目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn) 比例線段
1．成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．
【即學(xué)即練1】下列各組線段中，不成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】四條線段成比例，根據(jù)線段的長(zhǎng)短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積，相等即成比例；不相等即不成比例．
【詳解】A 、從小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合題意;
B 、從小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合題意;
C 、從小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合題意;
D 、從小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合題意.
故選 B．
【即學(xué)即練2】已知線段，線段，線段是線段，的比例中項(xiàng)，則線段__________．
【答案】
【分析】根據(jù)線段的比例中項(xiàng)的概念列方程求解即可．
【詳解】解：因?yàn)椋壕€段是線段，的比例中項(xiàng)，
所以：，
因?yàn)椋壕€段，線段，
所以：， （負(fù)根不合題意舍去）．
故答案為：．
2．比例的性質(zhì)：
（1）基本性質(zhì)：如果，那么.
（2）合比性質(zhì)：如果，那么；
【微點(diǎn)撥】
（1）兩條線段的單位必須統(tǒng)一，若單位不同，先化成同一單位，再求它們的比；
（2）兩條線段的比，沒(méi)有單位；
（3）兩條線段的長(zhǎng)度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù)．
【即學(xué)即練3】把a(bǔ)d＝bc寫(xiě)成比例式，不正確的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】C
【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積，對(duì)選項(xiàng)一一分析，得出正確答案．
【詳解】解：A．?ad=bc，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．?ad=bc，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．?ab=dc，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
D．?ad=bc，故此選項(xiàng)正確，不符合題意，
故選：C．
【即學(xué)即練4】若，則的值為_(kāi)____．
【答案】
【分析】由，設(shè)，然后再代入求解即可．
【詳解】解：∵，設(shè)，
∴，
故答案為：．
能力拓展
考法01 比例的性質(zhì)
已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)它們的比等于一個(gè)未知數(shù)，把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來(lái)，然后消掉所設(shè)的未知數(shù)，即可求得所給代數(shù)式的值。
【典例1】如果，則＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積用b表示出a，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵，
∴a=b，
∴==．
故選C．
考法02 成比例線段
【典例2】下列各組線段中，是成比例線段的是（ ）
A．1cm，3cm，4cm，6cmB．2cm，3cm，4cm，6cm
C．3cm，5cm，9cm，13cmD．3cm，5cm，9cm，12cm
【答案】B
【分析】如果四條線段a,b,c,d滿足，則四條線段a,b,c,d稱為比例線段.
【詳解】解：∵3×4≠1×6，∴選項(xiàng)A不成比例；
∵3×4，=2×6，∴選項(xiàng)B成比例；
∵3×13≠5×9，∴選項(xiàng)C不成比例；
∵3×12≠5×9，∴選項(xiàng)D不成比例
故選B．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，設(shè) 則再代入求值即可得到答案．
【詳解】解： ，
設(shè) 則

故選：
2．已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，可得，再利用比例的基本性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)，即可得到答案．
【詳解】解：

由可得： 故不符合題意，
由可得：故符合題意；
由可得：故不符合題意，
由可得： 故不符合題意，
故選：B．
3．若，則下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由 等式的兩邊都除以，從而可得到答案．
【詳解】解：
等式的兩邊都除以：，


故選B．
4．在比例尺為1：800000的“中國(guó)政區(qū)”地圖上，量得甲市與乙市之間的距離是2.5cm，則這兩市之間的實(shí)際距離為( )km．
A．20000000B．200000C．200D．2000000
【答案】C
【分析】比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離．列出比例式，求解即可得出兩地的實(shí)際距離．
【詳解】設(shè)這兩市之間的實(shí)際距離為xcm，
則根據(jù)比例尺為1：8 000 00，列出比例式：
1：8 000 00＝2.5：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝200km
故選：C．
5．已知，那的值為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】設(shè)x=3k，y=5k，其中(k≠0)，代入即可消去k即可求解．
【詳解】解：由可知，設(shè)x=3k，y=5k，其中(k≠0)，
則x+y=8k，
∴，
故答案為：．
6．已知，那么__________．
【答案】
【分析】由，設(shè)，則，再把的值代入代數(shù)式即可得到答案．
【詳解】解： ，
設(shè)，則，
，
故答案為：
7．在比例尺為1:1000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是2.6cm,則甲、乙兩地的實(shí)際距離為_(kāi)______千米.
【答案】26
【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離．根據(jù)比例尺關(guān)系即可直接得出實(shí)際的距離．
【詳解】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，得：A，B兩地的實(shí)際距離為2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．
故答案為26．
8．已知、、、是成比例線段，其中，，，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)比例線段的概念，列出比例式3：4=c：12，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵a、b、c、d是成比例線段，
∴a：b=c：d，
∵a=3cm，b=4cm，d=12cm，
∴3：4=c：12，
∴c=9cm，
故答案為；9cm．
9．已知三個(gè)數(shù)、、，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)，使它們成比例，求出所有符合條件的數(shù)．
【答案】可以添加的數(shù)有：，，．
【分析】設(shè)添加的數(shù)為x，使2：4=8：x，或4：x=8：2或8：x=4：2，分別求出x的值．
【詳解】設(shè)添加的數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以可以添加的數(shù)有：，，．
10．在某市城區(qū)地圖(比例尺1∶9000)上，新安大街的圖上長(zhǎng)度與光華大街的圖上長(zhǎng)度分別是16 cm，10 cm.
(1)新安大街與光華大街的實(shí)際長(zhǎng)度各是多少米？
(2)新安大街與光華大街的圖上長(zhǎng)度之比是多少？它們的實(shí)際長(zhǎng)度之比呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？
【答案】（1）1440；900（2）成比例
【詳解】(1)、根據(jù)題意，得＝，＝.
因此，新安大街的實(shí)際長(zhǎng)度是16×9000＝144 000(cm)＝1440 m，
光華大街的實(shí)際長(zhǎng)度是10×9000＝90000(cm)＝900m；
(2)、新安大街與光華大街的圖上長(zhǎng)度之比是16∶10＝8∶5，
新安大街與光華大街的實(shí)際長(zhǎng)度之比是1440∶900＝8∶5，
可以發(fā)現(xiàn)它們之間成比例．
題組B 能力提升練
1．在一幅比例尺是1：5000000的地圖上，量得上海到杭州的距離是3.4cm．那么上海到杭州的實(shí)際距離是（ ）
A．17kmB．34kmC．170kmD．340km
【答案】C
【分析】要求3.4厘米表示的實(shí)際距離是多少千米，根據(jù)“圖上距離÷比例尺＝實(shí)際距離”，代入數(shù)值計(jì)算即可求解．
【詳解】解：（厘米），
17000000厘米＝170千米，
答：上海到杭州的實(shí)際距離是170千米，
故選：C．
2．某地圖上1cm2面積表示實(shí)際面積900m2，則該地圖的比例尺是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先設(shè)該地圖的比例尺是1：x，根據(jù)面積比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可．
【詳解】解：設(shè)該地圖的比例尺是1：x，根據(jù)題意得：
1：x2＝1：9000000，
解得x1＝3000，x2＝?3000（舍去）．
則該地圖的比例尺是1：3000；
故選：B．
3．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，可得：再代入代數(shù)式，約分后可得答案．
【詳解】解： ，

故選：
4．已知線段，則線段的比例中項(xiàng)為（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)a、b的比例中項(xiàng)為x，∵a=4，b=8，
∴x2=ab=32，∴x=±4，即a、b的比例中等于4．
故選D.
5．如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中項(xiàng)，那么c=（ ）
A．± B． C． D．±
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，可知，即，當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，，解得．故選C．
6．若，且，則等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【答案】B
【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，若b2=ac，則b：c可求．
【詳解】∵a：b=3：2，且b2=ac，
∴b：c=a：b=3：2．
故選B．
7．若＝，則＝_________________．
【答案】﹣
【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，再求出答案即可．
【詳解】解：∵
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
8．已知，則________
【答案】
【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
則，
故，
故答案為：．
9．在比例尺為1：800000的鹽城市地圖上，大豐實(shí)驗(yàn)初中與濱海第一初級(jí)中學(xué)的圖上距離為16cm，則實(shí)際距離為_(kāi)____km．
【答案】128
【分析】根據(jù)比例尺直角計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)實(shí)際距離為xcm，
∵比例尺為1：800000，
∴16：x=1：800000
x=12800000
12800000cm=128km；
故答案為：128．
10．已知，則_________．
【答案】
【分析】由，設(shè) 則 再代入代數(shù)式求值即可得到答案．
【詳解】解： ，
設(shè) 則


故答案為：
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．下列各組中的四條線段不是成比例線段的是（ ）
A．a(chǎn)=1，b=1，c=1，d=1B．a(chǎn)=1，b=2，c=2，d=4
C．a(chǎn)=1，b=3，c=2，d=4D．a(chǎn)=2，b=1，c=8，d=4
【答案】C
【分析】如果兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，我們就說(shuō)這四條線段叫做成比例線段．
【詳解】∵1×1=3×2，故選項(xiàng)A中的四條線段成比例，
∵1×4=2×2，故選項(xiàng)B中的四條線段成比例，
∵1×4≠2×3，故選項(xiàng)C中的四條線段不成比例，
∵2×4=1×8，故選項(xiàng)D中的四條線段不成比例，
故選C．
2．下列各組線段（單位：cm ）中，成比例的是（ ）．
A．1，2，3，4B．6，5，10，15
C．3，2，6，4D．15，3，4，10
【答案】C
【分析】根據(jù)如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
【詳解】A、1×4≠2×3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、5×15≠6×10，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、2×6=3×4，故選項(xiàng)正確；
D、3×15≠4×10，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
3．若線段x是3和6的比例中項(xiàng)，則x的值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念，可得x2=3×6=18，依此即可求解．
【詳解】∵線段的長(zhǎng)x是3和6的比例中項(xiàng)，
∴x2=3×6=18，
∵線段是正數(shù)，
∴x=3 ．
故選A．
4．4 與 9 的比例中項(xiàng)是（ ）
A．36B．6C．﹣6D．±6
【答案】D
【分析】設(shè)它們的比例中項(xiàng)是 x，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得出 x2＝4×9，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)它們的比例中項(xiàng)是x，則 x2＝4×9，
x＝±6．
故選D．
5．如果=，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)用x表示y，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵x：y=4：3，
∴x=y，
∴==，
故答案為B．
6．已知，那么m：n＝_____．
【答案】2：3
【分析】設(shè)出n=3k，則2m-n=k，可分別用k表示出m和n，m：n即可求．
【詳解】解：設(shè)n＝3k，2m﹣n＝k，
則m＝2k，
∴m：n＝2k：3k＝2：3,故答案為2：3.
7．比例尺為1：9000的蘇州市城區(qū)地圖上，山塘街的長(zhǎng)度約為40cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為_(kāi)____km．
【答案】0.36．
【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，依題意列出比例式，即可求得實(shí)際距離．
【詳解】解：設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度為x厘米，則：
1：9000＝40：x，
解得x＝360000．
360000厘米＝3.6km．
故答案是：3.6．
8．線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，其中a=4，b=5，則c=________
【答案】
【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可得c2=ab，從而易求c．
【詳解】∵線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，
∴c2=ab，
∵a=4，b=5，
∴c2=20，
∴c=2（負(fù)數(shù)舍去），
故答案是2.
9．如果，那么＝_____．
【答案】
【分析】設(shè)，然后根據(jù)比例的性質(zhì)解三元一次方程組，最后將a、b的值代入所求解答即可．
【詳解】設(shè)，則，
解得，
∴．
10．在Rt △ABC中，斜邊AB＝205，，試求AC，BC的值．
【答案】AC=45 BC=200.
【詳解】試題分析：根據(jù)可設(shè)AC=9x，BC=40x，根據(jù)勾股定理列出方程求得x的值，即可得AC、BC的值.
試題解析：
設(shè)AC=9x，BC=40x，
根據(jù)勾股定理可得，即，
解得x=5.
∴AC=45，BC=200.
11．已知＝＝＝＝k，求 k值．
【答案】或﹣2．
【分析】依據(jù)等比性質(zhì)可得，=k，分兩種情況討論，即可得到k的值．
【詳解】∵，
∴由等比性質(zhì)可得，=k，
當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，k==；
當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，b+c+d=-a，
∴k=；
綜上所述，k的值為或-2．
12．已知線段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．
（1）求線段a與線段b的比．
（2）如果線段a、b、c、d成比例，求線段d的長(zhǎng)．
（3）b是a和c的比例中項(xiàng)嗎？為什么？
【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；
（2）根據(jù)線段a、b、c、d是成比例線段，可得，再根據(jù)c=12dm=120cm，即可得出線段d的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，進(jìn)而得出b是a和c的比例中項(xiàng)．
【詳解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，
∴a：b＝30：60＝1：2；
（2）∵線段 a、b、c、d 是成比例線段，
∴，
∵c＝12dm＝120cm，
∴，
∴d＝240cm；
（3）是，理由：
b2＝3600，ac＝30×120＝3600，
∴b2＝ac，
∴b是a和c的比例中項(xiàng)．
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1.了解兩條線段的比和比例線段的概念并能根據(jù)條件寫(xiě)出比例線段；
2.會(huì)運(yùn)用比例線段解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境了解線段的比和成比例的線段；并理解并掌握比例的性質(zhì)；

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6.1 圖上距離與實(shí)際距離

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