【例1】 (2023?石景山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2，稱△P1PP2為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”．
（1）已知點(diǎn)A（1，2），求點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；
（2）如圖，已知點(diǎn)B（m，m），⊙T的圓心為T（2，2），半徑為2．若點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍；
（3）已知⊙O的半徑為r，OP＝2r，若點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出∠PP1P2的取值范圍．
【例2】2022?朝陽區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，AB＝1，且A，B兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在⊙O外．給出如下定義：平移線段AB，得到線段A′B′（A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若線段A′B′上所有的點(diǎn)都在⊙O的內(nèi)部或⊙O上，則線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．
（1）如圖1，點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（﹣2，0），線段A1B1到⊙O的“平移距離”為 ，點(diǎn)A2，B2的坐標(biāo)分別為（﹣，），（，），線段A2B2到⊙O的“平移距離”為 ；
（2）若點(diǎn)A，B都在直線y＝x+2上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，求d的最小值；
（3）如圖2，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，），線段AB到⊙O的“平移距離”為1，畫圖并說明所有滿足條件的點(diǎn)B形成的圖形（不需證明）．
【例3】 (2023?開福區(qū)校級(jí)一模）我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．
（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是 ；（填序號(hào)）
①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．
（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點(diǎn)，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明，并求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時(shí)，求∠BED的余弦值．
【例4】 (2023?清苑區(qū)二模）【問題提出】
如圖1，⊙O與直線a相離，過圓心O作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙O于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙O關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ?PH的值稱為⊙O關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)望數(shù)”．
（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m，則半徑為1的⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”坐標(biāo)是 ，直線m向下平移 個(gè)單位長度后與⊙O相切．
（2）在（1）的條件下求⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)望數(shù)”．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M（6，0），與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），以F為圓心，OF為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，O是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”．且⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)望數(shù)”是12，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．
一．解答題（共20題）
1． (2023?長沙縣校級(jí)三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”．
（1）如圖2，在△ABC中，BC＝AB，求證：△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；
（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點(diǎn)D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)A．
①求證：直線CA與⊙O相切；
②若⊙O的直徑為2，求線段AB的長；
（3）已知三角形ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．
2． (2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個(gè)點(diǎn)，且x1≠x2．若存在一個(gè)正數(shù)k，使點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，k叫做點(diǎn)P，Q的“限斜系數(shù)”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以點(diǎn)P，Q為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為．
已知點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．
（1）在點(diǎn)A，B，C，D中，找出一對(duì)“限斜點(diǎn)”： ，它們的“限斜系數(shù)”為 ；
（2）若存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E，A是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，點(diǎn)E，B也是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且它們的“限斜系數(shù)”均為1．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）⊙O半徑為3，點(diǎn)M為⊙O上一點(diǎn)，滿足MT＝1的所有點(diǎn)T，都與點(diǎn)C是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．
3． (2023?常州一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P、Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M、N間的“圖距離“，記作d（M，N）．已知點(diǎn)A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）d（點(diǎn)O，△ABC）；
（2）線段L是直線y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的長度最長時(shí)，求線段L兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接寫出t的取值范圍．
4． (2023?秦淮區(qū)二模）【概念認(rèn)識(shí)】
與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．
【初步理解】
（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點(diǎn)B，⊙O3經(jīng)過點(diǎn)D，3個(gè)圓都經(jīng)過點(diǎn)C．在這3個(gè)圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是 ．
【計(jì)算求解】
（2）已知一個(gè)矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．
【深入研究】
（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）
①作它的1個(gè)第Ⅰ類圓；
②作它的1個(gè)第Ⅱ類圓．
5． (2023?豐臺(tái)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點(diǎn)，B為⊙O上任意一點(diǎn)．給出如下定義：記A，B兩點(diǎn)間的距離的最小值為p（規(guī)定：點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點(diǎn)A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．
（1）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．
①d（D，⊙O）＝ ；
②若點(diǎn)M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；
（2）若點(diǎn)N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；
（3）正方形的邊長為m，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．
6． (2023?大興區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線MN．對(duì)于點(diǎn)A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則稱MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與⊙O有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，則稱MN是⊙O的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．
（1）如圖1，A（0，4），當(dāng)MN與y軸重合時(shí)，設(shè)MN與⊙O交于C，D兩點(diǎn)．則MN是⊙O的“ 關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為 ；
（2）如圖2，點(diǎn)A為直線y＝﹣3x+4上一動(dòng)點(diǎn)，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．
①求OA的最小值；
②直接寫出△APO面積的最小值．
7． (2023?寧波模擬）定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個(gè)三角形的切圓，相切的邊稱為這個(gè)圓的切邊．
（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點(diǎn)O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求證：⊙O是△ABC的切圓．
（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．
（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．
8． (2023?朝陽區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．
（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時(shí)，直接寫出直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”；
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；
②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．
9． (2023?鄞州區(qū)校級(jí)一模）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．
（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是 （填序號(hào)）；
①矩形 ②菱形 ③正方形
（2）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求證：四邊形ABCD為“婆氏四邊形”；
（3）在（2）的條件下，BD＝4，且AB＝DC．
①當(dāng)DC＝2時(shí)，求AC的長度；
②當(dāng)DC的長度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠ADP的值．
10． (2023?城關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．
（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點(diǎn)P為線段AB的“完美點(diǎn)”．
①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ，⊙C的半徑是 ；
②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點(diǎn)”？如果有，求出“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由；
（2）若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
11． (2023?常州一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝2．給出如下定義：平移線段AB，使平移后的線段A′B′成為⊙O的弦（點(diǎn)A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長度的最小值成為線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”．
（1）如圖1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由線段AB平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是 ；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn) 的線段長度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”；
（2）若點(diǎn)A（0，7），B（2，5），線段AA′的長度是線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ；
（3）如圖2，若A，B是直線y＝﹣x+6上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”為d，則d的最小值是 ；請(qǐng)你在圖2中畫出d取得最小值時(shí)的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．
12． (2023秋?姜堰區(qū)期中）如圖1，在平面內(nèi)，過⊙T外一點(diǎn)P畫它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若∠MPN≥90°，則稱點(diǎn)P為⊙T的“限角點(diǎn)”．
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)⊙O半徑為1時(shí)，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角點(diǎn)”是 ；（填寫序號(hào)）
（2）如圖2，⊙A的半徑為，圓心為（0，2），直線l：y＝﹣x+b交坐標(biāo)軸于點(diǎn)B、C，若直線l上有且只有一個(gè)⊙O的“限角點(diǎn)”，求b的值．
（3）如圖3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半徑為，圓心D從原點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/s的速度沿直線l：y＝x向上運(yùn)動(dòng)，若△EFG三邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（s）的取值范圍．
13． (2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（a，b），N．對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．
（1）如圖1，若點(diǎn)M在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N（1，1），①點(diǎn)P（﹣2，0）的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為 ；②若點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為（﹣1，3），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；
（2）如圖2，已知⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)N（0，2），若P（m，0）（m＞1）為⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ．①當(dāng)點(diǎn)M（a，b）在第一象限時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a，b，m的式子表示）；②當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出PQ長的最大值與最小值的積為 .（用含m的式子表示）
14． (2023秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙O的半徑為2，對(duì)于點(diǎn)P，直線l和⊙O，給出如下定義：
若點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)在⊙O上或⊙O的內(nèi)部，則稱點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)．
（1）已知直線l為x＝3，
①在點(diǎn)P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)有 ；
②若點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為 ．
（2）已知直線l的解析式為y＝kx+2（k≠0），
①當(dāng)k＝﹣1時(shí)，若點(diǎn)P為直線x＝上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t的取值范圍是 ；
②點(diǎn)B（2，2），C（，1），若線段BC的任意一點(diǎn)都為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則k的取值范圍是 ．
15． (2023?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對(duì)于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間
的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．
已知點(diǎn)E（3，0）．
①直接寫出d（點(diǎn)E）的值；
②過點(diǎn)E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時(shí)，求k的取值范圍；
③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點(diǎn)，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．
16． (2023秋?慈溪市期中）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱為圓中的“爪形A”，弦BA，CA，DA稱為“爪形A”的爪．
（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC．①證明：圓中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求證：AD+CD＝BD．
（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時(shí)“爪形D”的爪之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)果．
17． (2023秋?潤州區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP+CP′＝2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的示意圖．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，
①分別判斷點(diǎn)M（3，1），N（，0），T（﹣1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，直接求其坐標(biāo)；
②將⊙O沿x軸水平向右平移1個(gè)單位為⊙O′，點(diǎn)P在直線y＝﹣x+1上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O′的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍 ；
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y＝﹣x+12與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E與點(diǎn)D分別在點(diǎn)A與點(diǎn)B的右側(cè)2個(gè)單位，線段AE、線段BD都是水平的，若四邊形ABDE四邊上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．
18． (2023?建鄴區(qū)二模）【概念學(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，若⊙O平移d個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在⊙O內(nèi)或⊙O上，則稱d的最小值為⊙O對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，A（3，0），B（4，0），則⊙O對(duì)線段AB的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）⊙O對(duì)點(diǎn)（3，4）的“最近覆蓋距離”為 ．
（2）如圖②，點(diǎn)P是函數(shù)y＝2x+4圖象上一點(diǎn)，且⊙O對(duì)點(diǎn)P的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)y＝kx+4的圖象上存在點(diǎn)C，使⊙O對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，求k的取值范圍．
（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，將⊙O對(duì)線段DE的“最近覆蓋距離”記為d，則d的取值范圍是 ．
19． (2023?東城區(qū)校級(jí)開學(xué)）對(duì)于⊙C和⊙C上的一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合），且1≤≤2，則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“生長點(diǎn)”．
已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（﹣1，0）．
（1）若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”，且點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo) ；
（2）若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”，且滿足∠BAO＝30°，求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍；
（3）直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)M，且與y軸交于點(diǎn)N，若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍是 ．
20． (2023?東城區(qū)校級(jí)開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)P在圖形M上，點(diǎn)Q在圖形N上，稱線段PQ長度的最小值為圖形M，N的“近距離”，記為d（M，N）．特別地，若圖形M，N有公共點(diǎn)，規(guī)定d（M，N）＝0，如圖，點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2）．
（1）如果⊙O的半徑為2，那么d（A，⊙O）＝ ，d（B，⊙O）＝ ；
（2）如果⊙O的半徑為r，且d（⊙O，線段AB）＞0，求r的取值范圍；
（3）如果C（0，m）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，⊙C的半徑為1，使d（⊙C，線段AB）＜1，直接寫出m的取值范圍為 ．
專題33圓與新定義綜合問題

【例1】 (2023?石景山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2，稱△P1PP2為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”．
（1）已知點(diǎn)A（1，2），求點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；
（2）如圖，已知點(diǎn)B（m，m），⊙T的圓心為T（2，2），半徑為2．若點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍；
（3）已知⊙O的半徑為r，OP＝2r，若點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出∠PP1P2的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)x軸，y軸對(duì)稱，求出相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式求出面積即可；
（2）四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，Q求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可判斷；
（3）分兩種情形：當(dāng)PP2與⊙O相切于點(diǎn)E時(shí)，如圖2中，當(dāng)PP1與⊙O相切于點(diǎn)F時(shí)，如圖3中，分別求解即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)（1，﹣2），點(diǎn)A關(guān)于yz軸對(duì)稱的點(diǎn)A2（﹣1，2），
∴＝×2×4＝4；
（2）∵⊙T的圓心為T（2，2），半徑為2，
∴四邊形OADC是⊙T的外接四邊形（如圖1中），
∴D（4，4），
∵點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，且B（m，n），
∴2﹣＜m≤4；
（3）當(dāng)PP2與⊙O相切于點(diǎn)E時(shí)，如圖2中，
∵OE＝r，OP＝2r，
∴∠OPE＝30°，
∴∠OPP1＝∠OP1P＝60°，
∴當(dāng)60°＜∠OP1P＜90°時(shí)，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)PP1與⊙O相切于點(diǎn)F時(shí)，如圖3中，
∵OF＝r，OP＝2r，
∴∠OPF＝∠OP1P＝30°，
∴當(dāng)0°＜∠OP1P＜30°時(shí)，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，
綜上所述，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，∠PP1P2的取值范圍為：0°＜∠OP1P＜30°或60°＜∠OP1P＜90°．
【例2】 (2023?朝陽區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，AB＝1，且A，B兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在⊙O外．給出如下定義：平移線段AB，得到線段A′B′（A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若線段A′B′上所有的點(diǎn)都在⊙O的內(nèi)部或⊙O上，則線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．
（1）如圖1，點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（﹣2，0），線段A1B1到⊙O的“平移距離”為 2 ，點(diǎn)A2，B2的坐標(biāo)分別為（﹣，），（，），線段A2B2到⊙O的“平移距離”為 ；
（2）若點(diǎn)A，B都在直線y＝x+2上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，求d的最小值；
（3）如圖2，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，），線段AB到⊙O的“平移距離”為1，畫圖并說明所有滿足條件的點(diǎn)B形成的圖形（不需證明）．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，以及線段AB到⊙O的“平移距離”的定義判斷即可．
（2）如圖1中，作等邊△OEF，點(diǎn)E在x軸上，OE＝EF＝OF＝1，設(shè)直線y＝x+2交x軸于M，交y軸于N．則M（﹣2，0），N（0，2），過點(diǎn)E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判斷．
（3）如圖3，連接OA，交⊙O于點(diǎn)A′，則OA＝2，AA′＝1，運(yùn)用“平移距離”的定義和平移的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)“平移距離”的定義可得：線段A1B1到⊙O的“平移距離”為2，
如圖1，設(shè)A2B2與y軸交于E，線段A2B2向下平移得到⊙O的弦A′2B′2，線段A′2B′2與y軸交于點(diǎn)F，
則A′2F＝，OA′2＝1，OE＝，
∴OF＝，
∴A2A′2＝EF＝OE﹣OF＝﹣＝，
∴線段A2B2到⊙O的“平移距離”為，
故答案為：2，；
（2）如圖2中，作等邊△OEF，點(diǎn)E在x軸上，OE＝EF＝OF＝1，
設(shè)直線y＝x+2交x軸于M，交y軸于N．則M（﹣2，0），N（0，2），
過點(diǎn)E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝2，
∴tan∠NMO＝，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM?sin60°＝，
觀察圖象可知，線段AB到⊙O的“平移距離”為d1的最小值為．
（3）如圖3，連接OA，交⊙O于點(diǎn)A′，
則OA＝＝2，
∴OA到⊙O任意一點(diǎn)距離的最小值為OA′＝OA﹣1＝1，
∴點(diǎn)A′（，），
設(shè)平移后圓上另一點(diǎn)為B′，由題意得：A′B′＝1，
有三種情況：
①點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）；
②點(diǎn)B′與點(diǎn)（1，0）重合，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）；
③點(diǎn)B′與點(diǎn)（﹣，）重合，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，）；
如圖可知所有滿足條件的點(diǎn)B形成的圖形是以A為圓心圓心角為120°的．

【例3】 (2023?開福區(qū)校級(jí)一模）我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．
（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是 ③④ ；（填序號(hào)）
①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．
（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點(diǎn)，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明，并求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時(shí)，求∠BED的余弦值．
【分析】（1）根據(jù)“勤業(yè)三角形”的定義進(jìn)行計(jì)算，即可一一判定；
（2）如圖，連結(jié)OE，設(shè)∠ABE＝α，可證得∠AED＝∠ABE＝α，△ADE∽△AEB，可得AE2＝AB?AD，結(jié)合AD＝AB，可得AB＝AE，即可判定△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形“，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得的值；
（3）如圖，過點(diǎn)G作GI∥AB交DE于點(diǎn)I，可得△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，可證得，
設(shè)EG＝3a，則BE＝4a，利用，可求得ED＝，EF＝，從而可得答案．
【解答】解：①等邊三角形各邊的比值為1，故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形“；
②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為1：，故等腰直角三角形不是“勤業(yè)三角形”；
③設(shè)含30角的直角三角形的最短邊長為a，則斜邊長為2a，另一條直角邊長為a，a：a＝1：，故含30°角的直角三角形是“勤業(yè)三角形“；
④如圖：△ABC中，AB＝AC，∠a＝120°，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠B＝∠C＝30°，
設(shè)AD＝a，則AB＝AC＝2a，BD＝DC＝a，
∴BC＝2a，
∴AB：BC＝AC：BC＝1：，
∴含120°角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”，
故答案為：③④；
（2）解：△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形”，
證明如下：
如圖：連接OE，設(shè)∠ABE＝α，
∴∠AOE＝2∠ABE＝2α，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝（180°﹣∠AOE）＝ （180°﹣2a）＝90°﹣α，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED+∠OAE＝90°，即∠AED+90°﹣α＝90°，
∴∠AED＝∠ABE＝α，
叉∵∠EAD＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
AE2＝AD?AB，
∵BD＝2AD，
∴AD＝AB，
∴，AE2＝3AD2，
∴，，
∴△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形“，
∴；
（3）解：如圖：過點(diǎn)G作GI∥AB交DE于點(diǎn)I，
∴△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，
∴，，
∴GI＝AD，
∵BD＝2AD，
∴，
∴，
設(shè)EG＝3a，EB＝4a，
由（2）知，，
∴ED＝a，
∴E1＝ED＝a，DI＝ED﹣E1＝，
∴IF＝，
∴EF＝EI+IF＝a+＝，
在Rt△EFG中，
cs∠FEG＝，
即cs∠BED＝．
【例4】 (2023?清苑區(qū)二模）【問題提出】
如圖1，⊙O與直線a相離，過圓心O作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙O于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙O關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ?PH的值稱為⊙O關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)望數(shù)”．
（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m，則半徑為1的⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”坐標(biāo)是 （0，﹣1） ，直線m向下平移 3或5 個(gè)單位長度后與⊙O相切．
（2）在（1）的條件下求⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)望數(shù)”．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M（6，0），與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），以F為圓心，OF為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，O是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”．且⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)望數(shù)”是12，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．
【分析】（1）根據(jù)遠(yuǎn)點(diǎn)，遠(yuǎn)望數(shù)的定義判斷即可．
（2）根據(jù)遠(yuǎn)望數(shù)的定義，求出AE，AB的長即可解決問題．
（3）如圖，設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b．連接OF并延長，交⊙F于H，交直線l于點(diǎn)G，設(shè)直線l交y軸于N（0，n），由勾股定理及解直角三角形求出點(diǎn)N（0，3），再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)“遠(yuǎn)點(diǎn)”定義，可得點(diǎn)A是⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，
∵⊙O的半徑為1，
∴A（0，﹣1）；
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），
∴OA＝4，
∴當(dāng)直線m向下平移3個(gè)單位或5個(gè)單位后⊙O相切，
故答案為：（0，﹣1），3或5．
（2）∵E的坐標(biāo)為（0，4），OB＝OA＝1，
∴AE＝OE+OA＝5，AB＝2，
∴⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)望數(shù)”＝AB?AE＝2×5＝10．
（3）設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b（k≠0），
連接OF并延長，交⊙F于H，交直線l于點(diǎn)G，設(shè)直線l交y軸于N（0，n），
∵點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），
∴OF＝＝，
∵OF為⊙F的半徑，
∴OH＝2，
∵O是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”．且⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)望數(shù)”是12，
∴OG⊥MN于點(diǎn)G，OH?OG＝12，
即2OG＝12，
∴OG＝6，
∵點(diǎn)M（6，0），
∴OM＝6，
∴MG＝＝＝12，
∵tan∠NMO＝＝，
∴＝，
∴n＝3，
∴N（0，3），
把M（6，0），N（0，3）分別代入y＝kx+b（k≠0），
得，
解得：，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+3
一．解答題（共20題）
1． (2023?長沙縣校級(jí)三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”．
（1）如圖2，在△ABC中，BC＝AB，求證：△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；
（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點(diǎn)D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)A．
①求證：直線CA與⊙O相切；
②若⊙O的直徑為2，求線段AB的長；
（3）已知三角形ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．
【分析】（1）利用兩邊成比例，夾角相等證明△ABD∽△CBA即可求解；
（2）①連接OA，證明∠CAD+∠OAD＝90°，可得OA⊥AC，再由OA是⊙O的半徑，即可證明直線AC與⊙O相切；
②由△CAD∽△CBA，求出AC＝4，再由＝＝，設(shè)AD＝x，則AB＝2x，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出x的值，即可求AB＝4；
（3）過點(diǎn)A作AE⊥BC交于E點(diǎn)，分兩種情況討論：①若△BAD∽△BCA，可求AB＝2，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，則S△ABC＝AE?BC＝2；②若△CAD∽△CBA，可求AC＝2，在Rt△ABE中，設(shè)AE＝x，則BE＝x，CE＝4﹣x，在Rt△AEC中，利用勾股定理可求x＝±1，再求S△ABC＝?AE?BC＝2±2．
【解答】（1）證明：∵AD是中線，
∴BD＝BC＝AB，
∴＝＝，
∴△ABD∽△CBA，
∴△ABC是關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；
（2）①證明：連接OA，
∵△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠CAD＝∠CBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠OAB，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠CAD+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半徑，
∴直線AC與⊙O相切；
②解：∵△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD?BC，
∴AC＝4，
∵＝＝，
設(shè)AD＝x，則AB＝2x，
在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，即4x2+2x2＝24，
∴x＝2，
∴AB＝4；
（3）解：過點(diǎn)A作AE⊥BC交于E點(diǎn)，
①若△BAD∽△BCA，
∴AB2＝BD?BC，
∴AB＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴AE＝AB＝，
∴S△ABC＝AE?BC＝2；
②若△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD?BC，
∴AC＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
設(shè)AE＝x，則BE＝x，
∴CE＝4﹣x，
在Rt△AEC中，AC2＝AE2+CE2，
∴x2+（4﹣x）2＝8，
解得x＝±1，
∴S△ABC＝?AE?BC＝2±2；
綜上所述：△ABC的面積為2或2±2．
2． (2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個(gè)點(diǎn)，且x1≠x2．若存在一個(gè)正數(shù)k，使點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，k叫做點(diǎn)P，Q的“限斜系數(shù)”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以點(diǎn)P，Q為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為．
已知點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．
（1）在點(diǎn)A，B，C，D中，找出一對(duì)“限斜點(diǎn)”： A、C或A、D ，它們的“限斜系數(shù)”為 2或 ；
（2）若存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E，A是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，點(diǎn)E，B也是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且它們的“限斜系數(shù)”均為1．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）⊙O半徑為3，點(diǎn)M為⊙O上一點(diǎn)，滿足MT＝1的所有點(diǎn)T，都與點(diǎn)C是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)定義通過計(jì)算求解即可；
（2）設(shè)E（x，y），由題意可得|y|＝|x﹣1|，|y|＝|x﹣2|，求解方程即可求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）由題意可知C點(diǎn)在直線y＝﹣x上，T點(diǎn)在以M為圓心1為半徑的圓上，M點(diǎn)在以O(shè)為圓心3為半徑的圓上，則T點(diǎn)在以O(shè)為圓心2為半徑的圓上或以O(shè)為圓心4為半徑的圓上，當(dāng)T點(diǎn)在直線y＝﹣x上時(shí)，k＝1，再由k（T，C）≥1，可知T點(diǎn)在直線y＝﹣x的上方，T點(diǎn)在直線y＝﹣x的上方，直線y＝x﹣4的上方，半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部．
【解答】解：（1）A（1，0），C（2，﹣2），有|0+2|＝2|1﹣2|，
∴A、C為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為2；
A（1，0），D（2，），有|0﹣|＝|1﹣2|，
∴A、D為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為；
故答案為：A、C或A、D，2或；
（2）設(shè)E（x，y），
∴|y|＝|x﹣1|，|y|＝|x﹣2|，
∴|x﹣1|＝|x﹣2|，
解得x＝，
∴y＝±，
∴E（，）或（，﹣）；
（3）∵C（2，﹣2），
∴C點(diǎn)在直線y＝﹣x上，
∵M(jìn)T＝1，
∴T點(diǎn)在以M為圓心1為半徑的圓上，
∵M(jìn)點(diǎn)在以O(shè)為圓心3為半徑的圓上，
∴T的軌跡是半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)，
當(dāng)T點(diǎn)在直線y＝﹣x上時(shí)，設(shè)T（m，﹣m），
∴|﹣m+2|＝k|m﹣2|，
∴k＝1，
∵k（T，C）≥1，
∴T點(diǎn)在直線y＝﹣x的上方，直線y＝x﹣4的上方，半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，如圖所示，
∴﹣≤xM≤4．
3． (2023?常州一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P、Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M、N間的“圖距離“，記作d（M，N）．已知點(diǎn)A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）d（點(diǎn)O，△ABC）；
（2）線段L是直線y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的長度最長時(shí)，求線段L兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）畫出圖形，結(jié)合定義即可求解；
（2）線段L上點(diǎn)R（﹣1，﹣1）到△ABC的邊AB的距離是1，到邊BC的距離是1；過點(diǎn)S作SH∥x軸交AC于點(diǎn)H，直線y＝x交線段AC于點(diǎn)G，過G點(diǎn)作GW⊥GH交于W，求出直線AC與直線y＝x的交點(diǎn)G（2，2），在等腰直角三角形△SGH中，求出GW＝，則可求S（2﹣，2﹣），即可求解；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)⊙T在△ABC的左側(cè)時(shí)，T（﹣4，0）；②當(dāng)⊙T在△ABC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)T點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，滿足題意；過T點(diǎn)作TM⊥AC交于M，設(shè)直線AC與x軸交點(diǎn)為N，則△PMN是等腰直角三角形，求出T（4﹣2，0），可得0≤t≤4﹣2時(shí)，若d（⊙T，△ABC）＝1；③當(dāng)⊙T在△ABC右側(cè)時(shí)，過T點(diǎn)作TK⊥AC交于K，同②可求T（4+2，0），則t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2時(shí)，d（⊙T，△ABC）＝1．
【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)O到△ABC的最短距離為2，
∴d（點(diǎn)O，△ABC）＝2；
（2）如圖2，∵AB＝8，BC＝8，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵y＝x是第一、三象限的角平分線，
∴直線y＝x垂直線段AC，
線段L上點(diǎn)R（﹣1，﹣1）到△ABC的邊AB的距離是1，到邊BC的距離是1，
設(shè)線段L上點(diǎn)S到線段AC的距離為1，
過點(diǎn)S作SH∥x軸交AC于點(diǎn)H，直線y＝x交線段AC于點(diǎn)G，過G點(diǎn)作GW⊥GH交于W，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
聯(lián)立方程組，
解得
∴G（2，2），
∴△SGH是等腰直角三角形，
∵SG＝1，
∴GW＝，
∴S（2﹣，2﹣），
∴線段SR的長是線段L長的最大值，
此時(shí)線段L的兩個(gè)端點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，2﹣；
（3）①當(dāng)⊙T在△ABC的左側(cè)時(shí)，
∵d（⊙T，△ABC）＝1，⊙T的半徑為1，
∴T（﹣4，0），
∴t＝﹣4；
②當(dāng)⊙T在△ABC內(nèi)部時(shí)，
如圖3，當(dāng)T點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，d（⊙T，△ABC）＝1，
此時(shí)t＝0，
如圖4，過T點(diǎn)作TM⊥AC交于M，設(shè)直線AC與x軸交點(diǎn)為N，
∵AB＝8，BC＝8，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴∠MNP＝45°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵TM＝2，
∴TN＝2，
∴T（4﹣2，0），
∴t＝4﹣，
∴0≤t≤4﹣2時(shí)，若d（⊙T，△ABC）＝1；
③如圖5，當(dāng)⊙T在△ABC右側(cè)時(shí)，過T點(diǎn)作TK⊥AC交于K，
由②可知△KTN是等腰直角三角形，
∵TK＝2，
∴TN＝2，
∴T（4+2，0），
∴t＝4+2；
綜上所述：t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2．
4． (2023?秦淮區(qū)二模）【概念認(rèn)識(shí)】
與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．
【初步理解】
（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點(diǎn)B，⊙O3經(jīng)過點(diǎn)D，3個(gè)圓都經(jīng)過點(diǎn)C．在這3個(gè)圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是 ① ，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是 ② ．
【計(jì)算求解】
（2）已知一個(gè)矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．
【深入研究】
（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）
①作它的1個(gè)第Ⅰ類圓；
②作它的1個(gè)第Ⅱ類圓．
【分析】（1）由定義直接判斷即可；
（2）第Ⅰ類圓分兩種情況求：當(dāng)AD＝6，AB＝4時(shí)和AD＝4，BC＝6時(shí)；第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓都利用勾股定理和垂徑定理求解即可；
（3）第一步：作∠BAD的平分線；第二步：在角平分線上任取點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F；第三步：以點(diǎn)E為圓心，EF為半徑作圓E，交AC于點(diǎn)G，連接FG；第四步過點(diǎn)C作CH∥FG，CH交AD于點(diǎn)H；第五步過點(diǎn)H作AD的垂線，交∠BAD的平分線于點(diǎn)O；第六步：以點(diǎn)O為圓心，OH為半徑的圓，⊙O即為所求第Ⅱ類圓．
【解答】解：（1）由定義可得，①的矩形有一條邊AD與⊙O1相切，點(diǎn)B、C在圓上，
∴①是第Ⅰ類圓；
②的矩形有兩條邊AD、AB與⊙O2相切，點(diǎn)C在圓上，
∴②是第Ⅱ類圓；
故答案為：①，②；
（2）如圖1，設(shè)AD＝6，AB＝4，切點(diǎn)為E，過點(diǎn)O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，
設(shè)BO＝r，則OE＝r，OF＝4﹣r，
由垂徑定理可得，BF＝CF＝3，
在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32，
解得r＝；
如圖2，設(shè)AD＝4，BC＝6，切點(diǎn)為E，過點(diǎn)O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，
設(shè)BO＝r，則OE＝r，OF＝6﹣r，
由垂徑定理可得，BF＝CF＝2，
在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22，
解得r＝；
綜上所述：第Ⅰ類圓的半徑是或；
如圖3，AD＝6，AB＝4，過點(diǎn)O作MN⊥AD交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接OC，
設(shè)AB邊與⊙O的切點(diǎn)為G，連接OG，
∴GO⊥AB，
設(shè)OM＝r，則OC＝r，則ON＝4﹣r，
∵OG＝r，
∴BN＝r，
∴NC＝6﹣r，
在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2，
解得r＝10﹣4，
∴第Ⅱ類圓的半徑是10﹣4；
（3）①如圖4，
第一步，作線段AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，
第二步，連接EC，
第三步，作EC的垂直平分線交EF于點(diǎn)O，
第四步，以O(shè)為圓心，EO為半徑作圓，
∴⊙O即為所求第Ⅰ類圓；
②如圖5，
第一步：作∠BAD的平分線；
第二步：在角平分線上任取點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F；
第三步：以點(diǎn)E為圓心，EF為半徑作圓E，交AC于點(diǎn)G，連接FG；
第四步：過點(diǎn)C作CH∥FG，CH交AD于點(diǎn)H；
第五步：過點(diǎn)H作AD的垂線，交∠BAD的平分線于點(diǎn)O；
第六步：以點(diǎn)O為圓心，OH為半徑的圓，⊙O即為所求第Ⅱ類圓．

5． (2023?豐臺(tái)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點(diǎn)，B為⊙O上任意一點(diǎn)．給出如下定義：記A，B兩點(diǎn)間的距離的最小值為p（規(guī)定：點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點(diǎn)A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．
（1）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．
①d（D，⊙O）＝ 2 ；
②若點(diǎn)M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；
（2）若點(diǎn)N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；
（3）正方形的邊長為m，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．
【分析】（1）①運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，即可求得答案；
②根據(jù)新定義“關(guān)聯(lián)距離”，分別求出d（E，⊙O）＝2，d（F，⊙O）＝3，即可得出答案；
（2）設(shè)ON＝d，可得p＝d﹣1，q＝d+1，運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，可得d（N，⊙O）＝d，再利用S△AOB＝OA?OB＝AB?ON，即可求得答案；
（3）如圖2，找出特殊位置，分別畫出圖形，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵D（0，2）到⊙O的距離的最小值p＝1，最大值q＝3，
∴d（D，⊙O）＝＝2，
故答案為：2；
②當(dāng)M在點(diǎn)E處，d（E，⊙O）＝2，
當(dāng)M在點(diǎn)F處，d（F，⊙O）＝＝3，
∴2≤d（M，⊙O）≤3；
（2）設(shè)ON＝d，
∴p＝d﹣r＝d﹣1，q＝d+r＝d+1，
∴d（N，⊙O）＝＝＝d，
∵點(diǎn)N在直線y＝上，
設(shè)直線交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，如圖1，
則x＝0時(shí)，y＝2，y＝0時(shí)，x＝﹣2，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝2，
∴AB＝＝4，
當(dāng)ON⊥AB時(shí)，d（N，⊙O）最小，
∴S△AOB＝OA?OB＝AB?ON，即×2×2＝×4ON，
∴ON＝，
∵ON無最大值，
∴d（N，⊙O）≥；
（3）如圖2，∵d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，
∴兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為1，大圓的半徑為，
∵KL＝﹣1，
∴m的最小值是＝﹣，
在Rt△OMH中，OM＝，OH＝m﹣1，MH＝m，
∴（m﹣1）2+（m）2＝（）2，
解得：m＝﹣2（舍去）或m＝；
∴m的最小值為﹣，最大值為．
6． (2023?大興區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線MN．對(duì)于點(diǎn)A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則稱MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與⊙O有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，則稱MN是⊙O的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．
（1）如圖1，A（0，4），當(dāng)MN與y軸重合時(shí)，設(shè)MN與⊙O交于C，D兩點(diǎn)．則MN是⊙O的“ 雙 關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為 或 ；
（2）如圖2，點(diǎn)A為直線y＝﹣3x+4上一動(dòng)點(diǎn)，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．
①求OA的最小值；
②直接寫出△APO面積的最小值．
【分析】（1）利用⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”定義解答即可，需要用分類討論的方法解答；
（2）①利用垂線段最短，過點(diǎn)O作OA垂直于直線y＝﹣3x+4于點(diǎn)A，則此時(shí)OA最小，利用三角形的面積公式解答即可；
②利用⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”的定義可得AP與⊙O相切，判斷OA最小時(shí)，△APO的面積最小，利用勾股定理和直角三角形的面積公式解答即可．
【解答】解：（1）當(dāng)MN與y軸重合時(shí)，
∵M(jìn)N與⊙O交于C，D兩點(diǎn)，
∴根據(jù)⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”的定義可知：MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”；
當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時(shí)，AC＝3，AD＝5，
∴＝；
當(dāng)點(diǎn)D在y軸的正半軸時(shí)，AD＝3，AC＝5，
∴，
綜上，的值為：或，
故答案為：雙；或；
（2）①過點(diǎn)O作OA垂直于直線y＝﹣3x+4于點(diǎn)A，如圖，
因?yàn)榇咕€段最短，則此時(shí)OA最小，
設(shè)直線y＝﹣3x+4與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，
令x＝0，則y＝4，
∴M（0，4），
∴OM＝4，
令y＝0，則﹣3x+4＝0，
∴x＝，
∴N（，0），
∴ON＝，
∴MN＝＝．
∵OM?ON＝OA?MN，
∴4×＝×OA，
∴OA＝．
②△APO的面積最小值為．理由：
∵AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”，
∴AP與⊙O相切于點(diǎn)P，則OP⊥OA，即△APO為直角三角形，
由于△APO的一個(gè)直角邊為1，當(dāng)OA最小時(shí)，△APO的面積最小，
∴當(dāng)OA垂直于直線y＝﹣3x+4于點(diǎn)A時(shí)，△APO的面積最小．
連接OP，如圖，
由題意：AP為⊙O的切線，
∴AP⊥OP，
∴AP＝＝，
∴△APO的面積最小值為×1＝．
7． (2023?寧波模擬）定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個(gè)三角形的切圓，相切的邊稱為這個(gè)圓的切邊．
（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點(diǎn)O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求證：⊙O是△ABC的切圓．
（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．
（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．
【分析】（1）連接OB，說明AB是圓的切線即可利用新定義得出結(jié)論；
（2）利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當(dāng)圓心O在BC邊上，⊙O與AB，AC邊相切于點(diǎn)M，N時(shí)，連接OA，OM，ON，利用切線長定理和切線的性質(zhì)定理，和相似三角形的判定定理與性質(zhì)求得線段DM，再利用勾股定理即可求出圓的半徑；②當(dāng)圓心O在AC邊上，⊙O與AB，BC邊相切于點(diǎn)M，N時(shí)，連接OM，ON，BO，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，利用切線的性質(zhì)定理和三角形的面積公式，設(shè)OM＝ON＝r，列出方程即可求解；
（3）連接AF，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角和切線的性質(zhì)定理證明得到△ACF∽△BAF，利用相似三角形的性質(zhì)求的AF，利用勾股定理求得AC；利用角平分線的性質(zhì)求得EF，BE，再利用平行線分線段成比例定理即可求得EH．
【解答】（1）證明：連接OB，如圖，
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°．
∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝30°．
∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．
即OB⊥BA．
∵OB是圓的半徑，
∴AB與⊙O相切．
∵圓心O在AC邊上，
∴⊙O是△ABC的切圓；
（2）解：①當(dāng)圓心O在BC邊上，⊙O與AB，AC邊相切于點(diǎn)M，N時(shí)，
連接OA，OM，ON，如圖，
∵AB，AC是⊙O的切線，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC．
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，OB＝OC＝BC＝3．
∵AO⊥BO，OM⊥AB，
∴△BOM∽△BAO．
∴．
∴．
∴BM＝．
∴OM＝＝；
②當(dāng)圓心O在AC邊上，⊙O與AB，BC邊相切于點(diǎn)M，N時(shí)，
連接OM，ON，BO，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，
設(shè)OM＝ON＝r，
∵AB，BC是⊙O的切線，
∴OM⊥AB，ON⊥BC．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝3，
∴AH＝＝4．
∴×BC?AH＝×6×4＝12．
∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO，
∴×AB?r+×BC?r＝12．
∴＝12．
∴r＝．
綜上，⊙O的半徑為或；
（3）解：連接AF，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AF⊥BC．
∵⊙O是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，
∴AB⊥AC．
∴△ACF∽△BAF．
∴．
∴．
∴AF＝4．
∴AC＝＝12，
AB＝＝6．
∵D是弧BF的中點(diǎn)，
∴∠FAD＝∠BAD．
∴＝．
設(shè)FE＝2k，則BE＝3k，
∵BF＝FE+BE＝10，
∴2k+3k＝10．
∴k＝2．
∴EF＝4，BE＝6．
∵EH⊥AB，AC⊥AB，
∴EH∥AC．
∴．
∴．
∴EH＝4．
8． (2023?朝陽區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．
（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時(shí)，直接寫出直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”；
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；
②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．
【分析】（1）根據(jù)k和b的值直接寫出直線的解析式，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，根據(jù)勾股定理求出“圓截距”即可；
（2）①根據(jù)圓的垂徑定理，確定弦長為時(shí)，弦的位置，注意分類，確定直線的解析式，根據(jù)直線的增減性確定k的取值范圍即可；
②當(dāng)最短弦長為2時(shí)，分弦在x軸上方和x軸下方兩種情況討論求解．
【解答】解：（1）∵k＝1，b＝1，
∴直線l的解析式為y＝x+1，
設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
則A（﹣1，0），B（0，1），
∴AB＝＝，
即直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”為；
（2）
①如圖2，設(shè)直線與y正半軸交點(diǎn)為P，且P（0，1），
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），⊙M的半徑為1，
∴圓與x軸正半軸交點(diǎn)為Q（2，0），
當(dāng)b＝1時(shí)，直線l的解析式為y＝kx+1，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，2k+1＝0，
解得k＝﹣；
過點(diǎn)M作MF⊥PQ，垂足為F，
∵OP＝1，OQ＝2，
∴PQ＝，
∴sin∠PQO＝，
∵M(jìn)Q＝1，sin∠PQO＝，
∴MF＝，QF＝，
設(shè)直線PQ與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，
則QC＝2QF＝，
∵關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，
∴k的取值范圍是﹣＜k＜0；
設(shè)直線PM與圓的交點(diǎn)為N，
∵點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
∴OP＝OM，
∴∠PMO＝45°，
∴∠QMN＝45°，
根據(jù)圓的對(duì)稱性，直線PQ和直線PD關(guān)于直線PN對(duì)稱，此時(shí)ED＝CB，
∴∠DMN＝45°，
∴∠DMQ＝90°，
∴D的坐標(biāo)為（1，﹣1），
∴k+1＝﹣1，
解得k＝﹣2，
∴直線PD的解析式為y＝﹣2x+1，
關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，
k的取值范圍是k＜﹣2；
綜上，k的取值范圍是k＜﹣2或﹣＜k＜0．
②當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，
設(shè)直線與y軸交點(diǎn)為Q（0，m），則過Q點(diǎn)的“圓截距”的最小值2，
如下圖，即RT＝2，MQ⊥RT，
由題知，△RMT為等邊三角形，
∴∠MRQ＝60°，
∴QM＝2×sin60°＝，
由勾股定理得，OQ＝＝，
根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，b的值為．
9． (2023?鄞州區(qū)校級(jí)一模）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．
（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是 ③ （填序號(hào)）；
①矩形 ②菱形 ③正方形
（2）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求證：四邊形ABCD為“婆氏四邊形”；
（3）在（2）的條件下，BD＝4，且AB＝DC．
①當(dāng)DC＝2時(shí)，求AC的長度；
②當(dāng)DC的長度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠ADP的值．
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，“婆氏四邊形”的定義和正方形的判定定理解得即可；
（2）連接AC，交PD于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)E，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到△APC∽△DPB，∠PAC＝∠PDB；再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可得出結(jié)論；
（3）①設(shè)CE＝x，利用相似三角形的性質(zhì)得到CE＝，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程即可求得x的值，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求得AE的長，結(jié)論可求；
②設(shè)DC的長度為a，CE＝x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程，利用Δ≥0即可求得DC的最小值，利用（3）①中的方法求得x值，再利用相似三角形是性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理即可求得結(jié)論．
【解答】（1）解：若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是正方形．理由：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC．
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∴∠ABC＝∠ADC＝90°．
∴平行四邊形ABCD是矩形．
∵四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，
∴AC⊥BD．
∴矩形ABCD是正方形．
故答案為：③；
（2）證明：連接AC，交PD于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)E，如圖，
∵∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，
∴△APD∽△BPC．
∴．
∵∠APD＝∠BPC＝90°，
∴∠APD+∠DPC＝∠BPC+∠DPC．
即：∠APC＝∠DPB．
∴△APC∽△DPB．
∴∠PAC＝∠PDB．
∵∠APD＝90°，
∴∠PAC+∠PGA＝90°．
∵∠PGA＝∠DGE，
∴∠PDB+∠DGE＝90°．
∴∠GED＝90°．
∴AC⊥BD．
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴四邊形ABCD為“婆氏四邊形”；
（3）解：①由（2）知：AC⊥BD與點(diǎn)E，設(shè)CE＝x，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE．
∴．
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x．
∵BD＝4，
∴DE＝4﹣x．
∵CE2+DE2＝CD2，
∴．
解得：x＝．
∵當(dāng)x＝時(shí)，BE＝x＝3＞4，
∴x＝不合題意，舍去．
∴x＝．
∴BE＝x＝3﹣．
∴DE＝BD﹣BE＝+1．
∵△ABE∽△DCE，
∴．
∴AE＝DE＝3+．
∴AC＝AE+CE＝3++＝2+2；
②設(shè)DC的長度為a，CE＝x，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE．
∴．
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x．
∵BD＝4，
∴DE＝4﹣x．
∵CE2+DE2＝CD2，
∴．
∴4x+16﹣a2＝0．
∵Δ＝﹣4×4（16﹣a2）≥0，
∴a2≥4．
∵a＞0，
∴a≥2，
∴a有最小值2．
即DC的長度最小值為2．
∴．
解得：x＝．
∴CE＝．
∴BE＝3．
∴DE＝BD﹣BE＝1．
∴AE＝DE＝．
∴AC＝AE+CE＝2．
由（2）知：△APD∽△BPC，
∴．
在Rt△APD中，
tan∠ADP＝．
10． (2023?城關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．
（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點(diǎn)P為線段AB的“完美點(diǎn)”．
①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 （4，3） ，⊙C的半徑是 3 ；
②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點(diǎn)”？如果有，求出“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由；
（2）若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （0，﹣） ．
【分析】（1）①過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，利用圓周角定理和垂徑定理計(jì)算CD，AD的長度，進(jìn)而得到線段OD的長度即可得到點(diǎn)C坐標(biāo)；利用勾股定理即可求得AC的長度，則⊙C的半徑可求；
②設(shè)⊙C交y軸于點(diǎn)D，E，連接CD，CE，過點(diǎn)C作CG⊥CD于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，利用（1）①的結(jié)論和垂徑定理計(jì)算線段EG的長度，則線段OE，OD的長度可求，結(jié)論可得；
（2）設(shè)⊙C與y軸切于點(diǎn)P，在y軸上任取一點(diǎn)Q（與點(diǎn)P不重合），連接BQ，AQ，BQ與⊙C交于點(diǎn)D，連接AD，利用圓周角定理和三角形的外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角，得到當(dāng)點(diǎn)P為⊙C與y軸的切點(diǎn)時(shí)，當(dāng)∠APB的度數(shù)最大，利用切割線定理求出線段OP的長即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0），
∴OA＝1，OB＝7．
∴AB＝6．
過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖，
則AD＝BD＝AB＝3．
∴OD＝AO+AD＝4．
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．
∵CD⊥AB，CA＝CB，
∴CD＝AB＝3．
∴C（4，3）．
∴AC＝，
∴⊙C的半徑是3．
故答案為：（4，3）；3；
②y軸正半軸上有線段AB的“完美點(diǎn)”，理由：
設(shè)⊙C交y軸于點(diǎn)D，E，連接CD，CE，過點(diǎn)C作CG⊥CD于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖，
則∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．
∴D，E為y軸正半軸上線段AB的“完美點(diǎn)”．
則 EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．
∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，
∴四邊形OFCG為矩形．
∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．
在Rt△CGE中，
∵EG2＝CE2﹣CG2，
∴EG＝＝．
∴GE＝DG＝．
∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．
∴E（0，3﹣），D（0，3+）．
∴y軸正半軸上有線段AB的“完美點(diǎn)”，“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0，3+）或（0，3﹣）；
（2）設(shè)⊙C與y軸負(fù)半軸切于點(diǎn)P，在y軸負(fù)半軸上任取一點(diǎn)Q（與點(diǎn)P不重合），
連接BQ，AQ，BQ與⊙C交于點(diǎn)D，連接AD，如圖，
則∠APB＝∠ADB，
∵∠ADB＞∠AQB，
∴∠AOB＞∠AQB．
∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到⊙C與y軸切時(shí)，∠APB的度數(shù)最大．
∵AP是⊙C的切線，
∴OP2＝OA?OB．
∴OP＝．
∴P（0，﹣）．
故答案為（0，﹣）．
11． (2023?常州一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝2．給出如下定義：平移線段AB，使平移后的線段A′B′成為⊙O的弦（點(diǎn)A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長度的最小值成為線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”．
（1）如圖1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由線段AB平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是 平行 ；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn) P2 的線段長度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”；
（2）若點(diǎn)A（0，7），B（2，5），線段AA′的長度是線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 （1，3） ；
（3）如圖2，若A，B是直線y＝﹣x+6上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”為d，則d的最小值是 ；請(qǐng)你在圖2中畫出d取得最小值時(shí)的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可以得到AB∥P1P2∥P3P4，由圖可以得到AP2的長度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”；
（2）根據(jù)定義和（1）提示，可以知道，平移AB，使對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，即在圓上滿足AB∥A′B′，AB＝A′B′，這樣的A′B′只有兩條，別切位于圓心兩側(cè)，根據(jù)題意畫出草圖，可以得到如圖1的位置，線段AA′是線段AB到⊙O的優(yōu)距離，利用A和B坐標(biāo)，求出直線AB解析式，從而得到直線A′B′的比例系數(shù)k＝﹣1，同時(shí)可以得到△AOM為等腰直角三角形，因?yàn)锳′B′＝2，過O作OH⊥A′B′，利用垂徑定理和勾股定理，求出OH＝2，利用∠AMO＝45，得到△OTM為等腰直角三角形，過H作HE⊥x軸于E點(diǎn)，從而可以求得H（2，2），得到直線A′B′解析式為y＝﹣x+4，設(shè)A′（a，﹣a+4），過A′作A′F⊥x軸于F，在Rt△A′OF中，利用勾股定理，列出方程即可求解；
（3）由（2）可知，AB經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，AB∥A′B′，AB＝A′B′，符合條件的A′B′只有兩條，并且位于O點(diǎn)兩側(cè)，如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AA′⊥AB時(shí)，d最小，過O作OH⊥A′B′，分別交A′B′于H，交AB于T，用（2）中方法求解OH和OT，得到HT的長度，即可解決．
【解答】解：（1）∵AB平移得到P1P2，
∴AB∥P1P2，
同理，AB∥P3P4，
∴P1P2∥P3P4，
由圖可得，連接點(diǎn)A與點(diǎn)P2的線段長度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”，
故答案為：平行，P2，；
（2）如圖1，過B作BG⊥y軸于G，則G（0，5），
∴AG＝BG＝2，∠GAB＝∠GBA＝45°，
∴AB＝，
設(shè)直線AB為y＝kx+7，代入點(diǎn)B，得k＝﹣1，
∴直線AB為y＝﹣x+7，
設(shè)直線AB交x軸于M，
∵BG⊥y軸，
∴BG∥x軸，
∴∠AMO＝∠GBA＝45°，
由（1）可得，平移AB，使對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在⊙上，此時(shí)AB∥A′B′，且AB＝A′B′，
這樣的對(duì)應(yīng)線段有兩條，分別位于圓心O點(diǎn)兩側(cè)，
所以當(dāng)A′在如圖位置時(shí)，線段AA′的長度是AB到⊙O的“優(yōu)距離”，
過O作OH⊥A′B′，分別交A′B′于H，交AM于T
∵A′B′∥AM，
∴∠OHB′＝∠OTM＝90°，
∴∠TOM＝90°﹣∠AMO＝45°，
連接A′O，
∵OH⊥A′B′，
∴A′H＝B′H＝，
在Rt△A′OH中，，
過H作HE⊥x軸于E，
∵sin∠TOM＝sin45°＝，
∴HE＝OE＝2，
∴H（2，2），
∵AB∥A′B′，
∴設(shè)直線A′B′為y＝﹣x+m，代入點(diǎn)H，得m＝4，
∴直線A′B′為y＝﹣x+4，
設(shè)A′（a，﹣a+4），過A′作A′F⊥x軸于F，
在Rt△A′OF中，A′O2＝OF2+A′F2，
∴a2+（﹣a+4）2＝10，
∴a＝1或3，
∵，
∴a＝1，
∴A′（1，3），
故答案為：（1，3）；
（3）由（2）可知，AB經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，AB∥A′B′，AB＝A′B′，
符合條件的A′B′只有兩條，并且位于O點(diǎn)兩側(cè)，
如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AA′⊥AB時(shí)，d最小，
∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，
∴四邊形AA′B′B為平行四邊形，
∵AA′⊥AB，
∴?AA′B′B為矩形，
∴A′B′＝AB＝，
令x＝0，則y＝﹣x+6＝6，
∴N（0，6），
同理，M（6，0），
∴OM＝ON＝6，
∴△MON為等腰直角三角形，
過O作OH⊥A′B′，分別交A′B′于H，交AB于T，連接OA′，
∴A′H＝B′H＝，
在Rt△A′OH中，OH＝，
∵AB∥A′B′，
∴∠OTM＝∠OHB′＝90°，
∴OT⊥MN，
又△MON是等腰直角三角形，
∴OT＝，
∴，
∵A′A⊥AB，OT⊥AB，
∴AA′∥OT，
又AB∥A′B′，
∴四邊形A′ATH為平行四邊形，
∴d＝AA′＝HT＝，
即d的最小值為．
12． (2023秋?姜堰區(qū)期中）如圖1，在平面內(nèi)，過⊙T外一點(diǎn)P畫它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若∠MPN≥90°，則稱點(diǎn)P為⊙T的“限角點(diǎn)”．
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)⊙O半徑為1時(shí)，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角點(diǎn)”是 ②④ ；（填寫序號(hào)）
（2）如圖2，⊙A的半徑為，圓心為（0，2），直線l：y＝﹣x+b交坐標(biāo)軸于點(diǎn)B、C，若直線l上有且只有一個(gè)⊙O的“限角點(diǎn)”，求b的值．
（3）如圖3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半徑為，圓心D從原點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/s的速度沿直線l：y＝x向上運(yùn)動(dòng)，若△EFG三邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（s）的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)定義可知當(dāng)P為圓O的“限角點(diǎn)”時(shí)，1＜OP≤，再由兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行判斷即可；
（2）由題意可知，當(dāng)P為圓A的“限角點(diǎn)”時(shí)，＜AP≤2，設(shè)直線l上有且只有一個(gè)⊙O的“限角點(diǎn)”P（m，﹣m+b），當(dāng)PA＝2，此時(shí)AP⊥BC，利用tan∠OCB＝＝＝，先求出CP＝，再求AC＝，最后根據(jù)b﹣2＝，求出b＝；
（3）由題意可知移動(dòng)后D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t），設(shè)△EFG邊上的點(diǎn)P是圓D的“限角點(diǎn)”，則＜PD≤2，在圓D移動(dòng)的過程中，DF＝時(shí)，△EFG邊上開始出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”，當(dāng)圓D移動(dòng)到E點(diǎn)在圓上時(shí)，△EFG邊上最后一個(gè)⊙D的“限角點(diǎn)”消失，當(dāng)圓D再次移動(dòng)到點(diǎn)E在圓上時(shí)，DE＝，△EFG三邊上又開始要出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”；求出直線y＝x與直線EG的交點(diǎn)設(shè)為H（，），當(dāng)DH＝2時(shí)，△EFG邊上存在最后一個(gè)⊙D的“限角點(diǎn)”．
【解答】解：（1）∵⊙O半徑為1，
∴當(dāng)P為圓O的“限角點(diǎn)”時(shí)，1＜OP≤，
∵OP1＝1，OP2＝，OP3＝，OP4＝，
∴⊙O的“限角點(diǎn)”是 P2，P3，
故答案為：②④；
（2）∵⊙A的半徑為，
∴當(dāng)P為圓A的“限角點(diǎn)”時(shí)，＜AP≤2，
設(shè)直線l上有且只有一個(gè)⊙O的“限角點(diǎn)”P（m，﹣m+b），
∴PA＝2，此時(shí)AP⊥BC，
令x＝0，則y＝b，
∴C（0，b），
令y＝0，則x＝b，
∴B（b，0），
∴tan∠OCB＝＝＝，
∴CP＝，
∴AC＝，
∴b﹣2＝，
∴b＝；
（3）∵圓心D從原點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/s的速度沿直線l移動(dòng)，
∴圓沿x軸正方向移動(dòng)t個(gè)單位，沿y軸正方向移動(dòng)t個(gè)單位，
∴移動(dòng)后D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t），
設(shè)△EFG邊上的點(diǎn)P是圓D的“限角點(diǎn)”，
則＜PD≤2，
在圓D移動(dòng)的過程中，當(dāng)DF＝2時(shí)，（t﹣1）2+（t﹣2）2＝4，
解得t＝或t＝，
當(dāng)t＝時(shí)，△EFG邊上開始出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”，
當(dāng)圓D移動(dòng)到E點(diǎn)在圓上時(shí)，DE＝，（t﹣2）2+（t﹣3）2＝2，
解得t＝或t＝，
∴≤t＜時(shí)，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，
當(dāng)圓D再次移動(dòng)到點(diǎn)E在圓上時(shí)，DE＝，（t﹣2）2+（t﹣3）2＝2，
解得t＝或t＝，
當(dāng)t＝時(shí)，△EFG三邊上開始又要出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”；
設(shè)直線EG的解析式為y＝kx+b，直線y＝x與直線EG的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)H，
∴，
解得，
解得y＝﹣x+5，
聯(lián)立方程組，
解得，
∴H（，），
當(dāng)DH＝2時(shí)，2（t﹣）2＝4，
解得t＝+或t＝﹣+，
∴當(dāng)t＝+，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，
∴＜t≤+時(shí)，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”；
綜上所述：≤t＜或＜t≤+時(shí)，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”．
13． (2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（a，b），N．對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．
（1）如圖1，若點(diǎn)M在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N（1，1），①點(diǎn)P（﹣2，0）的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為 （2，0） ；②若點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為（﹣1，3），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （﹣1，﹣3） ；
（2）如圖2，已知⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)N（0，2），若P（m，0）（m＞1）為⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ．①當(dāng)點(diǎn)M（a，b）在第一象限時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a，b，m的式子表示）；②當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出PQ長的最大值與最小值的積為 4m2﹣16m+8 .（用含m的式子表示）
【分析】（1）①根據(jù)定義直接運(yùn)算即可；
②先求出Q點(diǎn)關(guān)于N（1，1）的對(duì)稱點(diǎn)為P'（3，﹣1），將P'繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P，過P'作P'F⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，可證明△POE≌△OP'F（AAS），再由全等的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）①過點(diǎn)M作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P'作P'E⊥EF交于點(diǎn)E，由（1）可得△MPF≌△P'ME（AAS），根據(jù)三角形全等的性質(zhì)求出P'（a+b，b+m﹣a），再由對(duì)稱性求出Q（﹣a﹣b，4﹣b﹣m+a）；
②P點(diǎn)繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)G，則G（0，m），由①可求出GP'＝，則P'在以G為圓心，為半徑的圓上，設(shè)G點(diǎn)關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為H，則H（0，4﹣m），求得QH＝，則Q點(diǎn)在以H為圓心為半徑的圓上，再根據(jù)兩個(gè)相交圓的性質(zhì)，分別求出PQ的最大值為2m+2﹣4，PQ的最小值為2m﹣2﹣4，最后求出乘積即可．
【解答】解：（1）①∵P（﹣2，0），
∴P點(diǎn)繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P'（0，﹣2），
∵點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q，
∴Q（2，0）；
故答案為：（2，0）；
②∵Q的坐標(biāo)為（﹣1，3），
∴Q點(diǎn)關(guān)于N（1，1）的對(duì)稱點(diǎn)為P'（3，﹣1），
將P'繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P，
過P'作P'F⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵∠P'OP＝90°，
∴∠POE+∠FOP'＝90°，
∵∠EPO+∠EOP＝90°，
∴∠FOP'＝∠EPO，
∵OP＝OP'，
∴△POE≌△OP'F（AAS），
∴EO＝P'F＝1，PE＝OF＝3，
∴P（﹣1．﹣3），
故答案為：（﹣1，﹣3）；
（2）①過點(diǎn)M作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P'作P'E⊥EF交于點(diǎn)E，
由（1）可得△MPF≌△P'ME（AAS），
∴MF＝EP'，F(xiàn)P＝ME，
∵M(jìn)（a，b），P（m，0），
∴EF＝b+m﹣a，EP'＝b，
∴P'（a+b，b+m﹣a），
∵點(diǎn)N（0，2），
∴Q（﹣a﹣b，4﹣b﹣m+a）；
②P點(diǎn)繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)G，
∴G（0，m），
∵P'（a+b，b+m﹣a），
∴GP'＝，
∵M(jìn)（a，b）在圓O上，
∴a2+b2＝1，
∴GP'＝，
∴P'在以G為圓心，為半徑的圓上，
設(shè)G點(diǎn)關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為H，則H（0，4﹣m），
∴QH＝＝，
∴Q點(diǎn)在以H為圓心為半徑的圓上，
∴PQ的最大值為m+﹣（4﹣m﹣）＝2m+2﹣4，
PQ的最小值為m﹣﹣（4﹣m+）＝2m﹣2﹣4，
∴PQ長的最大值與最小值的積為（2m+2﹣4）（2m﹣2﹣4）＝4m2﹣16m+8，
故答案為：4m2﹣16m+8．
14． (2023秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙O的半徑為2，對(duì)于點(diǎn)P，直線l和⊙O，給出如下定義：
若點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)在⊙O上或⊙O的內(nèi)部，則稱點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)．
（1）已知直線l為x＝3，
①在點(diǎn)P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)有 P1、P3 ；
②若點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為 8 ．
（2）已知直線l的解析式為y＝kx+2（k≠0），
①當(dāng)k＝﹣1時(shí)，若點(diǎn)P為直線x＝上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t的取值范圍是 2﹣≤t≤2+ ；
②點(diǎn)B（2，2），C（，1），若線段BC的任意一點(diǎn)都為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則k的取值范圍是 ﹣4﹣2≤k≤ ．
【分析】（1）①運(yùn)用新定義：點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，即可推斷出答案；
②先求得⊙O與x軸離直線x＝3較遠(yuǎn)的交點(diǎn)P′（﹣2，0），根據(jù)定義可得x＝8；
（2）①當(dāng)k＝﹣1時(shí)，直線l的解析式為y＝﹣x+2，可得出直線x＝上的點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線y＝﹣上，設(shè)P（，t），則t﹣（﹣）＝﹣x，故點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′（2﹣t，﹣），由當(dāng)OP′＝2時(shí)，可得（2﹣t）2+（）2＝4，即可得出答案；
②分別求出k的最大值和最小值即可．
【解答】解：（1）①如圖1，點(diǎn)P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′1（2，0），P′2（2，1），P′3（1，1），
∵OP′1＝2，OP′2＝＝＞2，OP′3＝＝，
∴點(diǎn)P′1在⊙O上，點(diǎn)P′2在⊙O外部，點(diǎn)P′3在⊙O內(nèi)部，
∴點(diǎn)P1、P3是⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，
故答案為：P1、P3；
②如圖2，點(diǎn)P′（﹣2，0），點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)P′關(guān)于直線x＝3對(duì)稱時(shí)，
∴＝3，
解得：x＝8，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為8，
故答案為：8．
（2）①當(dāng)k＝﹣1時(shí)，直線l的解析式為y＝﹣x+2，
∵點(diǎn)P為直線x＝上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣+2＝，
∴直線x＝直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
過點(diǎn)（，）作直線y＝﹣，
則直線y＝﹣x+2平分直線x＝與直線y＝﹣的夾角，即直線x＝上的點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線y＝﹣上，
∴設(shè)P（，t），點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x，﹣），
則t﹣（﹣）＝﹣x，
解得：x＝2﹣t，
∴點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′（2﹣t，﹣），
∵點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，
∴OP′≤2，
當(dāng)OP′＝2時(shí)，（2﹣t）2+（）2＝4，
解得：t＝2±，
∴2﹣≤t≤2+，
故答案為：2﹣≤t≤2+；
②∵C（，1），
∴OC＝＝2，
∴點(diǎn)C在⊙O上，
把C（，1）代入y＝kx+2，得k+2＝1，
解得：k＝，此時(shí)k取得最大值，
如圖4，∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝kx+2對(duì)稱，
∴直線y＝kx+2是線段BB′的垂直平分線，
設(shè)B′（m，n），M（0，2），
則B′M＝BM＝2，OB′＝2，
∴m2+（n﹣2）2＝22，m2+n2＝22，
∴n＝1，
∴m2+1＝4，
解得：m＝（舍去）或m＝﹣，
∴B′（﹣，1）與B（2，2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
把（，）代入y＝kx+2，得＝k+2，
解得：k＝﹣2﹣，此時(shí)k取得最小值，
∴k的取值范圍是﹣2﹣≤k≤，
故答案為：﹣2﹣≤k≤．
15． (2023?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對(duì)于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間
的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．
已知點(diǎn)E（3，0）．
①直接寫出d（點(diǎn)E）的值；
②過點(diǎn)E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時(shí)，求k的取值范圍；
③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點(diǎn)，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．
【分析】①由定義可知d（點(diǎn)E）＝BE＝4；
②由題意可知d（線段EF）的最小值＝d（點(diǎn)E）＝4，當(dāng)d（點(diǎn)F）＝4時(shí)，F(xiàn)（0，3）或（0，﹣3），分別求出相應(yīng)的k的值，則可求﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（點(diǎn)E）＝d（點(diǎn)F）＝4＜，D點(diǎn)T在第二象限或第四象限，設(shè)T（x，﹣x+3），當(dāng)T點(diǎn)在第二象限時(shí)，TC＝時(shí)，x＝2﹣；當(dāng)T點(diǎn)在第四象限時(shí)，TA＝時(shí)，x＝1+；即可求x＞1+或x＜2﹣時(shí)滿足題意．
【解答】解：①∵E（3，0），B（﹣1，0），
∴d（點(diǎn)E）＝BE＝4；
②∵d（線段EF）取最小值，
∴d（線段EF）的最小值＝d（點(diǎn)E）＝4，
∴d（點(diǎn)F）≤4，
當(dāng)d（點(diǎn)F）＝4時(shí)，F(xiàn)（0，3）或（0，﹣3），
當(dāng)F（0，3）時(shí)，k＝﹣1，
當(dāng)F（0，﹣3）時(shí)，k＝1，
∴﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（點(diǎn)E）＝d（點(diǎn)F）＝4＜，
∴D點(diǎn)T在第二象限或第四象限，
設(shè)T（x，﹣x+3），
當(dāng)T點(diǎn)在第二象限時(shí)，TC＝時(shí)，x2+（﹣x+3+1）2＝，
解得x＝2﹣或x＝2+（舍）；
當(dāng)T點(diǎn)在第四象限時(shí)，TA＝時(shí)，x2+（﹣x+3﹣1）2＝，
解得x＝1+或x＝1﹣（舍）；
∵d（⊙T）＞+，
∴x＞1+或x＜2﹣．
16． (2023秋?慈溪市期中）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱為圓中的“爪形A”，弦BA，CA，DA稱為“爪形A”的爪．
（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC．①證明：圓中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求證：AD+CD＝BD．
（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時(shí)“爪形D”的爪之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)果．
【分析】（1）①由圓周角的性質(zhì)直接證明即可；
②延長DC至點(diǎn)E，使得CE＝AD，連接BE，證明△BAD≌△BCE（SAS），再證明△BDE是等邊三角形，即可求解；
（2）延長DC至點(diǎn)E，使得CE＝AD，連接BE，先證明△BAD≌△BCE（SAS），再證明△BCE為等腰直角三角形，∠DBE＝90°，由此即可求解．
【解答】（1）證明：①∵AB＝BC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴圓中存在“爪形D”；
②延長DC至點(diǎn)E，使得CE＝AD，連接BE，
∵∠A+∠DCB＝180°，∠ECB+∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠ECB，
∵CE＝AD，AB＝BC，
∴△BAD≌△BCE（SAS），
∴∠E＝∠ADB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝∠ADB＝∠ADB＝60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE＝BD，即AD+CD＝BD；
（2）解：延長DC至點(diǎn)E，使得CE＝AD，連接BE，
∵∠A+∠DCB＝180°，∠ECB+∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠ECB，
∵CE＝AD，AB＝BC，
∴△BAD≌△BCE（SAS），
∴∠E＝∠ADB，BD＝BE，
∵AD⊥CD，
∴∠E＝∠ADB＝45°，
∴△BCE為等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD，
∴AD+CD＝BD．
17． (2023秋?潤州區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP+CP′＝2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的示意圖．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，
①分別判斷點(diǎn)M（3，1），N（，0），T（﹣1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，直接求其坐標(biāo)；
②將⊙O沿x軸水平向右平移1個(gè)單位為⊙O′，點(diǎn)P在直線y＝﹣x+1上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O′的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍 1﹣≤x≤1+且x≠2﹣ ；
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y＝﹣x+12與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E與點(diǎn)D分別在點(diǎn)A與點(diǎn)B的右側(cè)2個(gè)單位，線段AE、線段BD都是水平的，若四邊形ABDE四邊上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)反稱點(diǎn)的定義直接求解即可；
②P點(diǎn)在以O(shè)'（1，0）為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部，并且P點(diǎn)在直線y＝﹣x+1上，當(dāng)O'P＝2時(shí)，過P點(diǎn)作PG⊥x軸交于點(diǎn)G，可得O'P＝2，PG＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，0），當(dāng)P'點(diǎn)在D點(diǎn)處時(shí)，O'P'＝，此時(shí)O'P＝2﹣，P'（2﹣，0），又由（1﹣，0）關(guān)于O'對(duì)稱的點(diǎn)為（1+，0），可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍1﹣≤x≤1+且x≠2﹣；
（2）P點(diǎn)在以C為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部，并且P點(diǎn)在四邊形BAED的邊上，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC＝2，此時(shí)P'與C點(diǎn)重合，C（12﹣2，0）；當(dāng)P點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，PE＝2，此時(shí)P'與C點(diǎn)重合，C（16，0），即可求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為．
【解答】解：（1）①∵M(jìn)（3，1），
∴OM＝＞2，
∴M點(diǎn)不存在反稱點(diǎn)；
∵N（，0），
∴ON＝，
當(dāng)N'（，0）時(shí)，ON+ON'＝2，
∴N點(diǎn)存在反稱點(diǎn)N'（，0）；
∵T（﹣1，），
∴OT＝2，
∴T'（0，0）是T點(diǎn)的反稱點(diǎn)，
∴T點(diǎn)存在反稱點(diǎn)T'（0，0）；
②P點(diǎn)在以O(shè)'（1，0）為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部，并且P點(diǎn)在直線y＝﹣x+1上，
當(dāng)O'P＝2時(shí)，過P點(diǎn)作PG⊥x軸交于點(diǎn)G，
∴O'P＝2，
直線y＝﹣x+1與x軸的交點(diǎn)為O'（1，0），與y軸的交點(diǎn)D（0，1），
∴OD＝OO'＝1，
∴∠PO'D＝45°，
∴PG＝，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，0），
當(dāng)P'點(diǎn)在D點(diǎn)處時(shí)，O'P'＝，
此時(shí)O'P＝2﹣，
∴P'（2﹣，0），
（1﹣，0）關(guān)于O'對(duì)稱的點(diǎn)為（1+，0），
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍1﹣≤x≤1+且x≠2﹣，
故答案為：1﹣≤x≤1+且x≠2﹣；
（2）P點(diǎn)在以C為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部，并且P點(diǎn)在四邊形BAED的邊上，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC＝2，此時(shí)P'與C點(diǎn)重合，
令x＝0，則y＝12，
∴B（0，12），
令y＝0，則x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝BO＝12，
∴∠BAO＝45°，
∴AC＝2，
∴OC＝12﹣2，
∴C（12﹣2，0）；
∵AE＝2，
∴E（14，0），
∴當(dāng)P點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，PE＝2，此時(shí)P'與C點(diǎn)重合，
∴C（16，0）；
∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為．
18． (2023?建鄴區(qū)二模）【概念學(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，若⊙O平移d個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在⊙O內(nèi)或⊙O上，則稱d的最小值為⊙O對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，A（3，0），B（4，0），則⊙O對(duì)線段AB的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）⊙O對(duì)點(diǎn)（3，4）的“最近覆蓋距離”為 4 ．
（2）如圖②，點(diǎn)P是函數(shù)y＝2x+4圖象上一點(diǎn)，且⊙O對(duì)點(diǎn)P的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （0，4）或（﹣，﹣） ．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)y＝kx+4的圖象上存在點(diǎn)C，使⊙O對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，求k的取值范圍．
（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，將⊙O對(duì)線段DE的“最近覆蓋距離”記為d，則d的取值范圍是 3≤d＜3 ．
【分析】（1）由題意即可求解；
（2）由題意可知，P到圓的最小距離為3，即P到圓心的距離為4，設(shè)P（x，2x+4），則OP2＝x2+（2x+4）2＝16，即可求解；
（3）考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)OC＝2時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)C，使⊙O對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出；同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，即可求解；
（4）由題意可知，DE是一條傾斜角度為45°，長度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦AB，F(xiàn)G，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得，⊙O對(duì)點(diǎn)（3，4）的“最近覆蓋距離”為4，
故答案為：4；
（2）由題意可知，P到圓的最小距離為3，
即P到圓心的距離為4，
設(shè)P（x，2x+4），
則OP2＝x2+（2x+4）2＝16，
解得，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（﹣，﹣），
故答案為：（0，4）或（﹣，﹣）；
（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，
當(dāng)OC＝2時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)C，使⊙O對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，
∵∠OCD＝∠EOD，∠ODC＝∠EDO，
∴△OCD∽△EOD，
∴，
則，
設(shè)OE＝x，則DE＝2x，
由勾股定理可得：x2+16＝（2x）2，
解得（舍），
∴，
此時(shí)．
同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，
經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近y軸，則存在點(diǎn)C，
∴或；
（4）由題意可知，DE是一條傾斜角度為45°，長度為的線段，
可在圓上找到兩條與之平行且等長的弦AB，F(xiàn)G，
如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，則成立，
當(dāng)﹣1≤m＜2時(shí)，E到弧BG的最小距離為EO﹣1，
此時(shí)3≤d＜4，
當(dāng)﹣4＜m＜﹣1時(shí)，E到弧BG的最小距離為EB，
此時(shí)，
綜上，，
故答案為：．
19． (2023?東城區(qū)校級(jí)開學(xué)）對(duì)于⊙C和⊙C上的一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合），且1≤≤2，則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“生長點(diǎn)”．
已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（﹣1，0）．
（1）若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”，且點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo) （2，0）（答案不唯一） ；
（2）若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”，且滿足∠BAO＝30°，求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍；
（3）直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)M，且與y軸交于點(diǎn)N，若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍是 ﹣4﹣≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣ ．
【分析】（1）根據(jù)“生長點(diǎn)”的定義即可解決問題；（答案不唯一）
（2）如圖，在x軸上方作射線AM，與⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射線AM上取點(diǎn)N，使AM＝MN，并由對(duì)稱性，將MN關(guān)于x軸對(duì)稱，得M'N'，則由題意，線段MN和M'N'上的點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)B．
（3）Q是⊙O上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，延長AQ到P，使得PA＝2AQ，易知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K（1，0）為圓心2為半徑的圓，求出直線MN與⊙K相切時(shí)b的值，再求出直線MN經(jīng)過G（0，﹣1）時(shí)b的值，即可判斷，再根據(jù)對(duì)稱性可得b＞0時(shí)的取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)“生長點(diǎn)”定義，點(diǎn)P的坐標(biāo)可以是（2，0），
故答案為：（2，0）（答案不唯一）；
（2）如圖，在x軸上方作射線AM，與⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射線AM上取點(diǎn)N，使AM＝MN，并由對(duì)稱性，將MN關(guān)于x軸對(duì)稱，得M'N'，則由題意，線段MN和M'N'上的點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)B．
作MH⊥x軸于H，連接MC，
∴∠MHA＝90°，即∠OAM+∠AMH＝90°．
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AMC＝90°，即∠AMH+∠HMC＝90°．
∴∠OAM＝∠HMC＝30°．
∴tan30°＝＝＝，
設(shè)MH＝y(tǒng)，則AH＝y(tǒng)，CH＝y(tǒng)，
∴AC＝AH+CH＝y(tǒng)＝2，解得y＝，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．
又由AN＝2AM，A為（﹣1，0），可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，
故在線段MN上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足：≤t≤，
由對(duì)稱性，在線段M'N'上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足：?≤t≤?，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍是：≤t≤或?≤t≤?．
（3）如圖，
Q是⊙O上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，延長AQ到P，使得PA＝2AQ，
∵Q的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K（1，0）為圓心，2為半徑的圓，
當(dāng)直線MN與⊙K相切于點(diǎn)R時(shí)，連接KR，
在Rt△KMR中，∠KRM＝90°，
∵直線y＝x+b與x軸夾角為60°，
∴∠KMR＝60°，KR＝2，
∴KM＝2÷sin60°＝，
∴OM＝1+，
∴ON＝OM＝4+，
∴b＝﹣4﹣，
當(dāng)直線MN經(jīng)過G（0，﹣1）時(shí)，滿足條件，此時(shí)b＝﹣1，
觀察圖象可知：當(dāng)﹣4﹣≤b≤﹣1時(shí)，線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”，
根據(jù)對(duì)稱性，同法可得當(dāng)1≤b≤4﹣時(shí)，也滿足條件．
故答案為：﹣4﹣≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣．
20． (2023?東城區(qū)校級(jí)開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)P在圖形M上，點(diǎn)Q在圖形N上，稱線段PQ長度的最小值為圖形M，N的“近距離”，記為d（M，N）．特別地，若圖形M，N有公共點(diǎn)，規(guī)定d（M，N）＝0，如圖，點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2）．
（1）如果⊙O的半徑為2，那么d（A，⊙O）＝ 2﹣2 ，d（B，⊙O）＝ 0 ；
（2）如果⊙O的半徑為r，且d（⊙O，線段AB）＞0，求r的取值范圍；
（3）如果C（0，m）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，⊙C的半徑為1，使d（⊙C，線段AB）＜1，直接寫出m的取值范圍為 2﹣＜m≤3 ．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A在⊙O外，點(diǎn)B在⊙O上，可得答案；
（2）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DO＝，由d（⊙O，線段AB）＝0，只要⊙O與線段AB沒有公共點(diǎn)即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的上邊時(shí)，則BC＝m﹣2，CN＝BC?sin∠OBA，則0＜（m﹣2）＜1+1；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的下邊時(shí)，得BC＝﹣2﹣m，則BC﹣1＜1；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，m＝2，從而解決問題．
【解答】解：（1）∵⊙O的半徑為2，A（﹣2，0），B（0，2），
∴OB＝2，OA＝2＞2，
∴點(diǎn)A在⊙O外，點(diǎn)B在⊙O上，
∴d（A，⊙O）＝2﹣2，d（B，⊙O）＝0，
故答案為：2﹣2；0；
（2）如圖1，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，
在Rt△AOB中，
∵tan∠BAO＝＝＝，
∴∠BAO＝30°．
在Rt△ADO中，sin∠BAO＝＝＝，
∴DO＝，
∵d（⊙O，線段AB）＝0，
∴r的取值范圍是0＜r＜或r＞2；
（3）如圖2，過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，
由（2）知，∠BAO＝30°．
∵C（m，0），
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的上邊時(shí)，m＞2，
此時(shí)，d（⊙C，線段AB）＝BC，
∴BC≤1，
即m﹣2≤1，
解得m≤3；
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，m＝2，
此時(shí)d（⊙C，線段AB）＝0，
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的下邊時(shí)，m＜2，
∴BC＝2﹣m，
∴CN＝BC?sin∠OBA＝（2﹣m）．
∵d（⊙C，線段AB）＜1，⊙C的半徑為1，
∴0＜（2﹣m）＜1．
∴2﹣＜m＜2．
綜上所述：2﹣＜m≤3．
故答案是：2﹣＜m≤3．

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