1.集合及其表示(1)集合的含義:一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合.(2)集合元素的特性:確定性、互異性和無(wú)序性.(3)元素與集合的關(guān)系:a是集合A的元素,記作a∈A;a不是集合A的元素,記作a?A.(4)常用數(shù)集:自然數(shù)集N,正整數(shù)集N*或N+,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實(shí)數(shù)集R.(5)集合的表示方法:列舉法、描述法、圖示法.
2.集合的基本關(guān)系(1)子集:一般地,對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集,記作A?B(或B?A),讀作“A包含于B”(或“B包含A”).(2)真子集:如果集合A?B,但存在元素x∈B且x?A,就稱集合A是集合B的真子集,記作A?B(或B?A),讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”).(3)空集:不含任何元素的集合叫做空集,記作?.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
考向1 集合間的關(guān)系
典例1(1)(2023浙江寧波效實(shí)中學(xué))集合{0,1,2}的子集個(gè)數(shù)為(　　)A.3B.4C.6D.8
解析集合{0,1,2}的子集個(gè)數(shù)為23=8,故選D.
解析滿足{1,2}?M?{1,2,3,5}的集合M有{1,2},{1,2,3},{1,2,5},{1,2,3,5},共4個(gè).
歸納總結(jié)n個(gè)元素的集合的子集的個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為2n-1.
考向2 集合的基本運(yùn)算
典例2(1)(2022浙江學(xué)考)已知集合A={0,1,2},B={1,2,3,4},則A∩B=(　　)A.?B.{1}C.{2}D.{1,2}
解析 (1)∵A={0,1,2},B={1,2,3,4},∴A∩B={1,2}.故選D.
(2)(2023浙江精誠(chéng)聯(lián)盟)已知集合A={x|2x>1},B={x|ln x>1},則集合A∩(?RB)為 (　　)A.{x|0e}D.{x|x≤0}
解析由題知A=(0,+∞),B=(e,+∞),∴A∩(?RB)=(0,+∞)∩(-∞,e]=(0,e],故選A.
典例3(2023浙江臺(tái)州高一期末)某學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì),期間有教工趣味活動(dòng)“你追我趕”和“攜手共進(jìn)”,數(shù)學(xué)組教師除5人出差外,其余都參加活動(dòng),其中18人參加了“你追我趕”,20人參加了“攜手共進(jìn)”,同時(shí)參加兩個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)不少于8人,則數(shù)學(xué)組教師人數(shù)至多為(　　)A.36B.35C.34D.33
解析 記A為參加“你追我趕”活動(dòng)的教師的集合,B為參加“攜手共進(jìn)”活動(dòng)的教師的集合,則card(A)=18,card(B)=20,card(A∩B)≥8,∴card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)≤18+20-8=30,∴數(shù)學(xué)組教師人數(shù)最多為30+5=35.
歸納總結(jié)試題中的集合可以是數(shù)集,如函數(shù)的定義域、值域,方程、不等式的解集,也可以是點(diǎn)集,如二元不等式的解集、直線、圓、圓錐曲線的點(diǎn)集,審題時(shí)首先應(yīng)認(rèn)清集合,再用集合的知識(shí)解題,特別要注意空集的特殊情形.
考向3 常用邏輯用語(yǔ)
(2)(2022浙江學(xué)考)已知空間中兩條不重合的直線a,b,則“a,b沒有公共點(diǎn)”是“a∥b”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解析由題意知a與b沒有公共點(diǎn),則a,b可以異面,由前推不出后;由a∥b,則a與b沒有公共點(diǎn),由后可以推前,“a與b沒有公共點(diǎn)”是“a∥b”的必要不充分條件.故選B.
歸納總結(jié)充分條件、必要條件命題的背景是十分廣泛的,遍布整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí).充分條件、必要條件的判定常用兩種方法:一是利用定義推理的方式,二是利用集合間的包含關(guān)系.此外也可通過(guò)反例的方式判定.
典例5(多選)下列命題的否定為真命題的是(　　)A.有理數(shù)是實(shí)數(shù)B.有些平行四邊形不是菱形C.?x∈R,x2-2x>0D.?x∈R,x2+2x+2≤0
解析 對(duì)于選項(xiàng)A,實(shí)數(shù)分為有理數(shù)與無(wú)理數(shù),是真命題,則其否定是假命題,所以A不滿足;選項(xiàng)B是真命題,其否定是假命題,所以B不滿足;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x=1時(shí),x2-2x=-10”是假命題,則其否定“?x∈R,x2-2x≤0”是真命題,所以C滿足;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閤2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,所以“?x∈R,x2+2x+2≤0”是假命題,所以其否定“?x∈R,x2+2x+2>0”是真命題,所以D滿足.故選CD.
歸納總結(jié)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.判斷原命題的真假可通過(guò)判斷其否定的真假來(lái)實(shí)現(xiàn).
考向4　 集合、簡(jiǎn)易邏輯用語(yǔ)中的綜合問題
典例6(2023浙江杭州)已知集合A={x|y=ln(2x2-x-6)},B={x|9x+m-27>0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________。
歸納總結(jié)當(dāng)利用集合的基本關(guān)系處理有關(guān)問題時(shí),注意利用Venn圖或數(shù)軸得出條件,特別要注意不要遺漏含參集合的空集情形.
典例7(2023浙江鎮(zhèn)海中學(xué))已知全集U=R,設(shè)集合A={x|(x+2)(2-x)≥0},B={x|a2-3≤x≤2a,a∈R}.(1)若a=2,求(?UA)∪B;
(2)若B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
典例8(2023浙江紹興)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x-3

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