一、選擇題（本大題共10小題，共30分）
1. 有一個鐵制零件（正方體中間挖去一個圓柱形孔）如圖放置，它的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可．
【詳解】左邊看去是一個正方形，中間有一個圓柱形孔，圓柱的左視圖是矩形，所以左視圖的正方形里面還要兩條虛線．
故選：C．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖；注意看到的用實線表示，看不到的用虛線表示．
2. 反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)x＞0時，y隨x的值增大而增大，則k的取值范圍是（ ）
A. k＜2B. k≤2C. k＞2D. k≥2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k﹣2＜0，求出即可．
【詳解】∵當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2．
故選：A．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，已知不透明的袋中裝有紅色、黃色、藍色的乒乓球共120個，某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計概率”的摸球?qū)嶒灒◤闹须S機摸出一個球，記下顏色后放回），統(tǒng)計了“摸出球為紅色”出現(xiàn)的頻率，繪制了如您看到的資料都源自我們平臺，家威杏 MXSJ663 免費下載圖折線統(tǒng)計圖，那么估計袋中紅色球的數(shù)目為（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】由折線圖可得：“摸出球為紅色”出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在左右，從而可得出現(xiàn)紅球的概率，再利用概率公式求解紅球的數(shù)量即可得到答案．
【詳解】解：由折線圖可得：“摸出球為紅色”出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在左右，
所以出現(xiàn)紅球的概率是
則袋中紅球的數(shù)量為：
所以袋中紅色球的數(shù)目為個，
故選：
【點睛】本題考查的是利用頻率來估計概率，再利用概率求解目標(biāo)球的數(shù)量，掌握利用頻率估計概率是解題的關(guān)鍵．
4. 將拋物線向右平移2個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查拋物線平移，涉及拋物線平移法則：左加右減、上加下減，按照平移法則直接求解即可得到答案，熟記函數(shù)圖像的平移法則是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：將拋物線向右平移2個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為，
故選：A．
5. 當(dāng)作用于一個物體的壓力一定時，這個物體所受的壓強與它的受力面積的函數(shù)表達式為，則下列描述不正確的是（ ）
A. 當(dāng)壓力，受力面積為時，物體所受壓強為
B. 圖像位于第一、三象限
C. 壓強隨受力面積的增大而減小
D. 圖像不可能與坐標(biāo)軸相交
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各個選項即可得出結(jié)論．
【詳解】A．當(dāng)壓力，受力面積為時，，故本選項不符合題；
B．結(jié)合實際意義可知，即函數(shù)圖像位于第一象限，故本選項符合題；
C．壓強隨受力面積的增大而減小，故本選項不符合題；
D．根據(jù)題意可知，，又，由此可得，故圖像不可能與坐標(biāo)軸相交，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)．
6. 臨近春節(jié)的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為8萬元，第三個月的銷售額為11.52萬元，設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，即可得．
【詳解】解：設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，
∴
故選C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是能夠求出第二個月的銷售額和第三個月的銷售額．
7. 關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得且，
解得且．
故選：B．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
8. 如圖，嘉嘉在A時測得一棵4米高的樹的影長為，若A時和B時兩次日照的光線互相垂直，則B時的影長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．
【詳解】解：由題意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，
由勾股定理，得
FC=，
EC2=，EC2=，
∴=，
令DE=x，則EF=x+8，
∴，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故選：A．
【點睛】本題考查利用勾股定理求線段長，拓展一元一次方程，正確的運算能力是解決問題的關(guān)鍵．
9. 二次函數(shù)中的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如表：
則下列結(jié)論：①；②當(dāng)函數(shù)值時，對應(yīng)x的取值范圍是；③頂點坐標(biāo)為；④若點，在拋物線上，則．其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）．
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式為，即判斷①，求出拋物線與x軸的交點，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷②，把函數(shù)解析式化為頂點式，即可判斷③，分別求出和的函數(shù)值，即可判斷④．
【詳解】解：把點，，代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴，故①正確；
當(dāng)時，，解得
∴拋物線與軸的交點為，
的圖象如下：
由圖象可知，當(dāng)函數(shù)值時，對應(yīng)x的取值范圍是，故②錯誤；
∵，
∴頂點坐標(biāo)為；故③正確；
∵當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴點，在拋物線上，則．故④錯誤；
綜上可知，所有正確結(jié)論的序號為①③，
故選：A
【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在中，，，，點F在AC上，并且，點E為BC上的動點（點E不與點C重合），將沿直線EF翻折，使點C落在點P處，結(jié)論①：當(dāng)時，的長為；結(jié)論②：點P到AB的距離的最小值是，則關(guān)于上述兩個結(jié)論，下列說法正確的是（ ）
A. ①正確，②錯誤B. ①錯誤，②正確
C. ①和②都正確D. ①和②都錯誤
【答案】C
【解析】
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解可求得；延長交于M，當(dāng)時，點P到的距離最小，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可解決問題．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正確；
如圖，延長交于M，當(dāng)時，點P到的距離最?。?br>∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點P到邊距離的最小值是．故②正確；
綜上，①和②都正確．
故選：C．
【點睛】本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．垂線段最短等知識，解第②題的關(guān)鍵是正確找到點P位置．
二、填空題（本大題共5小題，共15分）
11. 如果x：y＝1：2，那么＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)合比性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查合比性質(zhì)，熟記合比性質(zhì)（若，則 ）的公式是解題關(guān)鍵．
12. 如圖，的內(nèi)接四邊形中，， 則的度數(shù)為____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】由圓的內(nèi)接四邊形的對角互補直接可得答案．
【詳解】解：∵的內(nèi)接四邊形中，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握“圓的內(nèi)接四邊形的對角互補”是解本題的關(guān)鍵．
13. 如圖是反比例函數(shù)和在第一象限的圖像，直線軸，并分別交兩條雙曲線于、兩點，若，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，表示、的面積，利用構(gòu)造方程即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點，
由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可知，
，，
∵，
∴，
解：．
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義．根據(jù)圖形中三角形面積關(guān)系構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，是正方形內(nèi)的一點，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合，若，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得： 再利用勾股定理可得答案．
【詳解】解： 正方形，

旋轉(zhuǎn)角：


故答案為：
【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
15. 已知兩個直角三角形的三邊長為3，4，m和6，8，n，且這兩個直角三角形不相似，則的值為__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求出兩個三角形的第三邊長，且要注意對直角三角形的邊進行分類討論，利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)果．
【詳解】解：①當(dāng)3，4為直角邊時，m為斜邊，
，
當(dāng)8為斜邊，6，n為直角邊，
，
∴；
②當(dāng)3，m為直角邊時，4為斜邊，
，
當(dāng)n為斜邊，6，8為直角邊，
，
∴；
③當(dāng)3，4為直角邊時，m為斜邊，
，
當(dāng)n為斜邊，6，8為直角邊，
，
此時：，兩個三角形相似，不符合題意（舍去），
綜上可得：的值為或，
故答案為：或．
【點睛】題目主要考查利用勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定，理解題意，對直角三角形的邊分類討論是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）計算：．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的運算法則，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，有理數(shù)的加減運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．
（1）采用因式分解法解此方程，即可解得；
（2）首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，進行運算，再進行有理數(shù)的加減運算，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：，
，
或，
，；
原式
．
17. 某市去年成功舉辦2018郴州國際休閑旅游文化節(jié)，獲評“全國森林旅游示范市”．某市有A，B，C，D，E五個景區(qū)很受游客喜愛．一旅行社對某小區(qū)居民在暑假期間去以上五個景區(qū)旅游（只選一個景區(qū)）的意向做了一次隨機調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)這個統(tǒng)計結(jié)果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
（1）該小區(qū)居民在這次隨機調(diào)查中被調(diào)查到的人數(shù)是 人， ，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）若該小區(qū)有居民1200人，試估計去B地旅游的居民約有多少人？
（3）小軍同學(xué)已去過E地旅游，暑假期間計劃與父母從A，B，C，D四個景區(qū)中，任選兩個去旅游，求選到A，C兩個景區(qū)的概率．（要求畫樹狀圖或列表求概率）
【答案】（1）200，35，見解析；（2）去B地旅游的居民約有420人；（3）到A，C兩個景區(qū)的概率為.
【解析】
【分析】(1)先由D景區(qū)人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)百分比的概念和各景區(qū)人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求解可得；
(2)利用樣本估計總體思想求解可得；
(3)畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到選到A，C兩個景區(qū)的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可得．
【詳解】(1)該小區(qū)居民在這次隨機調(diào)查中被調(diào)查到的人數(shù)是(人)，
則，即，
C景區(qū)人數(shù)(人)，
補全條形圖如下：
故答案為200，35；
(2)估計去B地旅游的居民約有(人)；
(3)畫樹狀圖如下：
由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中選到A，C兩個景區(qū)的有2種結(jié)果，
所以選到A，C兩個景區(qū)的概率為．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖等知識，注意掌握扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的對應(yīng)關(guān)系．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
18. 無人機低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機對一塊試驗田進行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為的處測得試驗田右側(cè)邊界處俯角為，無人機垂直下降至處，又測得試驗田左側(cè)邊界處俯角為，求的長．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】的長為
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出，在，中，分別求出，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
，
∴，
中，，
∴（），
在中，，
∴（），
∴（），
即的長為．
【點睛】本題考查了解直角三角形應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，且與反比例函數(shù)的圖象在第二象限內(nèi)的部分交于點C，垂直于x軸，垂足為D，其中．
（1）直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）求這兩個函數(shù)的關(guān)系式；
（3）若點P在x軸上，且，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
【答案】（1），；
（2），；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，求解即可；
（2）將，代入直線方程求解即可，求得點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)，求解即可；
（3）設(shè)，根據(jù)列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，分別為軸的正半軸，
∴，；
【小問2詳解】
解：將，代入中，可得
，解得，即，
∵軸
∴，
∴，
∴，解得，，
由題意可得：，即
∴，
將代入可得，，解得，
即；
【小問3詳解】
解：設(shè)，則，
由題意可得：，
解得或，
即點P的坐標(biāo)為或
【點睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．
20. 如圖，在中，，，以為直徑的分別交，于點，，過點作的切線，交的延長線于點．
（1）求證：．
（2）求的度數(shù)．
【答案】（1）詳見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查圓周角定理的推論，切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等知識．連接常用的輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
（1）連接，由圓周角定理的推論可知，由，結(jié)合等腰三角形中線的性質(zhì)即可證明．
（2）由切線的性質(zhì)可知，進而即可求解．
【小問1詳解】
證明：連接，
是直徑，
，即，
，
．
【小問2詳解】
解：，，
，
是切線，
，
．
21. 如圖①，一個可調(diào)節(jié)高度的噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖②是噴射出的水流在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，其中噴灌架置于點O處，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）設(shè)置的是1米，當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭水平距離為8米時，達到最大高度5米．
（1）求水流運行軌跡的函數(shù)解析式；
（2）若在距噴灌架米處有一棵米高的果樹，問：水流是否會碰到這棵果樹？請通過計算說明．
【答案】（1）
（2）水流不會碰到這棵果樹，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)，將點代入可得，即可求解；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)時，，可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：由題可知：拋物線頂點為，
設(shè)水流形成的拋物線為，
將點代入可得，
∴拋物線為： ．
【小問2詳解】
不能，理由如下：
當(dāng)時，，
∴水流不會碰到這棵果樹．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
22. 某商場種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：
（1）設(shè)商品每件降價元，每天售出商品的利潤為元，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）為了每天盈利2100元，則每件商品應(yīng)降價多少元？
（3）當(dāng)商品每件降價多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）
（2）20元 （3）當(dāng)降價17.5元時，每天的利潤最大，最大利潤是2112.5元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將數(shù)據(jù)代入（1）的函數(shù)關(guān)系式中，即可得到結(jié)果；
（3）應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出最值．
【小問1詳解】
（1），
答：與的函數(shù)關(guān)系式為．
【小問2詳解】
2）當(dāng)時，，
整理得，解得，．
∵要盡快減少庫存，∴不合題意，舍去，∴．
答：每件商品降價20元時，商場每天盈利可達到2100元．
【小問3詳解】
（3），
∵，拋物線開口向下，有最大值．
當(dāng)時，最大．
答：當(dāng)降價17.5元時，每天的利潤最大，最大利潤是2112.5元．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，及最值的判斷；根據(jù)題意準(zhǔn)確寫出二次函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，矩形中，，為邊上一動點，連接作交矩形的邊于點，垂足為
圖（1）
（1）如圖（1）中，由題意可知的關(guān)系是_____________.
（2）若，求的長；
（3）點為矩形的對稱中心（對角線交點），請直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）①如圖1，當(dāng)點F在上時，；②如圖2，當(dāng)點F在上時．則可求出答案；
（3）求出，當(dāng)G與A重合時，最長，此時，則可求出答案．
【小問1詳解】
證明：如圖1，四邊形是矩形，，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵四邊形是矩形，
∴．
①如圖1，當(dāng)點F在上時，．
∵，
∴．
∴，即，
∴；
②如圖2，當(dāng)點F在上時，．
同（1）可證，
∴，
∴，即，
∴，
∴或；
【小問3詳解】
解：G點在以的中點為圓心，長為半徑的弧上運動．
設(shè)中點為M點．連接．則最小值為?圓M的半徑．
∵，
∴
∵半徑為，則，
∴，
當(dāng)G與A重合時，最長，此時，
∴．
【點睛】此題考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識與方法，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．x
…
0
1
2
…
y
…
5
0
5
…

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06，河南省鄭州市金水區(qū)實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題：

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