江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

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1. 已知一組數(shù)據(jù)：1，2，2，4，6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】把一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┡判?，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則排在最中間的數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，則排在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)定義直接作答即可.
【詳解】解：一組數(shù)據(jù)：1，2，2，4，6，排在最中間的數(shù)據(jù)是2，
所以其中位數(shù)是2，
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是中位數(shù)的含義，掌握“利用中位數(shù)的定義求解一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)”是解本題的關(guān)鍵.
2. 已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一個(gè)根為2，則另一個(gè)根為（ ）
A. 10B. 6C. 8D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為t，利用兩根之和為8得到2+t=8，然后解關(guān)于t的方程即可．
【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，
根據(jù)題意得2+t=8，
解得t=6，
即方程的另一個(gè)根為6．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．
3. 如圖，兩條直線被三條平行線所截，若，，，則（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
4. 要將拋物線平移后得到拋物線，下列平移方法正確的是（ ）
A. 向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B. 向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C. 向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D. 向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移判斷即可．
【詳解】解：∵
=(x+2)2-3
∴的頂點(diǎn)為(-2，-3)，
而的頂點(diǎn)為（0，0）
∴拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位可得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)在平移時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)a不變，只改變頂點(diǎn)的位置．
5. 若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為0，則a的值等于（ ）
A. B. 0C. 1D. 1或者
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，將代入方程可得，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0，可得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，
∴，，
∴，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是注意二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0．
6. 下列四個(gè)三角形，與如圖中的三角形相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，解答此題先根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，然后看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例即可．
【解答】解：設(shè)單位正方形的邊長(zhǎng)為，則給出的三角形三邊長(zhǎng)分別為，，．
A.三角形三邊分別是，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.三角形三邊，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.三角形三邊，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.三角形三邊，，，，與給出的三角形的各邊成正比例，故D選項(xiàng)正確．
故選D．
7. 小明在一次訓(xùn)練中，擲出的實(shí)心球飛行高度（米）與水平距離（米）之間的關(guān)系大致滿足二次函數(shù)，則小明此次成績(jī)?yōu)椋? ）
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知實(shí)心球落地時(shí)，即求的解即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，即．
解得：（舍），．
則小明此次成績(jī)時(shí)10米．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．
8. 某長(zhǎng)江大橋采用低塔斜拉橋橋型(如甲圖)，圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是30°，拉索BD與水平橋面的夾角是60°，兩拉索底端距離AD＝20米，則立柱BC的高為（ ）
A. 20米B. 10米C. 10米D. 20米
【答案】C
【解析】
【分析】首先證明BD=AD=20米，解直角三角形求出BC即可．
【詳解】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠A=30°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=60°30°=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=20米，
∴BC=BD?sin60°=10（米），
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
9. 如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)（ ）秒時(shí)與相似．
A. 2秒B. 4秒C. 或秒D. 2或4秒
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí), 與相似,則,利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行分類討論：當(dāng) 時(shí), ,即 當(dāng) 時(shí),,即 然后解方程即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí), 與相似,
則
,
當(dāng) 時(shí), ,
即
解得：
當(dāng) 時(shí), ,
即
解得：
綜上所述：經(jīng)過(guò)或秒時(shí),與相似
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析題意列出方程求解．
10. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2，其中正確的結(jié)論有（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程以及圖象與y軸的交點(diǎn)得到a，b，c的取值，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)對(duì)稱軸可得，則，根據(jù)可得，代入變形可對(duì)③進(jìn)行判斷；當(dāng)時(shí)，的值最大，即當(dāng)時(shí)，即>，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；由于方程ax2+bx+c=1有2個(gè)根，方程ax2+bx+c=-1有2個(gè)根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①∵拋物線開(kāi)口方向向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0，
∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，
∴b＞0，
∴abc＜0，①錯(cuò)誤；
②∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
∴>0
∴，故②錯(cuò)誤；
③∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴，
∴
由圖象得，當(dāng)時(shí)，，
∴
∴，故③正確；
④當(dāng)時(shí)，的值最大，
∴當(dāng)時(shí)，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正確；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四個(gè)根，
∴方程ax2+bx+c=1有2個(gè)根，方程ax2+bx+c=-1有2個(gè)根，
∴所有根之和2×（-）=2×=4，所以⑤錯(cuò)誤．
∴正確的結(jié)論是③④，
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
二、填空題
11. 已知，則的值為 _____．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根據(jù)比例性質(zhì)和分式的基本性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：設(shè)，
∴，，
∴=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查比例性質(zhì)、分式基本性質(zhì)，熟練掌握比例性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
12. 某中學(xué)課外閱讀小組的5位成員在2022年的課外閱讀量如表：
則這5位成員在2020年的平均課外閱讀量為_(kāi)_____本．
【答案】15
【解析】
【分析】本題考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】這5位成員在2020年的平均課外閱讀量為：(本)．
故答案為：15．
13. 在一個(gè)不透明的袋子中裝有n個(gè)小球，這些球除顏色外均相同，其中紅球有3個(gè)，如果從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，這個(gè)球是紅球的概率為，那么n的值是_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．根據(jù)概率公式列出關(guān)于n的方程，解之可得．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，
所以口袋中小球共有10個(gè)．
故答案為：10．
14. 某商店10月份的利潤(rùn)為600元，12月份的利潤(rùn)達(dá)到864元，則平均每月利潤(rùn)增長(zhǎng)的百分率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率是，那么11月份的利潤(rùn)是元，12月份的利潤(rùn)是元，而此時(shí)利潤(rùn)是864元，進(jìn)而可列出方程．
【詳解】解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率是，由題意得：
，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：平均每月增長(zhǎng)的百分率應(yīng)該是．
故答案是：．
15. 如圖，小樹(shù)AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹(shù)高AB＝2m，樹(shù)影BC＝3m，樹(shù)與路燈的水平距離BP＝4m．則路燈的高度OP為_(kāi)____m．
【答案】
【解析】
【分析】由于OP和AB與地面垂直，則AB∥OP，根據(jù)相似三角形的判定可證△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出OP的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，半徑為3的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)，B是y軸左側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為_(kāi)________．

【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了圓心角，圓周角，弧之間的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)．連接，根據(jù)圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑，確定，根據(jù)勾股定理計(jì)算，根據(jù)同弧上的圓周角相等，計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，
因?yàn)椋?br>所以為直徑，即，
因?yàn)椋?br>所以，
在中，，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：．
17. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③3a+c＜0；④m為任意實(shí)數(shù)，則m（am-b）+b≤a；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2=-2，其中正確的有______（只填序號(hào)）．
【答案】③④⑤．
【解析】
【分析】由拋物線對(duì)稱軸的位置判斷ab的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，
∴ab＞0，
由圖象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①錯(cuò)誤；
②∵拋物線與x軸的交點(diǎn)有兩個(gè)，
∴b2-4ac＞0，②錯(cuò)誤；
③∵，
∴b=2a，
由圖象可知：9a-3b+c＜0，
∴9a-6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正確；
④∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值，
∴am2-bm+c≤a-b+c（m為任意實(shí)數(shù)），
∴m（am-b）≤a-b（m為任意實(shí)數(shù)），
∴m為任意實(shí)數(shù)，則m（am-b）+b≤a，所以④正確；
⑤∵對(duì)稱軸x=-1，
∴x1≠x2，x1+x2=-2時(shí)，有ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1=ax22+bx2，
∴結(jié)論⑤正確．
綜合以上可得：③④⑤．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
18. 如圖，在矩形紙片ABCD中，將AB沿BM翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)N處，BM為折痕，連接MN；再將CD沿CE翻折，使點(diǎn)D恰好落在MN上的點(diǎn)F處，CE為折痕，連接EF并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)P，若AD=8，AB=5，則線段PE的長(zhǎng)等于____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)折疊可得四邊形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三邊為3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三邊的長(zhǎng)，通過(guò)作輔助線，可證，可得三邊的比為3：4：5，設(shè)FG=3m，則PG=4m，PF=5m，通過(guò)PG=HN，列方程解方程，進(jìn)而求出PF的長(zhǎng)，從而可求PE的長(zhǎng)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足為G、H，
由折疊得：
四邊形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，設(shè)EF=x，則ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
設(shè)FG=3m，則PG=4m，PF=5m，
四邊形ABNM是正方形，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19. 計(jì)算：sin60°﹣tan30°＋cs45°．
【答案】
【解析】
【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解： .
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移項(xiàng)，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）先移項(xiàng)，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：
∴
小問(wèn)2詳解】
．
解：，
，
∴或，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
21. 國(guó)家實(shí)施“雙減”政策后，為了解學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的減輕情況，學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查設(shè)置“顯著”，“一般”，“略有”，“未有”四個(gè)減輕程度的等級(jí)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
（1）本次共調(diào)查了 名學(xué)生；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估算該校學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)“顯著”和“一般”減輕的總?cè)藬?shù)．
【答案】（1）150；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析；
（3）該校學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)“顯著”和“一般”減輕的總?cè)藬?shù)為1260名．
【解析】
【分析】（1）利用等級(jí)為“未有”程度的學(xué)生人數(shù)除以其所占百分比即可得出所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)減去其它等級(jí)的人數(shù)，求出等級(jí)為“一般”程度的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）求出該校學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)“顯著”和“一般”減輕的人數(shù)所占的百分比，再乘以總?cè)藬?shù)1800即得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意可知：等級(jí)為“未有”程度的學(xué)生有30名，其占比為20%，
所以總?cè)藬?shù)為：．
故答案為：150．
【小問(wèn)2詳解】
等級(jí)為“一般”程度的學(xué)生為：名，
故補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
．
【小問(wèn)3詳解】
該校學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)“顯著”和“一般”減輕的人數(shù)所占百分比為 ，
故該校學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)“顯著”和“一般”減輕的總?cè)藬?shù)為名
【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體．根據(jù)分析條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖得到必要的信息和數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵．
22. 居民區(qū)內(nèi)的“廣場(chǎng)舞”引起媒體關(guān)注，小王想了解本小區(qū)居民對(duì)“廣場(chǎng)舞”的看法，進(jìn)行一次分四個(gè)層次的抽樣調(diào)查（四個(gè)層次為：A，非常贊同；B．贊同但要有時(shí)間限制；C．無(wú)所謂；D．不贊同），并把調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的倍息解答下列問(wèn)題：
（1）本次被抽查的居民人數(shù)是 人，將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（2）圖中∠α的度數(shù)是 度；該小區(qū)有3000名居民，請(qǐng)估計(jì)對(duì)“廣場(chǎng)舞”表示贊同（包括A層次和B層次）的大約有人
（3）據(jù)了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不贊同票，小王想從這四位居民中隨機(jī)選擇兩位了解具體情況，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求出恰好選中甲和乙的概率．
【答案】（1）40，見(jiàn)解析；（2）54，對(duì)“廣場(chǎng)舞”表示贊同（包括A層次和B層次）的大約有1350人；（3）見(jiàn)解析，．
【解析】
【分析】（1）用A層次的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再計(jì)算出C層次的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）用A層次的人數(shù)所占的百分比乘以360°得到∠α的度數(shù)；用3000分別乘以樣本中A、B層次的人數(shù)所占的百分比，用它們的和可估計(jì)出小區(qū)對(duì)“廣場(chǎng)舞”表示贊同（包括A層次和B層次）的人數(shù)；
（3）畫樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好選中甲和乙的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：（1）12÷30%＝40，
所以本次被抽查的居民人數(shù)是40人，
C層次的人數(shù)為40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為：
（2）∠α＝360°×＝54°，
3000×＝1350，
所以估計(jì)對(duì)“廣場(chǎng)舞”表示贊同（包括A層次和B層次）的大約有1350人；
故答案為40；54；
（3）畫樹(shù)狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中甲和乙的結(jié)果數(shù)為2，
所以恰好選中甲和乙的概率＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br>23. 如圖，二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接AC，BC，判定△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；
（2）直角三角形，理由見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出a的值，即得出二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）令，求出x的值，即得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．再根據(jù)勾股定理，求出三邊長(zhǎng)．最后根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷的形狀．
【小問(wèn)1詳解】
解：將點(diǎn)C代入函數(shù)解析式得：，
解得：，
故該二次函數(shù)表達(dá)式為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：令，得：，
解得：，．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)．
∴OA=1，OC=，，
∴，
．
∵，即，
∴的形狀為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理逆定理．根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
24. 某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)了一批以冬奧會(huì)為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價(jià)為每件40元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求出每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)每月獲得的利潤(rùn)為W（元）．這種文化衫銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000
（2）銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每月的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意用待定系數(shù)法求出每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b（k≠0），
將（40，600），（80，200）代入得：，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+1000；
【小問(wèn)2詳解】
由題意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴當(dāng)x＝70時(shí)，W有最大值為9000，
答：這種文化衫銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每月的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000元．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是列出函數(shù)關(guān)系式．
25. 某品牌太陽(yáng)能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖如圖所示．已知真空集熱管DE與支架CB所在直線相交于點(diǎn)O，且；支架BC與水平線AD垂直．，，，另一支架AB與水平線夾角，求OB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm；溫馨提示：，，）
【答案】.
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【詳解】設(shè)，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
解得：，
∴.8≈19 cm
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.
26. 如圖，AB＝BC，以BC為直徑作⊙O，AC交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：EG是⊙O的切線；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半徑．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑為4
【解析】
【分析】（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）連接OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE為半徑；
∴EG是⊙O的切線；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵，GB＝4，
∴，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴，
∴，
∴OE＝4，
即⊙O的半徑為4．

【點(diǎn)睛】
本題考查了圓和三角形的綜合問(wèn)題，掌握等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
27. 如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)為任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)、，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值為，
（3）存在；，
【解析】
【分析】（1）先求得A，B，三點(diǎn)的坐標(biāo)，將拋物線設(shè)為交點(diǎn)式，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（2）作于F，交于E，根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)E坐標(biāo)可表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出三角形的面積，進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得，進(jìn)而求得點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
，
∵對(duì)稱軸為直線，
，
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式：，
，
，
拋物線的表達(dá)式為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖1，作于F，交于E，
，，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：設(shè)，
∵以A，，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形，
，
即：，
，
，
，
∵，，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理、菱形的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．
28. 【問(wèn)題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）成立；理由見(jiàn)解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案為：．
小問(wèn)2詳解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)；
當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)；
綜上分析可知，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．成員
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