我們知道，物體受到的合外力方向與運(yùn)動(dòng)方向不在同一條直線上時(shí)，物體將做曲線運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)是一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng)，那么，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體受力有什么特點(diǎn)呢?本節(jié)將探究物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力。
滿足哪些條件物體才能做圓周運(yùn)動(dòng)？
取一根細(xì)繩，一端系一小球，另一端固定在一枚圖釘上。將圖釘釘于水平光滑木板上，如圖3－12 所示。
(1) 用手指沿小球與圖釘連線的垂直方向輕輕彈擊小球，在細(xì)繩未伸直前，小球做什么運(yùn)動(dòng)?(2)用手指彈擊小球，方向同上，加大彈擊力量，使小球運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)繩伸直。細(xì)繩伸直后，小球做什么運(yùn)動(dòng)?
上述實(shí)驗(yàn)中，小球在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到三個(gè)力的作用，即重力 G、桌面支持力 N 和繩子的拉力 F，合力就是繩子的拉力 F。雖然拉力的方向時(shí)刻在改變，但它始終指向圓心，這就是小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的原因。
①拉力使小球做圓周運(yùn)動(dòng)
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體一定受到指向圓心的合外力的作用，這個(gè)力稱為向心力 (centripetal frce)。
① 方向始終指向圓心，并與v垂直。
向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小如果物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提供向心力；如果物體做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)( 線速度大小會(huì)改變)，合力的一部分提供向心力。
向心力可能是彈力、重力或摩擦力，也可能是某幾個(gè)力的合力。例如，月球繞地球近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力由地球?qū)υ虑虻囊μ峁弘S水平圓臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的人或物體需要的向心力由圓臺(tái)對(duì)人或物體的靜摩擦力提供(圖3－13)。
向心力由重力與拉力的合力提供
①小球以r為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)。
②小球受重力與繩子拉力作用
探究影響向心力大小的因素
取一根空心管，將一根尼龍線從管中穿過，在尼龍線一端拴一塊質(zhì)量很小的物體，另一端掛一籃球，手握空心管搶動(dòng)該物體，使該物體做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)該物體的轉(zhuǎn)速達(dá)到一定值時(shí)籃球就會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)，甚至不斷上升(圖 3－14)。你能用此方法拉起更多的籃球嗎?
如果依次增大被轉(zhuǎn)動(dòng)物體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，情況會(huì)如何?
隨著做圓周運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量變大、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變大、角速度變大，能拉起的籃球數(shù)量也變多。由于做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所需要的向心力是由籃球通過尼龍線提供的 (小物體受到的重力與拉力相比可忽略 )，表明其所需的向心力在變大。
物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力與物體質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑以及角速度之間有著怎樣的關(guān)系呢?
探究做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所需要的向心力 F 與其質(zhì)量 m、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑 r 和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 ω 之間的關(guān)系。
向心力演示器、小球等。
如圖 3－15 所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，可使塔輪、長槽和短槽勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，槽內(nèi)的小球也就隨之做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
擋板對(duì)小球的作用力提供了小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。同時(shí)小球擠壓擋板的力使擋板另一端壓縮測(cè)力套筒的彈簧，壓縮量可從標(biāo)尺上讀出，該讀數(shù)即顯示了向心力的大小。如何研究向心力與物體質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑以及角速度之間的關(guān)系?
(1) 把兩個(gè)質(zhì)量不同的小球分別放在長槽和短槽上，調(diào)整塔輪上的皮帶和小球位置使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑和角速度都相同。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，觀察向心力的大小與質(zhì)量的關(guān)系。(2) 換兩個(gè)質(zhì)量相同的小球，使兩球的角速度相同。再增大長槽上小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，使兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑不同。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，觀察向心力的大小與半徑的關(guān)系。
(3)若要研究向心力的大小與角速度的關(guān)系，請(qǐng)按照你設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)步驟操作。
請(qǐng)記錄實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，分析實(shí)驗(yàn)中得到的向心力大小與物體質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑及角速度的關(guān)系。
向心力大小與質(zhì)量、半徑、角速度平方成正比
在探究影響向心力大小的因素時(shí)，為何要注意控制變量?請(qǐng)通過日常生活中的案例，說明控制變量的重要性。
進(jìn)一步研究得出，向心力的大小為：
我們還可用如圖 3－16 所示的 DIS 向心力實(shí)驗(yàn)器來進(jìn)一步定量探究影響向心力大小的因素。
實(shí)驗(yàn)中，通過力傳感器測(cè)出向心力 F 的大小，通過光電門傳感器測(cè)量擋光桿的擋光時(shí)間，進(jìn)而求出角速度 ω 的大小。借助DIS 數(shù)據(jù)采集器以及計(jì)算機(jī)等工具分析 F 與 m、r、 ω 之間的定量關(guān)系。
向心加速度由向心力產(chǎn)生，方向與向心力相同
向心加速度描述速度方向變化的快慢
式中a與r是成正比還是成反比呢？
v一定時(shí)，a與r成反比
ω一定時(shí)，a與r成正比
力是產(chǎn)生加速度的原因。既然做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到向心力的作用，那么它必然存在個(gè)由向心力產(chǎn)生的加速度，這個(gè)加速度稱為向心加速度 (centripetal acceleratin )。
向心加速度的方向與向心力的方向一致，始終指向圓心。
根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，可以得到向心加速度的大小，即
方向始終指向圓心，并與v垂直。
對(duì)于某一確定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力和向心加速度的大小恒定不變，但方向卻時(shí)刻在改變。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是加速度方向不斷改變的變加速運(yùn)動(dòng)。
設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿著半徑為r的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖 3－17(a) 所示。在某時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，經(jīng)過很短一段時(shí)間 ?t 運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)。在此期間，質(zhì)點(diǎn)的速度由 vA 變?yōu)?vB，速度改變量為 ?v。若把速度矢量 vB 的始端移到 A 點(diǎn)，其矢量關(guān)系如圖3－17(b)所示。
再由 ?t 趨于零時(shí)，vA 和 vB的夾角趨于零， ?v 的方向趨于與 vA 垂直而指向圓心，即加速度的方向指向圓心。這樣，就通過理論分析得到了向心加速度的大小和方向。
一般飛行員能承受的最大向心加速度的大小約為 6g。在飛行表演中，飛機(jī)某次水平轉(zhuǎn)彎時(shí)，可視為在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若飛機(jī)以 150 m/s 的速度飛行，在該次水平轉(zhuǎn)彎過程中向心加速度為6g，取重力加速度 g＝9.8 m/s2，飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎半徑至少為多少?
分析飛機(jī)在轉(zhuǎn)彎的過程中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與線速度及轉(zhuǎn)彎半徑有關(guān)，可根據(jù)向心加速度公式求解。
討論飛機(jī)轉(zhuǎn)彎半徑與線速度和向心加速度有關(guān)。此題的轉(zhuǎn)彎半徑是針對(duì)比較極端情況的結(jié)果。對(duì)于客機(jī)，轉(zhuǎn)彎半徑的設(shè)計(jì)須考慮安全系數(shù)及乘客的舒適度等諸多因素，轉(zhuǎn)彎半徑通常較大。
向心加速度由向心力產(chǎn)生。下面請(qǐng)分析解決涉及圓周運(yùn)動(dòng)的一些動(dòng)力學(xué)問題。在圖 3－13 中，若水平圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ω＝0.6rad/s，質(zhì)量為 30 kg 的小孩在距離軸心 1m 處隨圓臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)。小孩的向心加速度為多大?小孩受到的靜摩擦力為多大?
1. 請(qǐng)撰寫“探究向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，注意在報(bào)告中呈現(xiàn)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)步驟、實(shí)驗(yàn)表格以及分析過程和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。
2. 在班級(jí)晚會(huì)上，有同學(xué)做了用杯子搬運(yùn)乒乓球的游戲。如圖所示，他用杯子扣住乒乓球快速搖晃，使球在杯壁內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)而不掉下來，成功地把乒乓球移動(dòng)到了書的另一側(cè)。請(qǐng)分析乒乓球沒有掉下來的原因。
乒乓球所受重力與杯子給它的摩擦力平衡。
解：乒乓球在杯子里旋轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力，由杯子對(duì)乒乓球的彈力提供，彈力使得乒乓球和杯子之間產(chǎn)生擠壓，同時(shí)由于乒乓球又受到重力，使得乒乓球有了一個(gè)向下運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，這時(shí)乒乓球就受到了來自杯壁的向上的摩擦力，當(dāng)乒乓球速度達(dá)到一定值時(shí)，杯壁給乒乓球的摩擦力就與乒乓球所受的重力平衡，這樣乒乓球就不會(huì)掉下來。
3. 分析圖中物體 A、B、C 的受力情況，并說明這些物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由哪些力來提供向心力?
圖(a)中，A物體受到重力，支持力和靜摩擦力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，其中重力和支持力二力平衡，靜摩擦力提供向心力；
圖(b) 中，B物體受到重力，彈力和靜摩擦力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，其中重力和靜摩擦力二力平衡，彈力提供向心力；
圖(c)中，C物體受到重力和繩的拉力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，其中重力和拉力的合力提供向心力。
4. 關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是 ( )A. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻速運(yùn)動(dòng)B. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)C. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻速率圓周運(yùn)動(dòng)D. 在任意相等的時(shí)間內(nèi)通過的路程相等
5. 太陽的質(zhì)量為 1.99×1030kg，距銀河系中心約3 萬光年(1光年 ≈ 9.46×1012km )，以220 km/s 左右的速率繞銀河系中心轉(zhuǎn)動(dòng)。試計(jì)算太陽繞銀河系中心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所需向心力的大小。
解：1光年＝ 9.46×1015米，
6. 在探究向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系的實(shí)驗(yàn)中，若用兩個(gè)質(zhì)量相等的小球做實(shí)驗(yàn)，且左邊小球的軌道半徑為右邊小球的 2 倍，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)右邊標(biāo)尺上讀取的向心力的大小是左邊的 2 倍。那么，左邊小球與右邊小球的角速度之比是多少?
解：右邊的向心力的大小是左邊的2倍，有F左∶F右＝1∶2

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