本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號填涂在相應(yīng)位置。
2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。
4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則等于
A．B．C．D．
2．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則等于
A．15B．1C．D．
4．已知向量，的夾角為且，，則在上投影向量的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
5．“”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時，線段的長為
A．4B．C．D．2
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，以為直徑的圓截軸所得的弦長為1，則等于
A．2B．2或4C．4D．4或6
8．隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，，是直線與曲線的兩個交點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是
A．的值為3B．的值為2C．的值可以為D．的值可以為10．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（單位：）的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
①甲地：5個數(shù)據(jù)中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；
②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24；
③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，總體方差為10.8，
則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有
A．一個都沒有B．甲地C．乙地D．丙地
11．定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則
A．是奇函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于直線對稱D．
12．如圖，雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，為右支上一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），，，，直線與雙曲線的漸近線交于、，為線段的中點(diǎn)，則
A．雙曲線的離心率為
B．到兩條漸近線的距離之積為
C．
D．若直線與的斜率分別為，，則
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．
13．若的展開式中的系數(shù)為15，則_________．
14．已知直線的傾斜角為，則的值是_________．
15．已知函數(shù)若方程恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，，則的最大值是_________．
16．已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，數(shù)列為公比小于1的等比數(shù)列，且滿足，，設(shè)，在數(shù)列中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分）在中，角，，的對邊分別是，，，已知且．
（1）若，求；
（2）若邊上的高是，求的最大值．
18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過，周期為．
（1）求解析式；
（2）在中，角，，的對邊分別為，，，的角平分線交于，若恰為的最大值，且，求的最小值．
19．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式．
20．（本小題滿分12分）某校高一200名學(xué)生的期中考試語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如右圖：
（1）計算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高（假設(shè)數(shù)學(xué)成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）；
（2）如果成績大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少人？
（3）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從（2）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附參考公式：若，則
，
21．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，且．
①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．
②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．
22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；
（2）若有兩個極值點(diǎn)，且不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
2023-2024學(xué)年普通高中高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B
二、選擇題
9．AD 10．BD 11．ABD 12．ACD
三、填空題
13．3 14． 15． 16．
四、解答題
17．解：（1）由可得：
，
即：．
即，又，，
由正弦定理得：．
（2）由題意，
，
，
時，取得最大值．
18．解：（1）周期為，，
圖象經(jīng)過，，
，又，
，
（2）的最大值2，
，得，
，，，
，
，
，即，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
又，即當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，
所以的最小值為．
19．解：（1）當(dāng)時，，所以．
當(dāng)時，，．
兩式相減得：，即．
故．
故．
（2）令，
則
，
為等差數(shù)列．
．
20．解：（1）數(shù)學(xué)成績的平均分為
，
根據(jù)語文成績的正態(tài)分布知語文平均分為70分，所以語文平均分高些．
（2）因?yàn)檎Z文成績優(yōu)秀的概率為，
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率為，
所以語文成績優(yōu)秀人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀人數(shù)為．
（3）語文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有6人，所有可能的取值為0，1，2，3．
，，，．
的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望．
21．解：（1）當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時，的面積取最大值，
且最大值為，
由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）①設(shè)點(diǎn)、．
若直線的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則，不合乎題意．
設(shè)直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右頂點(diǎn)，則，
聯(lián)立可得，
，可得，
由韋達(dá)定理可得，，則，
所以
，解得，
即直線的方程為，故直線過定點(diǎn)．
②由韋達(dá)定理可得，，
所以，
，
，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
故，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因此，的最大值為．
22．解：（1），，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以，恒成立，即，恒成立，
記，則，由，由，
所以在上遞增，在上遞減，又當(dāng)時，，
所以，即實(shí)數(shù)的最大值為；
（2）因?yàn)槭堑膬蓚€極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由．
因?yàn)?，兩邊取自然對?shù)得，
即，
令，則在恒成立，
所以在恒成立，
令，則．
①當(dāng)，即時，，在上遞增，所以恒成立，滿足題意；
②當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時，，
所以，在不能恒成立，不滿足題意，
綜上，的取值范圍是．
0
1
2
3

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