（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
2．復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C． D．
3．已知為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為3，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．己知正三棱臺(tái)的上，下底面的邊長(zhǎng)分別為6和12，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．脫胎漆器、油紙傘、角梳并稱(chēng)為“福州三寶”，名揚(yáng)海內(nèi)外，福州油紙傘的制作工藝非常巧妙．如圖1，傘不管是張開(kāi)還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動(dòng)如圖2，傘完全收攏時(shí)，傘圈D已滑到的位置，且三點(diǎn)共線，，B為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開(kāi)到完全收找，傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為，則當(dāng)傘完全張開(kāi)時(shí)，的余弦值是（ ）
圖1 圖2
A． B． C． D．
7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線l與E的右支交于點(diǎn)P，Q設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別是M，N，直線OM，ON的斜率分別是，則，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。
9．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為
B，“”是“直線與直線平行”的充要條件
C．若正數(shù)a，b滿足，且，則
D．已知為兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，若，則
10．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則（ ）
A．常數(shù)數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．為遞減數(shù)列 D．是等差數(shù)列
11．在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，，則（ ）
A．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面是菱形
B．平面平面BCD
C．異面直線AC，BD互相垂直
D．三棱錐外接球的表面積為
12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為4，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．若，則直線l的斜率為 D．有最大值
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知，則__________．
14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________．
①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上；②離心率為；③焦距大于8．
15．已知的半徑是1，點(diǎn)P滿足，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則當(dāng)___________時(shí)取得最大值．
16．已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，P為AC的中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是棱DP上的動(dòng)點(diǎn)，N是平面ECD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段DN的長(zhǎng)度等于___________．
四、解答題：本題共6小題，共70分，17題10分，其他小題各12分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求的大??；
（2）若，直線PQ分別交AB，BC于P，Q兩點(diǎn)，且PQ把的面積分成相等的兩部分，求的最小值．
18．己知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且．
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）從中最次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)……第項(xiàng)，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）試求BF的長(zhǎng)，使平面AEF與平面PCD夾角的余弦值為．
20某公司食堂每天中午給員工準(zhǔn)備套餐，套餐只有A、B、C三種，公司規(guī)定：每位員工第一天在3個(gè)套餐中任意選一種，從第二天起，每天都是從前一天沒(méi)有吃過(guò)的2種套餐中任意選一種．
（1）若員工甲連續(xù)吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A”的概率；
（2）設(shè)員工甲連續(xù)吃了5天的套餐，其中選擇“套餐B”的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
21．己知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)E（異于A，B兩點(diǎn)）在橢圓C上，直線EA與EB的斜率之積為，橢圓C的短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)Q是橢圓C長(zhǎng)軸上的不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作斜率不為0的直線l，l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P，N，若為定值，則稱(chēng)點(diǎn)Q為“穩(wěn)定點(diǎn)”，問(wèn)：是否存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn)？若有，求出所有的“穩(wěn)定點(diǎn)”；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為m，n，且．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式恒成立（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)k的取值范圍．

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