于D在BC的上方，則點(diǎn)F一定在BC的下方，
如圖，四邊形BFCD為平行四邊形，
設(shè)D（t，t），F(xiàn)（1，n），
同理可證△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，
∴，
∴D（2，2），F(xiàn)（1，﹣5），
綜上所述，存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4）或（﹣2，﹣2）；
當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，﹣5）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．
1．(2023?濱城區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為y＝kx+b（k≠0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，△PBE的面積最大并求出最大值．
（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N（不與點(diǎn)B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q．若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．
【分析】（1）將A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5計(jì)算出a，b的值即可；
（2）作ED⊥x軸于D，表示出ED，從而表示出S△BEP，利用二次函數(shù)求最值；
（3）過A作AE∥y軸交直線BC于E點(diǎn)，過N作NF∥y軸交直線BC于點(diǎn)F，則NF＝AE＝4，設(shè)N（m，﹣m2+6m﹣5），則F（m，m﹣5），從而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的橫坐標(biāo)．
【解析】（1）將A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：
，
解得，
∴拋物線y＝﹣x2+6x﹣5，
（2）作ED⊥x軸于D，
由題意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∴ED＝sin45°×2t＝，
∴S△BEP＝＝﹣，
當(dāng)t＝﹣ 時(shí)，S△BEP最大為2．
∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△BEP最大為2．
（3）過A作AE∥y軸交直線BC于E點(diǎn)，過N作NF∥y軸交直線BC于點(diǎn)F，
則NF＝AE＝4，
設(shè)N（m，﹣m2+6m﹣5），則F（m，m﹣5），
∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，
∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，
∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：4或或．
2．(2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PN，并求出PN的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+4沿著射線CB的方向平移，使得新拋物線y'過原點(diǎn)，點(diǎn)D為原拋物線y與新拋物線y'的交點(diǎn)，若點(diǎn)E為原拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為新拋物線y'上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)F使得以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫出一個(gè)F點(diǎn)的求解過程．
【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函數(shù)解析式；
（2）先求出BC的解析式為y＝﹣x+4，設(shè)P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），由面積S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以當(dāng)m＝2時(shí)，PN有最大值，P（2，）；
（3）由拋物線沿著射線CB的方向平移，可設(shè)拋物線沿x軸正方向平移t（t＞0）個(gè)單位，則沿y軸負(fù)半軸平移t個(gè)單位，則平移后的函數(shù)解析式為y'＝﹣+﹣t，再由新拋物線y'過原點(diǎn)，可求t＝2，則可求新的拋物線解析式為y'＝﹣x2+x，聯(lián)立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由點(diǎn)E在y'上，則E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)F為新拋物線y'上，設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，當(dāng)以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，有三種情況：①當(dāng)AE與DF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②當(dāng)AF與ED為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③當(dāng)AD與EF為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．
【解析】（1）將點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，4），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，
將點(diǎn)B與點(diǎn)C代入可得，，
解得，
∴y＝﹣x+4，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PM⊥x軸，
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，
∵B（4，0），C（0，4），
∴BC＝8，
∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，
∴PN＝﹣（m﹣2）2+，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，PN有最大值，
∴P（2，）；
（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，
∵拋物線沿著射線CB的方向平移，
設(shè)拋物線沿x軸正方向平移t（t＞0）個(gè)單位，則沿y軸負(fù)半軸平移t個(gè)單位，
平移后的函數(shù)解析式為y'＝﹣+﹣t，
∵新拋物線y'過原點(diǎn)，
∴0＝﹣+﹣t，
解得t＝2或t＝﹣6（舍），
∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，
∵點(diǎn)D為原拋物線y與新拋物線y'的交點(diǎn)，
聯(lián)立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，
∴x＝3，
∴D（3，2），
∵y＝﹣x2+x+4的對(duì)稱軸為直線x＝，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)F為新拋物線y'上一動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，
①當(dāng)AE與DF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∴﹣3+＝n+3，
∴n＝﹣，
∴F（﹣，﹣）；
②當(dāng)AF與ED為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，
∴﹣3+n＝3+，
∴n＝，
∴F（，﹣）；
③當(dāng)AD與EF為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，
∴﹣3+3＝n+，
∴n＝﹣，
∴F（﹣，﹣）；
綜上所述：以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，F(xiàn)的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．
3．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線M：y＝ax2+bx+b﹣a經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3）和（﹣4，12），與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線M的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線N：y＝﹣（x﹣h）2+與拋物線M有一個(gè)公共點(diǎn)為E，則在拋物線N上是否存在一點(diǎn)F，使得以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出h的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式求出a，b的值，即可求出拋物線解析式，再將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求出B，C的坐標(biāo)，再設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，根據(jù)平移的特點(diǎn)列出關(guān)系式，求出h的值．
【解析】（1）將（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，
得，
解得，
∴，
∴拋物線M的表達(dá)式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（2）存在．
∵，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，
當(dāng)y＝0時(shí)，，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴C（0，﹣2），B（4，0），
設(shè)，，
當(dāng)四邊形BCFE是平行四邊形時(shí)，
可看出是E，F(xiàn)可看成分別是B，C平移相同的單位得到，
則
②﹣③得m+n＝2h﹣1④，
（①+④）÷2得⑤，
（④﹣①）÷2得⑥，
將⑤，⑥代入③得h＝±，
當(dāng)四邊形BCEF是平行四邊形時(shí)，
可看出是E，F(xiàn)可看成分別是C，B平移相同的單位得到，
則
②﹣③得m+n＝2h﹣1④，
（①+④）÷2得⑤，
（④﹣①）÷2得⑥，
將⑤，⑥代入③得h＝或，
當(dāng)h＝時(shí)，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，
∴E（4，0），F(xiàn)（8，2），
此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，不符合題意，舍去；
綜上，h的值為或±．
4．(2023?本溪模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）填空：△ABC的形狀是 直角三角形 ．
（2）求拋物線的解析式；
（3）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）M在直線BC上，N在拋物線上，以M、N、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；
（2）用待定系數(shù)法即可求解；
（3）當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，若直線l和拋物線只要一個(gè)交點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解；
（4）當(dāng)ED是邊時(shí)，點(diǎn)D向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)E，同樣，點(diǎn)M（N）向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N（M），進(jìn)而求解；②當(dāng)ED為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．
【解析】（1）由拋物線的表達(dá)式知，c＝3，OC＝3，
則tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，
同理可得，∠BCO＝60°，
故△ABC為直角三角形，
故答案為：直角三角形；
（2）由題意得：，解得，
故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+3①；
（3）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3，
則設(shè)直線l∥BC，則設(shè)直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+c②，
當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，直線l和拋物線只要一個(gè)交點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，
聯(lián)立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，
則△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，
解得：c＝，
將c的值代入③式并解得x＝，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；
（4）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4），
∵直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3，故點(diǎn)D（，2），
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，﹣n2+n+3），
①當(dāng)ED是邊時(shí)，
點(diǎn)D向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)E，同樣，點(diǎn)M（N）向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N（M），
則m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，
解得：m＝（舍去）或2或；
②當(dāng)ED為對(duì)角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，
解得m＝（舍去）或0，
綜上，m＝0或2或或，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．
5．(2023?深圳模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣3a），對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是M．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過C，M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，滿足以點(diǎn)P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)直線y＝﹣x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B，D重合），經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．
【分析】（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣3a），代入到解析式中，得到關(guān)于a和b的方程，由于拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，所以，聯(lián)立兩個(gè)方程，解方程組，即可求出a和b；
（2）先將解析式配成頂點(diǎn)式，求出M坐標(biāo)，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求出直線MC的解析式，再求出MC和x軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用拋物線解析式分別求出A和C坐標(biāo)，以A，C，N，P為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，并且P點(diǎn)必須在拋物線上，通過構(gòu)圖可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，才有可能構(gòu)造出符合條件的P點(diǎn)，所以過C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），將P代入到拋物線解析式中，滿足解析式，P即為所求；
（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直線與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)，可以證得△DOB是等腰直角三角形，同理可以證得△BOC也是等腰直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可以證得∠AEF＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．
【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣3a），
∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，
又因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱為x＝1，
∴②，
聯(lián)立①②，解得，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
設(shè)直線MC為y＝kx﹣3，
代入點(diǎn)M得k＝﹣1，
∴直線MC為y＝﹣x﹣3，
令y＝0，則x＝﹣3，
∴N（﹣3，0），
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
過C作CP∥AN，使CP＝AN，
則四邊形ANCP為平行四邊形，
∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴P（2，﹣3），
∵P的坐標(biāo)滿足拋物線解析式，
∴P（2，﹣3）在拋物線上，
即P（2，﹣3）；
（3）如圖2，令x＝0，則y＝﹣x+3＝3，
∴D（0，3），
∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，
∴∠DBO＝45°，
同理，∠ABC＝45°，
∵同弧所對(duì)的圓周角相等，
∴∠AEF＝∠ABC＝45°，
∠AFE＝∠DBO＝45°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴△AEF為等腰直角三角形．
6．(2023?銅梁區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．與y軸交于點(diǎn)C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是第一象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q為線段PB的中點(diǎn)，求△CPQ面積的最大值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)：
（3）將拋物線沿射線CB方向平移2個(gè)單位得新拋物線y'．M為新拋物線y′的頂點(diǎn)．D為新拋物線y'上任意一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)．當(dāng)以M、N、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．并選擇一個(gè)你喜歡的N點(diǎn)．寫出求解過程．
【分析】（1）第一題將ABC三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)表示后，代入求值即可．
（2）第二題求面積最大值，可用鉛錘法將面積轉(zhuǎn)化為求鉛垂高的最大值．
（3）第三題平行四邊形存在性問題，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分，套用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出相應(yīng)的點(diǎn)．
【解析】（1）∵拋物線解析式為y＝ax2+bx+3，
令x＝0得y＝3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），
∵OG﹣OB＝3，
∴B坐標(biāo)為（3，0），
∵tan∠CAO＝3，
∴＝3，
∴OA＝1，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴設(shè)解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
＝﹣（x2﹣2x﹣3）
＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）∵Q為線段PB中點(diǎn)，
∴S△CPQ＝S△CPB，
當(dāng)S△CPB面積最大時(shí)，△CPQ面積最大．
設(shè)P坐標(biāo)（a，﹣a2+2a+3），
過點(diǎn)P作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，
H坐標(biāo)為（a，﹣a+3），
∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）
＝﹣a2+2a+3+a﹣3
＝﹣a2+3a，
S△CPB＝?PH?（xB﹣xC）
＝?PH?3
＝PH＝（﹣a2+3a）
＝﹣（a2﹣3a+﹣）
＝﹣（a﹣）2+，
當(dāng)a＝時(shí)，即P坐標(biāo)為（，）時(shí)，
最大S△CPQ＝S△CPB＝，
∴P坐標(biāo)為（，）；
（3）沿CB方向平移2個(gè)單位，
即向右2個(gè)單位，向下2個(gè)單位，
∴新拋物線解析式為y＝﹣（x﹣3）2+2，
M坐標(biāo)為（3，2）C坐標(biāo)為（0，3），
點(diǎn)N坐標(biāo)設(shè)為（n，0），
∵＝，
∴＝，
∴yD＝1，
則1＝﹣（x﹣3）2+2
﹣1＝﹣（x﹣3）2，
（x﹣3）2＝1，
x﹣3＝±1，
∴x＝4或2，
∴xD＝4或xD＝2，
＝?＝，
∴xN＝7，
或＝，
∴xN＝5，
∴N坐標(biāo)為（7，0）或（5，0），
或＝?＝，
得yD＝﹣1，
則﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，
（x﹣3）2＝3，
x＝±+3，
∴xD＝3﹣或xD＝3+，
即xN＝﹣或，
N坐標(biāo)為（﹣，0）或（，0）．
7．(2023?盤龍區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C（2，6）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的函數(shù)解析式及sin∠ABO的值；連接OC．若過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系數(shù)法可得解析式，從而可得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）由OA＝OB可得B（0，4），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式解析式為y＝kx+b，將A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB為y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，
過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，過P作PQ⊥x軸于Q，過C作CH⊥x軸于H，分兩種情況：①當(dāng)S△AOP：S△COP＝1：2時(shí)，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，從而求得P坐標(biāo)，②當(dāng)S△COP：S△AOP＝1：2時(shí)，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐標(biāo)；
（3）設(shè)N（m，n），利用平行四邊形對(duì)角線互相平分，即對(duì)角線的中點(diǎn)重合，分三種情況分別列方程組求解即可．
【解析】（1）將A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x，
對(duì)稱軸x＝＝﹣2，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；
（2）∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝OB，
∴OB＝4，B（0，4），
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式解析式為y＝kx+b，將A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：
，解得，
∴直線AB的函數(shù)解析式解析式為y＝x+4，
Rt△AOB中，AB＝＝4，
∴sin∠ABO＝＝＝，
過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，過P作PQ⊥x軸于Q，過C作CH⊥x軸于H，分兩種情況：
①當(dāng)S△AOP：S△COP＝1：2時(shí)，如圖：
∵S△AOP：S△COP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝1：3，
∴PQ：CH＝1：3，
而C（2，6），即CH＝6，
∴PQ＝2，即yP＝2，
在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，
∴x＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②當(dāng)S△COP：S△AOP＝1：2時(shí)，如圖：
∵S△COP：S△AOP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝2：3，
∴PQ：CH＝2：3，
∵CH＝6，
∴PQ＝4，即yP＝4，
在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，
∴x＝0，
∴P（0，4）；
綜上所述，過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，則P坐標(biāo)為（﹣2，2）或（0，4）；
（3）點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，設(shè)N（m，n），分三種情況：
①以AN、CO為對(duì)角線，此時(shí)AN中點(diǎn)與CO中點(diǎn)重合，
∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），
∴AN的中點(diǎn)為（，），OC中點(diǎn)為（，），
∴，解得，
∴N（6，6），
②以AC、NO為對(duì)角線，此時(shí)AC中點(diǎn)與NO中點(diǎn)重合，同理可得：
解得，
∴N（﹣2，6），
③以AO、CN為對(duì)角線，此時(shí)AO中點(diǎn)與CN中點(diǎn)重合，同理可得：，
解得，
∴N（﹣6，﹣6），
綜上所述，點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，N的坐標(biāo)為：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．
8．(2023?海州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l與拋物線交于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D（0，3）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P（m，0）為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線EF，分別交拋物線于直線l于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，BE，求四邊形CEBF面積的最大值及此時(shí)m的值；
（3）點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥AC交直線l于點(diǎn)N，是否存在點(diǎn)M，使以A，C，M，N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將A，B坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系數(shù)法可求；
（2）求出直線l的解析式，用m表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示線段EF，根據(jù)S四邊形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF?OP+?BP＝FE?OB，用含m的代數(shù)式表示四邊形CEBF的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，通過配方法得出結(jié)論；
（3）分點(diǎn)M在直線BD的下方和點(diǎn)M在直線BD的上方時(shí)兩種情形討論解答；依據(jù)題意畫出圖形，①過M作ME⊥y軸于E，過N作NF⊥ME于F，通過說明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示相應(yīng)線段，利用線段與坐標(biāo)的關(guān)系，用相同的字母表示點(diǎn)N的坐標(biāo)后，用坐標(biāo)表示出線段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，點(diǎn)M坐標(biāo)可求；
②利用①中相同的方法求得點(diǎn)M在直線BD的上方時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解析】（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：
．
解得：．
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）設(shè)直線l的解析式為y＝kx+n，
將B（3，0），D（0，3）代入上式得：
．
解得：．
∴直線l的解析式為：y＝﹣x+3．
∵點(diǎn)P（m，0），EF⊥x軸，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）．
∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．
∵B（3，0），
∴OB＝3．
∵S四邊形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF?OP+?BP×EF＝FE?OB，
∴＝﹣．
∵＜0，
∴當(dāng)m＝時(shí)，S四邊形CEBF有最大值＝．
即：當(dāng)m＝時(shí)，四邊形CEBF面積的最大值為．
（3）存在．
①當(dāng)點(diǎn)M在直線BD的下方時(shí)，如圖，
令x＝0，則y＝﹣3．
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
過M作ME⊥y軸于E，過N作NF⊥ME于F，交x軸于點(diǎn)G，
∵四邊形ACMN為平行四邊形，
∴AC∥MN，AC＝MN．
∵NF⊥ME，ME⊥OE，
∴NF∥OE．
∴∠ACO＝∠MNF．
在△AOC和△MFN中，
．
∴△AOC≌△MFN（AAS）．
∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．
設(shè)M（h，h2﹣2h﹣3），則ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．
∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．
∴N（h﹣1，﹣h+4）．
∴NG＝﹣h+4，
∵NG+GF＝NF＝3，
∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．
解得：h＝（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）．
∴h＝．
∴M（）．
②當(dāng)點(diǎn)M在直線BD的上方時(shí)，如圖，
過N作NE⊥y軸于E，過M作MF⊥NE于F，交x軸于點(diǎn)G，
由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．
設(shè)M（h，h2﹣2h﹣3），則OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．
∴NE＝EF+NF＝h+1．
∴N（h+1，﹣h+2）．
∴GF＝OE＝h﹣2．
∵M(jìn)G+GF＝MF＝3，
∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．
解得：h＝（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）．
∴h＝．
∴M（）．
綜上所述，存在點(diǎn)M，使以A，C，M，N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）或（）．
9．(2023?南昌縣一模）如圖，已知二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）圖象的頂點(diǎn)分別為M，N，與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）和C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊）．
（1）函數(shù)y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （﹣1，﹣4m+1） ；當(dāng)二次函數(shù)L1，L2的y值同時(shí)隨著x的增大而增大時(shí)，則x的取值范圍是 ﹣1＜x＜3 ；
（2）當(dāng)AD＝MN時(shí)，判斷四邊形AMDN的形狀（直接寫出，不必證明）；
（3）拋物線L1，L2均會(huì)分別經(jīng)過某些定點(diǎn)：
①求所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若拋物線L1位置固定不變，通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點(diǎn)組成的圖形為菱形，則拋物線L2應(yīng)平移的距離是多少？
【分析】（1）將已知拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；結(jié)合函數(shù)圖象填空；
（2）利用拋物線解析式與一元二次方程的關(guān)系求得點(diǎn)A、B、C、D的橫坐標(biāo)，可得AD的中點(diǎn)為（1，0），MN的中點(diǎn)為（1，0），則AD與MN互相平分，可證四邊形AMDN是矩形；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得EH1＝EF＝4即可，設(shè)平移的距離為x，根據(jù)平移后圖形為菱形，由勾股定理可得方程即可求解．
【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（﹣1，﹣4m+1），
由圖象得：當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，二次函數(shù)L1，L2的y值同時(shí)隨著x的增大而增大．
故答案為：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3
（2）結(jié)論：四邊形AMDN是矩形．
由二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：
A點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，﹣4m+1），頂點(diǎn)N坐標(biāo)為（3，4m﹣1），
∴AD的中點(diǎn)為（1，0），MN的中點(diǎn)為（1，0），
∴AD與MN互相平分，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，
又∵AD＝MN，
∴?AMDN是矩形．
（3）
①∵二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，
故當(dāng)x＝﹣3或x＝1時(shí)y＝1，即二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1經(jīng)過（﹣3，1）、（1，1）兩點(diǎn)，
∵二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，
故當(dāng)x＝1或x＝5時(shí)y＝﹣1，即二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1經(jīng)過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點(diǎn)，
②∵二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1經(jīng)過（﹣3，1）、（1，1）兩點(diǎn)，二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1經(jīng)過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點(diǎn)，
如圖：四個(gè)定點(diǎn)分別為E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），則組成四邊形EFGH為平行四邊形，
設(shè)平移的距離為x，根據(jù)平移后圖形為菱形，
由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．
解得：x＝，
拋物線L1位置固定不變，通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點(diǎn)組成的圖形為菱形，則拋物線L2向左平移或．
10．(2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），連接BC，OB＝2OC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為H，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，求△PHQ周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線水平向左平移4個(gè)單位得到新拋物線y'；點(diǎn)D是新拋物線y'上的點(diǎn)且橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)M為新拋物線y'上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F為直線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出使得以點(diǎn)D、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的過程寫出來．
【分析】（1）求出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，將B、C點(diǎn)代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；
（2）先求出BC的解析式，設(shè)P（t，t2﹣t﹣3），則Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函數(shù)求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，則△PHQ周長＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，當(dāng)t＝3時(shí)，△PHQ周長有最大值+，此時(shí)P（3，﹣6）；
（3）求出平移后的函數(shù)解析式為y'＝x2+x﹣5，則D（﹣3，﹣5），設(shè)M（m，＝m2+m﹣5），E（x1，﹣3x1﹣3），F(xiàn)（x2，﹣3x2﹣3），分三種情況討論：①以EF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，M（，）或（，）；②以EM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，M（﹣6，4）；③以ED為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，求得M（﹣6，4）．
【解析】（1）令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵OB＝2OC，
∴OB＝6，
∴B（6，0），
將B、C點(diǎn)代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴設(shè)P（t，t2﹣t﹣3），則Q（t，t﹣3），
∴PQ＝﹣t2+3t，
∵CO＝3，BO＝6，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cs∠BCO＝，
∵PQ∥CO，
∴∠HQP＝∠OCB，
∴sin∠HQP＝＝，cs∠HQP＝＝，
∴HP＝PQ，HQ＝PQ，
∴△PHQ周長＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，
∵點(diǎn)P是直線BC下方，
∴0＜t＜6，
∴當(dāng)t＝3時(shí)，△PHQ周長有最大值+，
此時(shí)P（3，﹣6）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴平移后的函數(shù)解析式為y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，
∴D（﹣3，﹣5），
設(shè)M（m，﹣m2+m﹣5），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣3x﹣3，
設(shè)E（x1，﹣3x1﹣3），F(xiàn)（x2，﹣3x2﹣3），
①以EF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
．
解得m＝或m＝，
∴M（，）或（，）；
②以EM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
，
解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，
∴M（﹣6，4）；
③以ED為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
，
解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，
∴M（﹣6，4）；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）或（﹣6，4）．
11．(2023?平桂區(qū) 二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與直線y＝﹣x+3交于點(diǎn)B、C（0，n）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求該拋物線的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，縱坐標(biāo)為t．若平移BC使點(diǎn)B與P重合，求點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；若點(diǎn)Q在拋物線上，以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且PQ∥BC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，得拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝1；
（2）用待定系數(shù)法可得拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'坐標(biāo)為（﹣2，3+t），設(shè)Q（m，﹣m2+2m+3），分兩種情況：①當(dāng)PQ∥BC，BQ∥CP時(shí)，BP的中點(diǎn)即為CQ的中點(diǎn)，可得，P（1，﹣2）；②當(dāng)PQ∥BC，BP∥CQ時(shí)，BQ中點(diǎn)即為CP中點(diǎn)，，得P（1，﹣8）．
【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：
n＝3，
∴C（0，3），
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝＝1，
答：C（0，3），拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝1；
（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（3）∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，縱坐標(biāo)為t，
∴P（1，t），
∵平移BC使點(diǎn)B與P重合，B（3，0），
∴C（0，3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'坐標(biāo)為（﹣2，3+t），
設(shè)Q（m，﹣m2+2m+3），
①當(dāng)PQ∥BC，BQ∥CP時(shí)，BP的中點(diǎn)即為CQ的中點(diǎn)，如圖：
∴，
解得，
∴P（1，﹣2）；
②當(dāng)PQ∥BC，BP∥CQ時(shí)，BQ中點(diǎn)即為CP中點(diǎn)，如圖：
∴，
解得，
∴P（1，﹣8），
綜上所述，以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且PQ∥BC，P的坐標(biāo)為（1，﹣2）或（1，﹣8）．
12．(2023?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常數(shù)），當(dāng)m＝1時(shí)，記二次函數(shù)的圖象為C1；m≠1時(shí)，記二次函數(shù)的圖象為C2．如圖1，圖象C1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C；如圖2，圖象C2與x軸交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)）．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)O、D、E中恰有一點(diǎn)是其余兩點(diǎn)組成線段的中點(diǎn)時(shí)，m＝ 0或6或﹣6 ；
（3）如圖3，C2與C1交于點(diǎn)P，當(dāng)以點(diǎn)A、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求m的值．
【分析】（1）分別令x＝0，y＝0即可求解；
（2）求出D、E的坐標(biāo)，再分三種情況討論：①當(dāng)O為中點(diǎn)時(shí)，m＝0；②當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，m＝6；③當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，m＝﹣6；
（3）求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再分三種情況討論：①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，﹣1＝m﹣2+，3＝，此時(shí)無解；②當(dāng)AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，﹣1+m﹣2＝，0＝3+，此時(shí)無解；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，﹣1+＝m﹣2，＝3，解得m＝3．
【解析】（1）當(dāng)m＝1時(shí)，y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0則﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0則y＝3，
∴C（0，3）；
（2）令﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
解得x＝m﹣2或x＝m+2，
∴D（m﹣2，0），E（m+2，0），
①當(dāng)O為中點(diǎn)時(shí)，m﹣2+m+2＝0，
∴m＝0；
②當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，2（m﹣2）＝m+2，
解得m＝6；
③當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，2（m+2）＝m﹣2，
解得m＝﹣6；
綜上所述：m的值為0或6或﹣6，
故答案為：0或6或﹣6；
（3）聯(lián)立方程組，A（﹣1，0），C（0，3）；D（m﹣2，0），
解得x＝，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴P（，），
①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，﹣1＝m﹣2+，3＝，
此時(shí)m無解；
②當(dāng)AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，﹣1+m﹣2＝，0＝3+，
此時(shí)無解；
③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，﹣1+＝m﹣2，＝3，
解得m＝3；
綜上所述：m的值為3．
13．(2023?康巴什一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+6x﹣5與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為y＝x﹣5．
（1）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)：A （1，0） ，B （5，0） ，C （0，﹣5） ；
（2）點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，△PBE的面積最大，并求出最大值．
（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N（不與點(diǎn)B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q．若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．
【分析】（1）分別令y＝0和x＝0進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題意分別求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+t，0），E點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣t，﹣t），則S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣（t﹣2）2+2，可求當(dāng)t＝2時(shí)，△PBE的面積最大為2；
（3）過點(diǎn)M作ME⊥x軸交于點(diǎn)E，由∠OBC＝45°，求出M（3，﹣2），再由待定系數(shù)法求直線AM的解析式為y＝﹣x+1，設(shè)N（m，﹣m2+6m﹣5），求出直線NQ的解析式為y＝﹣x﹣m2+7m﹣5，聯(lián)立方程組，可求Q（，﹣5），分三種情況討論：①當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1+3＝m+，此時(shí)不構(gòu)成平行四邊形；②當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1+m＝3+，解得m＝；③當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1+＝3+m，解得m＝1（舍）或m＝4．
【解析】（1）令﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，則y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
故答案為：（1，0），（5，0），（0，﹣5）；
（2）由題意可知0≤t≤4，
∵P點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+t，0），
∵OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∵E點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣t，﹣t），
∴S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，△PBE的面積最大為2；
（3）∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，AB＝4，
∴AM＝2，
過點(diǎn)M作ME⊥x軸交于點(diǎn)E，
∵∠BAM＝45°，
∴M（3，﹣2），
設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
∵AM∥NQ，
∴直線NQ的解析式為y＝﹣x+b'，
設(shè)N（m，﹣m2+6m﹣5），
∴b'＝﹣m2+7m﹣5，
∴y＝﹣x﹣m2+7m﹣5，
聯(lián)立方程組，
解得，
∴Q（，﹣5），
①當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
1+3＝m+，
解得m＝1（舍）或m＝8，
此時(shí)MA的中點(diǎn)為（2，﹣1），NQ的中點(diǎn)為（2，﹣8），
∴此時(shí)不構(gòu)成平行四邊形；
②當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
1+m＝3+，
解得m＝；
③當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
1+＝3+m，
解得m＝1（舍）或m＝4；
綜上所述：N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或．
14．(2023?武城縣模擬）如圖，直線l：y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線l下方的拋物線上，過點(diǎn)P作PD∥x軸交l于點(diǎn)D，PE∥y軸交l于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；
（3）設(shè)F為直線l上的點(diǎn)，點(diǎn)P仍在直線l下方的拋物線上，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）先確定出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，即可得出PD+PE的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；
（3）分AB為邊和對(duì)角線兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵直線y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，
∴B（2，0）、C（0，1），
∵B、C在拋物線解y＝x2+bx+c上，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x+1；
（2）設(shè)P（m，m2﹣m+1），
∵PD∥x軸，PE∥y軸，點(diǎn)D，E都在直線y＝﹣x+1上，
∴E（m，﹣m+1），D（﹣2m2+5m，m2﹣m+1），
∴PD+PE＝﹣2m2+5m﹣m+[（﹣m+1）﹣（m2﹣m+1）]
＝﹣3m2+6m
＝﹣3（m﹣1）2+3，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，PD+PE的最大值是3；
（3）能，理由如下：
由y＝x2﹣x+1，令0＝x2﹣x+1，
解得：x＝2或x＝，
∴A（，0），B（2，0），
∴AB＝，
若以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，
①當(dāng)以AB為邊時(shí)，則AB∥PF1且AB＝PF1，
設(shè)P（a，a2﹣a+1），則F1（﹣2a2+5a，a2﹣a+1），
∴|﹣2a2+5a﹣a|＝，
解得：a＝或a＝（與A重合，舍去）或a＝（舍）或a＝（舍去），
∴F1（3，﹣）；
②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，
連接PF2交AB于點(diǎn)G，則AG＝BG，PG＝F2G，
設(shè)G（m，0），
∵A（，0），B（2，0），
∴m﹣＝2﹣m，
∴m＝，
∴G（，0），
作PM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)2N⊥AB于點(diǎn)N，則NG＝MG，PM＝FN，
設(shè)P（b，b2﹣b+1）（0＜b＜2），則F2（2b2﹣5b+4，﹣b2+b﹣1），
∴﹣b＝2b2﹣5b+4﹣，
解得：b＝或b＝（與A重合，舍去），
∴F2（1，），
綜上所述，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形．
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（3，﹣）或F（1，）．
15．(2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)（2，3）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于D，過點(diǎn)P作PE∥x軸，交直線BC于E，求PE+DB的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿x軸向左平移1個(gè)單位得到新拋物線y′，點(diǎn)M為新拋物線y′上一點(diǎn)，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求其中一個(gè)N點(diǎn)坐標(biāo)的解答過程．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）先求得B（4，0），C（0，3），再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延長PD交x軸于點(diǎn)F，則D（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0），E（m2﹣m，﹣m2+m+3），進(jìn)而可得：PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m，再利用勾股定理和三角函數(shù)定義可得PE+DB＝（m﹣）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
（3）由平移得新拋物線y′＝﹣x2+，設(shè)M（t，﹣t2+），N（1，n），分三種情況：①以MN、AC為對(duì)角線時(shí)，②以MA、NC為對(duì)角線時(shí)，③以MC、NA為對(duì)角線時(shí)，分別運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)（2，3），
∴，
解得：，
∴該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，
則，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
設(shè)P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延長PD交x軸于點(diǎn)F，如圖1，
∵PD∥y軸，
∴D（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0），
∵PE∥x軸，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同，
∴﹣m2+m+3＝﹣x+3，
∴x＝m2﹣m，
∴E（m2﹣m，﹣m2+m+3），
∴PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∴cs∠CBO＝＝，
∵＝cs∠CBO＝，
∴DB＝BF＝（4﹣m），
∴PE+DB＝﹣m2+2m+（4﹣m）＝（m﹣）2+，
∵＜0，
∴當(dāng)m＝時(shí)，PE+DB的最大值為，此時(shí)P（，）；
（3）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，
∴拋物線y＝﹣x2+x+3對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為（1，），
將拋物線y＝﹣x2+x+3沿x軸向左平移1個(gè)單位得到新拋物線y′＝﹣x2+，
設(shè)M（t，﹣t2+），N（1，n），又A（﹣2，0），C（0，3），
①以MN、AC為對(duì)角線時(shí)，則MN與AC的中點(diǎn)重合，如圖2，
∴，
解得：，
∴N（1，3）；
②以MA、NC為對(duì)角線時(shí)，則MA與NC的中點(diǎn)重合，如圖3，
∴，
解得：，
∴N（1，﹣3）；
③以MC、NA為對(duì)角線時(shí)，則MC與NA的中點(diǎn)重合，如圖4，
∴，
解得：，
∴N（1，6）；
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3）或（1，﹣3）或（1，6）．
16．(2023?開州區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線BD∥直線AC，交拋物線y于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段AB的長．
（2）過點(diǎn)P作PF∥y軸交AC于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，求2PE+3PF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，將拋物線y＝向右平移3個(gè)單位得到新拋物線y′，點(diǎn)M為新拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸一點(diǎn)，直接寫出所有使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)的求解過程．
【分析】（1）令＝0，即可求解；
（2）求出直線AC、BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2﹣t+），則Q（t，t+），F(xiàn)（t，t﹣），利用∠QPE＝30°，將所求轉(zhuǎn)化為2PE+3PF＝3PQ+3PF再求解即可；
（3）求出平移后的拋物線解析式，設(shè)M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n），分三種情況①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線；②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線；③當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線；利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．
【解析】（1）令＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4；
（2）∵y＝，
∴C（0，），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∵AC∥BD，
∴直線BD的解析式為y＝x﹣，
設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2﹣t+），則Q（t，t+），F(xiàn)（t，t﹣），
∵點(diǎn)P為直線AC上方，
∴PQ＝﹣t2﹣t+﹣t﹣＝﹣t2﹣t，
PF＝﹣t2﹣t+﹣t+＝﹣t2﹣t+，
∵OA＝3，OC＝，
∴∠CAO＝30°，
∵PE⊥AC，PF⊥AO，
∴∠QPE＝30°，
∴PE＝PQ，
∴2PE+3PF
＝3PQ+3PF
＝3（﹣t2﹣t﹣t2﹣t+）
＝3（﹣t2﹣2t+）
＝﹣2t2﹣6t+4
＝﹣2（t+）2+，
∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，2PE+3PF有最大值，
此時(shí)P（﹣，）；
（3）∵y＝＝﹣（x+1）2+，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∵拋物線向右平移3個(gè)單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）2+，
設(shè)M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n），
①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
﹣3+1＝m﹣1，0＝n﹣m2+m，
∴m＝﹣1，n＝，
∴N（﹣1，），M（﹣1，）；
②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
﹣3+m＝1﹣1，﹣m2+m＝n，
∴m＝3，n＝，
∴M（3，），N（﹣1，）；
③當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
﹣3﹣1＝1+m，﹣m2+m＝n，
∴m＝﹣5，n＝﹣15，
∴M（﹣5，﹣15），N（﹣1，﹣15）；
綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣15）．
17．(2023?鳳翔縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，﹣2）兩點(diǎn)，將拋物線C1向右平移2個(gè)單位得到拋物線C2，平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求拋物線C1與C2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線C2上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)且以AB為邊的四邊形是面積為8的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將A點(diǎn)、C點(diǎn)代入y＝x2+bx+c可求拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式，再由平移的性質(zhì)可求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在中，令y＝4，可求M1（﹣2，4）或M2（3，4），在中，令y＝4，可求N1（0，4）或N2（5，4）．
【解析】（1）∵y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過C（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
將A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣2中，
解得b＝﹣1，
∴拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式為，
∵將拋物線C1向右平移2個(gè)單位得到拋物線C2，
∴拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)且以AB為邊的四邊形是面積為8的平行四邊形，理由如下：
∵點(diǎn)A（﹣1，0）向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)B，
∴B（1，0），
∴AB＝2，
由題意知，以AB為邊的平行四邊形的面積為8，則MN∥AB，MN＝AB，AB邊上的高為4，
∵拋物線的頂點(diǎn)為，而，
∴在x軸下方不存在滿足條件的點(diǎn)M、N；
在中，令y＝4，即x2﹣x﹣2＝4，解得x＝﹣2或x＝3，
∴M1（﹣2，4）或M2（3，4），
在中，令y＝4，即x2﹣5x+4＝4，解得x＝0或x＝5，
∴N1（0，4）或N2（5，4）．
綜上所述，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為M（﹣2，4），N（0，4）或M（3，4），N（5，4）．
18．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W：y＝x2﹣2x與x軸正半軸交于點(diǎn)A．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求線段AB的長度；
（2）將拋物線W平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，與直線BC的一個(gè)交點(diǎn)為P，若以A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形，求平移后的拋物線表達(dá)式．
【分析】（1）在y＝x2﹣2x中，可得A（2，0），在y＝x﹣2中，得B（4，0），即得線段AB的長度是2；
（2）設(shè)拋物線W：y＝x2﹣2x平移后表達(dá)式為y＝x2+bx+c，D（0，m），P（n，n﹣2），分兩種情況：①當(dāng)AP、BD為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，AP、BD的中點(diǎn)重合，可得，即可解得D（0，﹣1），P（2，﹣1），用待定系數(shù)法即得此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣1；②當(dāng)AD、BP為對(duì)角線時(shí)，AD、BP的中點(diǎn)重合，同理可得D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3），再用待定系數(shù)法得此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3．
【解析】（1）在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x2﹣2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
∴A（2，0），
在y＝x﹣2中，令y＝0得x﹣2＝0，
解得x＝4，
∴B（4，0），
∴AB＝4﹣2＝2；
答：線段AB的長度是2；
（2）設(shè)拋物線W：y＝x2﹣2x平移后表達(dá)式為y＝x2+bx+c，由題意知拋物線y＝x2+bx+c過D、P，
設(shè)D（0，m），P（n，n﹣2），
又A（2，0），B（4，0），
①當(dāng)AP、BD為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，AP、BD的中點(diǎn)重合，如圖：
∴，
解得，
∴D（0，﹣1），P（2，﹣1），
將D（0，﹣1），P（2，﹣1）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣1；
②當(dāng)AD、BP為對(duì)角線時(shí)，AD、BP的中點(diǎn)重合，如圖：
∴，
解得，
∴D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3），
將D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；
綜上所述，平移后的拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2+2x﹣3．
19．(2023秋?文昌期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)A、C（2，﹣3）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做PE∥y軸交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長度的最大值；
（4）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A，C，G，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用同底等高三角形的面積相等解答；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），進(jìn)而可得出PE＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（4）存在．如圖，設(shè)拋物線與y的交點(diǎn)為K，由題意K（0，﹣3），可知CK∥x軸，分圖中四種情形，利用平行四邊形的性質(zhì)以及平移變換的性質(zhì)求解即可．
【解析】（1）把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）分別代入y＝ax2+bx﹣3，得．
解得．
故該拋物線解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵S△ABD＝S△ABC，C（2，﹣3），
∴AB?|yC|＝AB?|yD|，即|yC|＝|yD|，
∴|yD|＝3，
∴yD＝3或yD＝﹣3．
∴D（0，3）或（0，﹣3）；
（3）由A（﹣1，0）、C（2，﹣3）得到直線AC解析式為y＝﹣x﹣1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)m＝時(shí)，PE取最大值，最大值為；
（4）存在．
理由：如圖，設(shè)拋物線與y的交點(diǎn)為K，由題意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x軸，CK＝2，
當(dāng)AC是平行四邊形ACF1G1的邊時(shí)，可得G1（﹣3，0）．
當(dāng)AC是平行四邊形AF1CG2的對(duì)角線時(shí)，AG2＝CK，可得G2（1，0），
當(dāng)點(diǎn)F在x軸的上方時(shí)，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F(xiàn)4（1+，3），
由平移的性質(zhì)可知G3（4﹣，0），G4（4+，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
20．(2023?眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x+c與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值；
（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；
（2）過P作PE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸交AC于點(diǎn)H，證明△PHE是等腰直角三角形，得，當(dāng)PH最大時(shí)，PE最大，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線AC解析式為y＝x+5，設(shè)P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），則H（m，m+5），求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)分別求解即可．
【解析】（1）∵點(diǎn)A（﹣5，0）在拋物線y＝﹣x2﹣4x+c的圖象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）；
（2）過P作PE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸交AC于點(diǎn)H，如圖1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴當(dāng)PH最大時(shí)，PE最大，
設(shè)直線AC解析式為y＝kx+5，
將A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直線AC解析式為y＝x+5，
設(shè)P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），則H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴當(dāng)時(shí)，PH最大為，
∴此時(shí)PE最大為，即點(diǎn)P到直線AC的距離值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，m），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣4x+5），
分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，
，
解得，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，8）；
②當(dāng)AM為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，
，
解得，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣16）；
③當(dāng)AN為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，
，
解得，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣7，﹣16）；
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．

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