注意事項：
1.答卷前,考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。
考試時間為120分鐘,滿分150分
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合,則
A.B.C.D.[2,3]
2.已知復數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則在復平面內(nèi)的共軛復數(shù)所對應的點在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.一袋中裝有大小、質(zhì)地均相同的5個白球,3個黃球和2個黑球,從中任取3個球,則至少含有一個黑球的概率是
A.B.C.D.
4.設,則a,b,c的大小關系為
A.B.C.D.
5.數(shù)列是公差不為零的正項等差數(shù)列,為等比數(shù)列,若,則數(shù)列的公比為
A.2B.3C.5D.11
6.記拋物線的焦點為為拋物線上一點,,直線AF與拋物線另一交點為,則
A.B.C.2D.3
7.是直線上的一動點,過作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則四邊形PACB面積的最小值為
A.B.C.D.
8.已知函數(shù)關于的方程有且僅有4個不同的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是
A.B.e)C.D.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。
9.為豐富優(yōu)質(zhì)旅游資源,釋放旅游消費潛力,推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展,某地政府從2023年國慶期間到該地旅游的游客中,隨機抽取部分游客進行調(diào)查,得到各年齡段游客的人數(shù)和對景區(qū)服務是否滿意的數(shù)據(jù),并繪制統(tǒng)計圖如圖所示,利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖估計,得到的結論正確的是
A.游客中,青年人是老年人的2倍多
B.老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍
C.到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的
D.到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過一半
10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則
A.的單調(diào)遞增區(qū)間是
B.的單調(diào)遞增區(qū)間是
C.在上有3個零點
D.將函數(shù)圖象向左平移3個單位長度得到的圖象所對應的函數(shù)為奇函數(shù)
11.正方體中,為AB的中點,為正方體表面上一個動點,則
A.當在線段上運動時,與所成角的最大值是
B.當在棱上運動時,存在點使
C.當在面上運動時,四面體的體積為定值
D.若在上底面上運動,且正方體棱長為1,AP與所成角為,則點的軌跡長度是
12.已知函數(shù)和是定義域為的函數(shù),若,,且,則下列結論正確的是
A.函數(shù)的圖象關于直線對稱B.
C.函數(shù)的圖象關于直線對稱D.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.已知角的頂點為坐標原點,始邊為軸非負半軸,終邊與單位圓交于點,若點沿著單位圓順時針旋轉到點,且,則______________.
14.等邊三角形ABC的邊長是2,D,E分別是AB與BC的中點,則______________.
15.已知,則______________.(用數(shù)字作答)
16.若不等式對任意恒成立,則的取值范圍是______________.
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(10分)設的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為.
(1)求角;
(2)若,求面積的最大值.
18.(12分)已知正項數(shù)列滿足.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若,數(shù)列的前項和為.證明:.
19.(12分)杭州第19屆亞運會,中國代表團共獲得201金111銀71銅,共383枚獎牌,金牌數(shù)超越2010年廣州亞運會的199枚,標志著我國體育運動又有了新的突破.某大學從全校學生中隨機抽取了130名學生,對其日常參加體育運動情況做了調(diào)查,其中是否經(jīng)常參加體育運動的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
(1)利用頻率估計概率,現(xiàn)從全校女生中隨機抽取5人,求其中恰有2人不經(jīng)常參加體育運動的概率;
(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗,能否認為是否經(jīng)常參加體育運動與性別有關聯(lián).
參考公式:.
20.(12分)正方體中,E,F,G,H分別是的中點.
(1)證明:平面EFH;
(2)求與平面EFH所成角的正弦值.
21.（12分）已知函數(shù).
(1)時,求函數(shù)的值域;
(2)若在上有兩個實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
22.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設為的左頂點,過的直線交橢圓于P,Q兩點,直線AP,AQ分別交直線于M,N兩點,是線段MN的中點,在軸上求出一定點,使得.
數(shù)學參考答案
1.C【解析】易知.故選C.
2.A【解析】,則的共軛復數(shù)為,其所對應的點在第一象限.故選A.
3.B【解析】.故選.
4.B【解析】設,令得,所以函數(shù)在區(qū)間,e)單調(diào)遞增.因為,所以,即,不等式兩邊同乘2得,即.故選B.
5.A【解析】設的公差為的公比.故選A.
6.C【解析】,由拋物線定義可知到準線距離為6,即,解得,不妨設,所以,與拋物線聯(lián)立,消去整理得,解得,則.故選C.
7.B【解析】由對稱性可知,圓的圓心為,半徑的最小值為圓心到直線的距離,即,故PA的最小值為,所以的最小值為,四邊形PACB面積的最小值為.故選B.
8.A【解析】時,,當時,當時,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.時,,當時,,當時,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,.畫出函數(shù)的圖象,如下圖所示,函數(shù)最小值為有四個不同的實數(shù)根,數(shù)形結合可知的取值范圍是,故選A.
9.ACD【解析】由扇形統(tǒng)計圖可知青年人占比是老年人占比的2倍多,A正確.其中滿意的青年人占總人數(shù)的,滿意的中年人占總人數(shù)的,滿意的老年人占總人數(shù)的,故B錯誤C正確,總滿意率為,D正確.故選ACD.
10.AC【解析】由圖象得,周期,得,所以.令,解得,故單調(diào)遞增區(qū)間為,A正確,B錯誤;令,解得,令得,解得,可知選項正確;函數(shù)圖象關于直線對稱,向左平移3個單位長度,圖象關于軸對稱,得到的函數(shù)為偶函數(shù),故D錯誤.故選AC.所成角最大,為選項錯誤.選項,過作BC的垂線交BC于,若,則,顯然存在,選項正確.選項,因為到平面的距離不變,三角形面積不變,故體積為定值,選項正確.選項,所在的軌跡是以為圓心,1為半徑的弧,軌跡長度是選項錯誤.故選.
12.BC【解析】由可知的圖象關于直線對稱,C正確,所以,則(1),令為,則(2),的圖象關于點對稱,,故B正確;由(1)(2)可知,所以的圖象關于直線對稱,故A錯誤,所以4是的周期,由,得,令,由(1)得是的周期,有2024項,故,故D錯誤.故選BC.
13.【解析】由三角函數(shù)定義可.
14.【解析】.
15.405【解析】兩邊求導得:,令,可得.
16.【解析】令,可知單調(diào)遞增,恒成立,則,即恒成立,令,當時,,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減,所以的最大值為,則,故的取值范圍是.
17.解:(1)由正弦定理得,……………………………………………………………..1分
即,
所以,………………………………………………………………………………3分
因為,
所以,…………………………………………………………………………………………………4分
又因為,
所以.………………………………………………………………………………………………………5分
(2)由余弦定理得
,……………………………………………………………………………6分
所以,當且僅當時取到號,…………………………………………………………………8分
故面積的最大值為,…………………………………………………………………………10分
18.證明:(1),
,即,……………………………………………………….……………2分
,………………………………………………………………………………………………4分
又,…………………………………………………………………………….………….………5分
所以數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.……………………………………………………6分
(2)由(1)可知,所以,……………………………………………….………….……7分
,…………………………………………….………….……9分
,…………………………………………….…11分
因為,所以顯然.……………………………………………………………….………….……12分
19.解:(1)女生不經(jīng)常參加體育運動的概率,………………………….………….……3分
從全校女生中隨機抽取5人,不經(jīng)常參加體育運動的人數(shù)服從二項分布,則
.…………………………………………….………….……6分
(2)零假設為:“性別與是否經(jīng)常參加體育運動獨立”,即性別與是否經(jīng)常參加體育運動無關聯(lián),…….…8分
根據(jù)表中數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到
,…………………….………….……10分
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷不成立,因此認為成立,即認為是否經(jīng)常參加體育運動與性別沒有關聯(lián).………………………………………………………….………….……12分
20.(1)證明:因為,
所以平面EFH與平面是同一平面.……………………………………….………….…1分
因為且,
所以是平行四邊形,則.……………………………………….………….…3分
又平面平面EFH,
所以平面EFH.………………………………………….………………………….……5分
(2)解:設正方體的棱長是2，以A為坐標原點,AB為軸正方向,AD為軸正方向,為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,.………………………….………………………….8分
設平面EFH的法向量,則
令,則,……………….………………………………10分
設與平面EFH所成角為,則
,
所以與平面EFH所成角的正弦值為.………………………….………………………….12分
21.解:(1)時,的定義域為.………1分
令,得,當時,,當時,,
則在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增, ……………………………………………3分
所以當時,取得極小值,同時也是最小值,最小值,又時,,所以的值域為.………………………………………………………………………………………………4分
(2)在有兩個實數(shù)根,則在有兩個零點.
,令,當時,
恒成立,在上單調(diào)遞減,舍去.………………………………………6分
當時,解得或有兩個根,且,
當時,在上恒小于單調(diào)遞減,舍去. ………………………7分
當時,,不妨設,則,
時,單調(diào)遞增,
時單調(diào)遞減,
,則,由函數(shù)和函數(shù)的圖象知,
當時,, ………………………………9分
,且,
故使,故在上存在兩個零點. ………………………………11分
綜上,的取值范圍為.………………………………………………………………………分
22.解:(1)由橢圓過可知,解得,…………3分
所以橢圓的標準方程為.………………………………………………………………4分
(2)由題知,在以BP為直徑的圓上.
設,直線,代人,整理得.
.………………………………6分
因為,
易知,令,得,同理,
則MN中點.………………………………………………………………7分
令得,.………………………………………………………………………………………………………10分
所以,即,又因為,
所以,即,解得,
所以點坐標為.………………………………………………………………………………12分經(jīng)常參加
不經(jīng)常參加
男生
60
20
女生
40
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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