2022-2023學年江蘇省南通市海安高級中學高一下學期階段檢測(一)數(shù)學試題-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)式有意義及一元二次不等式的解法，結(jié)合并集的定義即可求解.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以.
故選：C.
2. 設，，，則有（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用輔助角公式化簡a，正切二倍角公式和放縮放化簡b，余弦二倍角公式化簡c，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較可得.
【詳解】，
，
，
當，單調(diào)遞增，
所以，所以.
故選：C
3. 已知向量的夾角為，且，則在上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡求出，進而求出在上的投影向量.
【詳解】由題意得，
.
解得.
從而，b在a方向上的投影為.
故選：A.
4. 已知，，則的值為（）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將已知條件化簡后兩邊平方，由此求得的值，進而求得的值.
【詳解】由于，所以，所以
由化簡得，
兩邊平方得，
即，解得（負根舍去），
由于，所以.
故選：A.
5. 如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設初始正方形ABCD的邊長為，則＝（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算和數(shù)量積運算計算即可.
【詳解】解：由題意可知，，
故選：B．
6. 已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡可得，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出.
【詳解】

，
值域為，畫出函數(shù)圖象，
考慮一個周期內(nèi)的情況，
則可得或滿足題意，
所以，即的最小值是.
故選：C.
7. 騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，均是邊長為4的等邊三角形．設點P為后輪上的一點，則在騎行該自行車的過程中，的最大值為（）
A. B. 12C. D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：利用平面向量數(shù)量積的定義及運算律即可得解；
解法二：建立直角坐標系，將數(shù)量積最大值問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解.
【詳解】解法一：由題意，
，
當且僅當，即同向時等號成立，
所以的最大值為.
故選：A.
解法二：去除不必要的線條和圖案，以E為原點，直線AD為x軸建立直角坐標系如下圖：
則有，設，，
，其中在圓D上，
令，則原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，求目標函數(shù)z的最大值，
顯然當圓D與直線在x軸上方相切時z最大，
即；
故選：A.
8. 若，函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利輔助角公式可得（其中），再利用換元法令，從而得到的取值范圍.
【詳解】因為（其中）．
令，因為，所以．
因為，且，所以，
故，即．
當時，單調(diào)遞減，
因為，
所以．
故選：D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，至少有兩項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知非零向量，則下列命題正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 向量在向量上的投影向量為
D. 向量共線的充分必要條件是存在唯一的實數(shù)，使
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律判斷A、B，根據(jù)投影向量的定義判斷C，根據(jù)向量共線的充要條件判斷D.
【詳解】解：因為、為非零向量，
對于A：若，則，即，
所以，所以，故A正確；
對于B：若，則，即，故B錯誤；
對于C：向量在向量上的投影向量為，故C正確；
對于D：因為、為非零向量，所以向量、共線的充分必要條件是存在唯一的實數(shù)，使，故D正確；
故選：ACD
10. 已知函數(shù)，則（）
A. 的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
B. 在上單調(diào)遞增
C. 在內(nèi)有2個零點
D. 在上的最大值為
【答案】BC
【解析】
【分析】A.根據(jù)函數(shù)的平移判斷；B.求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間來判斷；C.求出函數(shù)的零點來判斷；D.求出函數(shù)的最大值來判斷；
【詳解】由題得，
由的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，所以選項A錯誤；
令，
得其增區(qū)間為，
所以在上單調(diào)遞增，所以選項B正確；
令得，
得，又．
所以可取，即有2個零點，所以選項正確；
由得，
所以，所以選項D錯誤．
故選：BC．
11. 對任意的銳角，下列不等關(guān)系恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，C選項，利用三角恒等變換的公式化簡即可得到恒成立的不等式，對于B，D選項，利用特殊值排除即可.
【詳解】對于A，若，則，
整理可得：，
對任意的銳角，恒成立，故A正確；
對于B，，
當，，，，故B不正確；
對于C，若，則，
整理可得：，
對任意的銳角，恒成立，故C正確；
對于D，，
當，，，，故D不正確.
故選：AC
12. 已知的重心為G，點E是邊上的動點，則下列說法正確的是（）
A.
B. 若，則的面積是面積的
C. 若，，則
D. 若，，則當取得最小值時，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)三角形重心的向量性質(zhì)判斷A，由向量的線性運算求得與的關(guān)系，判斷B，由數(shù)量積的定義計算判斷C，設，計算數(shù)量積后求最小值，從而可計算出判斷D．
【詳解】因為的重心為G，所以，所以，A錯；
，B正確；
，，是等腰三角形，，
是銳角，，
，
，C正確；
設，，
，
所以時，取得最小值，
此時， D正確．
故選：BCD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：
①函數(shù)的圖象不過原點；
②對任意，都有；
③對任意，都有.
請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式為______（答案不唯一，寫出一個即可）．
【答案】
【解析】
【分析】由②可知函數(shù)為偶函數(shù)，由③可知函數(shù)的周期為，結(jié)合不過原點，即可寫出函數(shù)的一個解析式．
【詳解】由題意，根據(jù)②可知函數(shù)為偶函數(shù)，由③可知函數(shù)的周期為，
再由函數(shù)不過原點，則滿足的函數(shù)如
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應用，開放性問題的解決方案，屬于基礎題．
14. 已知向量，則“”是“向量夾角為鈍角”的____________條件．（從充要，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要中選擇）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】首先求解兩向量為鈍角時，的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，判斷充分，必要條件.
【詳解】若向量夾角為鈍角，則，得，
若兩向量平行，有，得，
所以向量夾角為鈍角，得且，
且?，
所以“”是“向量夾角為鈍角”的必要不充分條件.
故答案為：必要不充分條件
15. 設，利用三角變換，估計在時的取值情況，猜想對x取一般值時的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】分別計算的取值范圍，數(shù)學歸納，猜想對任意x時的取值范圍.
【詳解】當時，；
當時，
，；
當時，
，
；
由以上規(guī)律可以猜想：當時，的取值范圍是；
故答案：.
16. 17世紀法國數(shù)學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小，現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當點P滿足時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人們稱為費馬點．根據(jù)以上知識，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】讀懂題意，建立直角坐標系，將向量求模問題轉(zhuǎn)化為費馬點問題.
【詳解】以為x軸，為y軸，建立直角坐標系如下圖，設，
則，，
即為平面內(nèi)一點到三點的距離之和，
由費馬點知：當點與三頂點構(gòu)成的三角形ABC為費馬點時最小，
將三角形ABC放在坐標系中如下圖：
現(xiàn)在先證明的三個內(nèi)角均小于：
，，
，
為銳角三角形，滿足產(chǎn)生費馬點的條件，又因為是等腰三角形，
點P必定在底邊BC的對稱軸上，即y軸上，，
，即，
現(xiàn)在驗證：
，
，，同理可證得，
即此時點是費馬點，到三個頂點A，B，C的距離之和為，即的最小值為；
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知向量．
（1）若向量與垂直，求實數(shù)k的值；
（2）若向量，且與向量平行，求實數(shù)k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的線性運算與向量垂直的坐標表示即可得解；
（2）利用向量的線性運算與向量平行的坐標表示即可得解；
【小問1詳解】
因為，
所以，
又與垂直，
所以，即，解得，
所以.
【小問2詳解】
因為，，
因為，
又與向量平行，
所以，即，解得，
所以.
18. 設函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當時，求函數(shù)的最大值和最小值并求出對應的x．
【答案】（1），
（2）最大值為，此時，最小值為，此時
【解析】
【分析】（1）首先化簡函數(shù)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)公式，即可求周期和單調(diào)性；
（2）根據(jù)求的范圍，再求函數(shù)的最值.
【小問1詳解】
，
所以的最小正周期是，
由，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
【小問2詳解】
當時，，
此時，可得，
綜上，最大值為，此時，得
最小值為，此時此時，得．
19. 平面內(nèi)給定三個向量，且．
（1）求實數(shù)k關(guān)于n的表達式；
（2）如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設向量，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量平行的坐標運算求解即可；
（2）由向量的運算得出，再由三點共線，得出，再由基本不等式求最值.
【小問1詳解】
因為，
所以，即.
【小問2詳解】
由（1）可知，，，由題意可知
因為，所以
又，，所以.
因三點共線，所以.
當且僅當時，取等號，即時，取最小值.
20. 如圖，一個半圓和長方形組成的木塊，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個等腰三角形，其底邊，點在半圓上.
（1）設，求三角形木塊面積；
（2）設，試用表示三角形木塊的面積，并求的最大值.
【答案】（1）；（2）,的面積最大值為
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造垂線，將、的長度進行轉(zhuǎn)化，的長度即為的值，的長度即為的值，從而求解出；
（2）根據(jù)第（1）問的轉(zhuǎn)化方法，同理可以得出的表達式，然后將看成整體進行換元，進而將面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)，從而求解出最值.
【詳解】解：（1）過點作交于點，設交于點，
所以,
，
所以；
（2）因為半圓和長方形組成的鐵皮具有對稱性，
所以可只分析時的情況，
，
，
所以
，
令，，
故，
，
，
，
，
，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當時，的面積最大，最大值為.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)在實際問題中的應用，考查了三角函數(shù)的值域問題，三角函數(shù)中與的聯(lián)系等等，考查了學生綜合應用能力.
21. 在中，已知，，且．
求的值；
求證：．
【答案】（1）；（2）詳見解析.
【解析】
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進而可求的值．
利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，由于在單調(diào)遞減，且，，即可證明．
【詳解】（1）由題意，因為，，
所以，所以
證明：因為，可得：，
，
，
又，所以，
在單調(diào)遞減，且，，
，即得證
【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦函數(shù)的單調(diào)性的綜合應用，其中解答中熟記同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
22. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，點為與軸的交點，點分別為的最高點和最低點，而函數(shù)的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且其在處取得最小值．
（1）求參數(shù)和的值;
（2）若，求向量與向量夾角的余弦值;
（3）若點P為函數(shù)圖象上的動點，當點在之間運動時，恒成立，求A的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由對稱軸之間的距離可得周期，根據(jù)周期求出，利用在處取得最小值求出；
（2）由函數(shù)解析式求出零點，根據(jù)向量的坐標求夾角即可；
（3）設，利用向量數(shù)量積的坐標表示出，觀察取最小值時點P位置，然后根據(jù)最小值大于等于1可得A的取值范圍.
【小問1詳解】
因為相鄰兩條對稱軸之間的距離為
所以
又時，取最小值
則，
，
又，則
【小問2詳解】
因為，所以，
則，，
則
則
【小問3詳解】
是上動點，
，
又恒成立
設
，
易知在或處有最小值，在或處有最大值
所以當或時，有最小值
即當在或時，有最小值，此時或
為時，，
，得
又，則
為時，，
，解得
綜上，

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多