7 . 4 三角函數(shù)的應(yīng)用
●怎樣用三角函數(shù)刻畫一些周期性運(yùn)動(dòng)呢?
當(dāng)物體做簡諧運(yùn)動(dòng)(單擺、彈振子等)時(shí)，也是一種周期運(yùn)動(dòng).
圖 7-4-1 是單擺的示意圖，點(diǎn) O為擺球的平衡位置，如果規(guī)定擺球向右偏移的位移為正，那么當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn) C 時(shí)，擺球的位移 y 達(dá)到最大值A(chǔ)；當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn) O 時(shí)，擺球的位移 y 為O；當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn) D時(shí)，擺球的位移 y 達(dá)到反向最大值－A；
一、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A、ω、φ 的物理意義
(1) A、ω、φ 的物理意義：
①簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是_____；②簡諧運(yùn)動(dòng)的周期 T＝______；
(2)本質(zhì)： A、ω、φ 有各自的物理意義，各自決定了函數(shù)性質(zhì)中的一部分.(3)應(yīng)用： 根據(jù) A、ω、φ 的物理意義，在解題時(shí)能比較簡單地求出函數(shù)解析式.
在函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b (A＞0，ω＞0)中，A，b與函數(shù)的最值有何關(guān)系?
二、解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟
(1) 審清題意；(2) 搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；(3) 討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；(4) 檢驗(yàn)，作出結(jié)論.
在圖 7-4-2 中，點(diǎn)O為做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向. 已知振幅為3 cm，周期為3 s，物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開始計(jì)時(shí). 求：
(1) 物體對平衡位置的位移x(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s) 之間的函數(shù)關(guān)系；(2) 該物體在 t＝5s 時(shí)的位置.
(1) 物體對平衡位置的位移x(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s) 之間的函數(shù)關(guān)系；
(2) 該物體在 t＝5s 時(shí)的位置.
一半徑為 3m 的水輪如圖 7-4-3 所示，水輪圓心 O距離水面 2 m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 4 圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn) P 從水中浮現(xiàn)時(shí) (圖中點(diǎn) P 開始計(jì)算時(shí)間.
(1) 將點(diǎn) P到水面的距離 z (單位：m. 在水面下，則2 為 負(fù)數(shù)) 表示為時(shí)間 t (單位：s)的函數(shù)；(2) 點(diǎn) P 第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時(shí)間?
(1) 將點(diǎn) P到水面的距離 z (單位：m. 在水 面下，則2 為負(fù)數(shù)) 表示為時(shí)間 t (單 位：s)的函數(shù)；
(2) 點(diǎn) P 第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時(shí)間?
3. 如圖為某簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)需要____s 往返一次.?
解析：觀察圖象可知此簡諧運(yùn)動(dòng)的周期 T ＝ 0.8，所以這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)需要 0.8 s 往返一次.
練 習(xí)
(1) t＝0 時(shí)，角θ是多少?
(2) 單擺頻率是多少?(3) 單擺完成5次完整擺動(dòng)共需多長時(shí)間?
解 單擺完成5次完整擺動(dòng)共需 5T＝5π (s).
4. 在圖7-4-2中點(diǎn)為做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置取向右 的方向?yàn)槲矬w位移的正方向.若已知振幅為5 cm，周期 為 4s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí).
(1) 求物體對平衡位置的位移(單位：cm)和時(shí)間(單位：s) 之間的函數(shù)關(guān)系；(2) 求該物體在 t＝7.5 s 時(shí)的位置.
(1) 求物體對平衡位置的位移(單位：cm)和時(shí)間(單位：s) 之間的函數(shù)關(guān)系；
(2) 求該物體在 t＝7.5 s 時(shí)的位置.
1. 電流 I (單位：A)隨時(shí)間 (單位∶s) 變化的關(guān)系式是I＝Asin ωt，t∈[0，＋∞). 設(shè) ω＝100π，A＝5.
求電流 I 變化的周期和頻率；
(3) 畫出電流 I 隨時(shí)間 t 變化的函數(shù)圖象.
3. 某城市一年中 12 個(gè)月的月平均氣溫與月份數(shù)之間的關(guān) 系可以近似地用一個(gè)三角函數(shù)來描述. 已知6 月份的月 平均氣溫最高，為 29.45℃，12 月份的月平均氣溫最 低，為 18.3℃. 求出這個(gè)三角函數(shù)的表達(dá)式，并畫出該 函數(shù)的圖象.
(1) 求小球擺動(dòng)的周期；(2) 已知g＝980cm/s2，要使小球擺動(dòng)的周期是1s，線的 長度應(yīng)當(dāng)是多少？ (精確到 0.1 cm，取 3.14)
(1) 求小球擺動(dòng)的周期；
(2) 已知g＝980cm/s2，要使小球擺動(dòng)的周期是1s，線的 長度應(yīng)當(dāng)是多少？ (精確到 0.1 cm，取 3.14)
5. 如圖，摩天輪的半徑為 40 m，點(diǎn)O距地面的高度為 50，摩天輪做速轉(zhuǎn)動(dòng)，每 30 min 轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn) P的起始位置在最低點(diǎn)處.(1)試確定在時(shí)刻 t (單位：min) 時(shí)點(diǎn) P 距離地面的高度；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn) P 距離地面超過 70 m?
(1)試確定在時(shí)刻 t (單位：min) 時(shí)點(diǎn) P 距離地面的高度；
(2) 在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn) P 距離地面超過 70 m?
6. 心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小. 血壓的最大值、最小 值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收 縮壓和舒張壓，讀數(shù) 120/80 mmHg 為標(biāo)準(zhǔn)值.
設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式 p(t) ＝115＋25sin(160t)，其中 p(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時(shí)間(單位：in)，試回答下列問題：
(1) 求函數(shù) (t) 的周期；(2) 此人每分鐘心跳的次數(shù)；
(3) 畫出函數(shù) p(t) 的圖；
(4) 求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)，并與標(biāo)準(zhǔn)值比較.
解 由題意，函數(shù)最大值為140，最小值為90，故此人在血壓計(jì)的讀數(shù)為140/90 mmHg 比標(biāo)準(zhǔn)值要大.
7. 下表是某地一年中 10 d (天) 的白晝時(shí)間.
(1) 以日期在 365 d (天)中的位置序號為橫坐標(biāo)，白晝時(shí) 間為縱坐標(biāo)，描出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2) 選用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述白晝時(shí)間與日期序號 之間的函數(shù)關(guān)系；
(3) 用(2)中的函數(shù)模型估計(jì)該地7月8日的白晝時(shí)間.
港口水深的變化與三角函數(shù)
海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面給出了某港口在某天幾個(gè)時(shí)刻的水深.
(1) 選用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值； (2) 一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為 4 m，安全條例規(guī)定至少要有 1.5 m的安全間隙(船底與海底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口?
(3) 若船的吃水深度為 4 m，安全間隙為 1.5 m，該船在 2∶00 開始卸貨，吃水深度以每小時(shí) 0.3 m 的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域?
分析 (1) 考察數(shù)據(jù),可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù) 法求解； (2) 在涉及三角不等式時(shí)，可利用圖象求解.
0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故該船在0:24至5:36和12:24 至17:36 期間可以進(jìn)港.
仿照上述案例，嘗試解決以下問題.
某港口相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間間隔12 h20 min，低潮時(shí)入口處水的深度為2.8m，高潮時(shí)為8.4m，一次高潮發(fā)生在 10月3日2:00.
(1) 若從 10月3日 0∶00 開始計(jì)算時(shí)間，選用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深 d (單位： m)和時(shí)間 t (單位：h)之間的函數(shù)關(guān)系；
(2) 求10月3日 4∶00 水的深度；(3) 求10月3日吃水深度為 5m的輪船能進(jìn)入港口的時(shí)間.
歐拉(L. Euler，1707-1783)是瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家. 有的數(shù)學(xué)史家把他與阿基米德、高斯、牛頓并列為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家. 歐拉小時(shí)候就特別喜歡數(shù)學(xué)，不滿 10 歲就開始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》這本書連他的幾位老師都沒讀過，可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個(gè)記號，事后再向別人請教.
1720年，13歲的歐拉靠自己的努力考入了巴寒爾大學(xué)，小歐拉是這所大學(xué)，也是整個(gè)瑞士大學(xué)校園里年齡最小的學(xué)生，他得到當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J.Berulli，1667-1748)的精心指導(dǎo)，這在當(dāng)時(shí)是個(gè)奇跡，曾轟動(dòng)了數(shù)學(xué)界. 歐拉后來回憶說；“如果我遇到什么阻礙或困難，他還允許我每星期六午后自由地去找他并且親切地為我解答一切難題. 這樣，使得每當(dāng)他為我解決了一個(gè)困難其他十個(gè)困難也就迎刃而解了，這是我在數(shù)學(xué)上獲得及時(shí)成功的最好方法.”
他 19 歲時(shí)寫了一篇論文，獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金，26 歲時(shí)成為彼得堡科學(xué)院教授. 歐拉是 18 世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一.他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出 800 多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等課本，他的《無窮小分析引論》《微分學(xué)原理》《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作.他的全集有74卷.
歐拉對數(shù)學(xué)的研究如此之廣泛，在許多數(shù)學(xué)的分支中都可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.例如，eiπ＋1＝0，V－E＋F＝2，eiθ＝csθ＋i sin θ.
歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號，例如 π (1736 年)，i (1777 年)，e (1748年)，sin 和 cs (1748 年)，tg (1753 年)， ?x (1755 年)， ∑ (1755 年)，f(x) (1734 年)等. 歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)值得我們學(xué)習(xí).

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7.4 三角函數(shù)應(yīng)用

版本： 蘇教版 (2019)

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