（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知全集，，則集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韋恩圖即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，所以.
故選：C.
2. 已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別交于兩點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)．若，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算得到，再由三點(diǎn)共線，即可求解.
【詳解】如圖所示，由三角形重心的性質(zhì)，可得，所以，
所以，即，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，所以.
故選：A．

3. 已知函數(shù)滿足，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
則，
所以，.
故選：A
4. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可得，解得，
所以
故選：C.
5. 已知復(fù)數(shù)滿足：，則的最大值為（ ）
A. 2B.
C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，其中，則，
∵，
∴，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
∴即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，
∴的最大值為.
故選：B.
6. 拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則的值是（ ）
A. 0B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合拋物線的定義，得到，即可求解.
【詳解】由題意，直線斜率一定存在，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，則，
由拋物線的定義，可得，
則，所以.
故選：B．

7. 已知三棱錐的外接球半徑為，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先設(shè)的中點(diǎn)為，為的外接圓圓心；的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，由正弦定理確定，在中由勾股定理確定，在中由勾股定理確定，作出二面角的平面角，求即可.
【詳解】
不妨設(shè)二面角為銳角，設(shè)的中點(diǎn)為，
因?yàn)椋詾橥饨訄A圓心；設(shè)的外接圓圓心為，
三棱錐的外接球球心為，如圖，連接，，，，
則平面，平面，，
在中，，，
所以由正弦定理知，所以；
在中，由，得；
在中，由，，得；
在中，，，則；
所以在中，，從而；
在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于，
則為二面角的平面角，易知，
所以.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，則，，即，等價(jià)于，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可得出答案.
【詳解】
，
則，即，
即，即，
則，
等價(jià)于，
令，
因?yàn)槎际窃龊瘮?shù)，
所以函數(shù)是增函數(shù)，
則，即為，
所以，
所以，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以，
所以的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列函數(shù)中，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，把代入驗(yàn)證即可判斷得解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A不是；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B是；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C是；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，正切值不存在，D是.
故選：BCD
10. 袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，1個(gè)黑球，從中取三次球，每次取一個(gè)球，取球后不放回，設(shè)事件，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. A與B相互獨(dú)立D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法，結(jié)合古典概率逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.
【詳解】紅球，黃球，藍(lán)球，黑球分別記為，不放回取球三次的試驗(yàn)的樣本空間：
，共24個(gè)，它們等可能，
，共6個(gè)，，共6個(gè)，
，共6個(gè)，，共2個(gè)，
，共10個(gè)，
，AB正確；
，A與B相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；
，D正確，
故選：ABD
11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點(diǎn)A，B，C，D，P，Q分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B.
C. 若F恰好為的中點(diǎn)，則直線的斜率為
D. 直線過定點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)直線的方程、，，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示、，結(jié)合弦長公式計(jì)算即可判斷A；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示和基本不等式即可判斷B；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而求得，結(jié)合兩點(diǎn)表示斜率公式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程表示直線PQ方程，即可求出直線恒過的定點(diǎn)，進(jìn)而判斷D.
【詳解】A：設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組得，則，，
所以，同理可得，
所以，故A正確；
B：由選項(xiàng)A知，，
因?yàn)镻分別為的中點(diǎn)，所以，同理可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確．
C：，若F為的中點(diǎn)，則．因?yàn)椋?br>所以．所以，故，
所以，故C錯(cuò)誤．
D：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，所以直線的方程為，
整理得，所以直線過定點(diǎn)；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，直線的方程為，過點(diǎn)，
所以直線過定點(diǎn)．故D正確．
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
12. 已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 是的極大值點(diǎn)
B. 使得
C. 若方程為參數(shù)，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是
D. 方程有且只有兩個(gè)實(shí)根．
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，畫出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，；
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，，故恒成立，
畫出的大致圖像如圖所示.
∴是的極大值點(diǎn)，故A正確．
結(jié)合圖像可知，B正確．
方程等價(jià)于或，
由圖知有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
要使原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于只有一解．
由圖可得：或，故C錯(cuò)；

分別畫出與的圖像，由圖可得兩函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．
故選：AB
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)，分別研究與的圖象，從而數(shù)形結(jié)合即可得解.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 校運(yùn)會(huì)期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，學(xué)生會(huì)將從6名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有______種．
【答案】
【解析】
【分析】先安排鉛球工作，再安排其他兩項(xiàng)工作進(jìn)而求解.
【詳解】依題意，分兩步：①在甲乙之外人中任選人，承擔(dān)鉛球記錄工作，有種情況；②在剩下的人中任選人，承擔(dān)跳高和跳遠(yuǎn)記錄工作，有種情況，則不同的安排方法有種
故答案為：
14. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差不為0，若，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式列式計(jì)算即得.
【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，整理得，
所以.
故答案為：1
15. 已知一個(gè)圓錐內(nèi)切球的半徑為3，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的母線長為______．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，列出關(guān)于底面半徑和母線長的方程組，解方程組可得.
【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線長為l．如圖：為圓錐的軸截面
所以
由①得③．
由得④．
將③代入④，得或，
所以或．
故答案為：或.
16. 若對(duì)任意，，恒有，則正整數(shù)的最大值為______.
【答案】4
【解析】
【分析】由題，任意，，，后構(gòu)造函數(shù)（）與函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得，則可將問題求使得的最大的正整數(shù).
【詳解】由題，任意，，.
令（），則.
令得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有最大值.
令（），則.令，.
當(dāng)時(shí)，在，，此時(shí)，必有成立；
故考慮，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有最小值.
則，即.兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，即求最大的使得.因，則上述不等式可轉(zhuǎn)化為.
令，本題即求使得的最大的正整數(shù).
恒成立，則在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，，則使成立的最大正整數(shù)為4.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題涉及恒成立問題，常利用最值解決問題.本題將不等式兩邊作為整體所構(gòu)造函數(shù)較為復(fù)雜，故適當(dāng)變形后，不等式兩邊分別構(gòu)造函數(shù).
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.
17. 已知在中. 所對(duì)的邊分別為,若，的面積為.
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】(1)由三角形的面積為得到，由余弦定理以及得到，進(jìn)而可求出，得到角；
(2)由(1)的結(jié)果，先求出，根據(jù)，即可求出，再由正弦定理可得，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由的面積為可得 ，
由及余弦定理可得，
故;
(2)∵
又，可得
由正弦定理，,得
【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理和余弦定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，即，和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由結(jié)合(1)并列項(xiàng)得，再根據(jù)裂項(xiàng)求和得，進(jìn)而即可證明.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，
又，，．
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列，所以．
【小問2詳解】
證明：，
因?yàn)椋?br>所以
，
因?yàn)?，所以?br>19. 如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成.其中，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.
（1）證明：四點(diǎn)共面；
（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求長.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）連接，由題意可得，根據(jù)平行線性質(zhì)有，即可證結(jié)論；
（2）法1：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角列方程求線段長；法2：取中點(diǎn)，連接，過作于，過作于，連接，利用線面垂直及面面角定義有是平面與平面所成的夾角，根據(jù)已知列方程求線段長.
【小問1詳解】
連接，因?yàn)椋?br>所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，
在半圓上，是弧中點(diǎn)，所以，
所以，又，
所以，所以四點(diǎn)共面.
【小問2詳解】
法1：直棱柱中，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)面的法向量為，則，取，所以，
，
設(shè)面的法向量為，則，取，所以，
平面與平面所成夾角，即與夾角或其補(bǔ)角，
所以，解得，所以
法2：設(shè)，由（1）知四點(diǎn)共面，則面面.

取中點(diǎn)，連接，則，而面，面，
故，，面，則平面，
過作于，又平面，所以平面，
過作于，連接，則，又是銳角.
所以是平面與平面所成的夾角，則，
所以在Rt中，，
在中，根據(jù)等面積法，
在中，.
所以.
所以，解得，即，
所以.
20. 為參加涼山州第八屆“學(xué)憲法講憲法”演講比賽，某校組織選拔活動(dòng)，通過兩輪比賽最終決定參加州級(jí)比賽人選，已知甲同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為，乙同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為．若甲、乙能進(jìn)入第二輪，在第二輪比賽中甲、兩人能勝出的概率均為．假設(shè)甲、乙第一輪是否晉級(jí)和在第二輪中能否勝出互不影響．
（1）若甲、乙有且只有一人能晉級(jí)第二輪的概率為，求的值；
（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩人中有且只有一人能參加州級(jí)比賽的概率．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式可分別計(jì)算甲、乙贏得比賽的概率，可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)事件表示“甲在初賽中晉級(jí)”，事件表示“乙在初賽中晉級(jí)”，
由題意可知，，
解得.
【小問2詳解】
設(shè)事件為“甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級(jí)比賽”，為“甲能參加市級(jí)比賽”，為“乙能參加市級(jí)比賽”，
則，
，
所以.
21. 已知橢圓方程為（），離心率為且過點(diǎn).
（1）求橢圓方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，證明：直線、的斜率乘積為定值；
（3）過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立？若存在，求此時(shí)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）證明見解析. （3）存在，使成立，最小為3.
【解析】
【分析】（1）由離心率和頂點(diǎn)得橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P，A的坐標(biāo)，由對(duì)稱性得點(diǎn)B的坐標(biāo)，計(jì)算斜率之積，證明為定值；
（3）按直線MN斜率是否為零分類討論，計(jì)算及，并求的最小值.
【小問1詳解】
由題，，，所以，
橢圓的方程為.
【小問2詳解】

證明：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，，
同理設(shè)點(diǎn)，則，，
因?yàn)橹本€AB過原點(diǎn)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)，
.
【小問3詳解】

，當(dāng)直線MN斜率為零時(shí)，不妨設(shè)，，
則，，，，
存在，使成立，
當(dāng)直線MN斜率不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，，，
聯(lián)立方程組，消去x得，易知，
所以，，，
，
又因?yàn)?，?br>所以，，
又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，最小為3，
綜上，存在，使成立，最小為3.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)且斜率不為零的直線可以設(shè)為.
22. 設(shè)函數(shù)．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；
（2）若當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)時(shí)，求證：．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解；
（2）構(gòu)建，由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒有，且，結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)分析求解；
（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，，令，，可得，再令，可得，利用累加法分析證明.
【小問1詳解】
因?yàn)?，則，
則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，
由題意可得：，解得.
【小問2詳解】
令，
則，
由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒有，且，
則，解得，
若，則有：
①當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，可知?br>令，
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，符合題意；
③當(dāng)時(shí)， 令，
則，
因?yàn)椋瑒t，，
可知在內(nèi)恒成立，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，符合題意；
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【小問3詳解】
由（2）可知：當(dāng)時(shí)，，
令，可得，
令，則，則，整理得，
令，則，整理得，
則，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．

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