專題13.5 期末專項復(fù)習之二元一次方程組十四大必考點-2022-2023學年七年級數(shù)學下冊舉一反三系列（蘇科版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2121" 【考點1 二元一次方程（組）的概念】 PAGEREF _Tc2121 \h 1
\l "_Tc10158" 【考點2 二元一次方程組的解】 PAGEREF _Tc10158 \h 3
\l "_Tc16287" 【考點3 解二元一次方程組】 PAGEREF _Tc16287 \h 5
\l "_Tc6815" 【題型4 同解方程組】 PAGEREF _Tc6815 \h 8
\l "_Tc20890" 【題型5 二元一次方程組的錯解復(fù)原問題】 PAGEREF _Tc20890 \h 11
\l "_Tc868" 【題型6 構(gòu)造二元一次方程組求解】 PAGEREF _Tc868 \h 14
\l "_Tc7619" 【考點7 二元一次方程的整數(shù)解】 PAGEREF _Tc7619 \h 16
\l "_Tc25507" 【考點8 二元一次方程組的特殊解法】 PAGEREF _Tc25507 \h 20
\l "_Tc9850" 【考點9 二元一次方程組的新定義問題】 PAGEREF _Tc9850 \h 23
\l "_Tc26179" 【考點10 二元一次方程（組）的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc26179 \h 26
\l "_Tc31980" 【考點11 二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 PAGEREF _Tc31980 \h 29
\l "_Tc10776" 【考點12 二元一次方程（組）的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc10776 \h 34
\l "_Tc13712" 【考點13 三元一次方程組的解法】 PAGEREF _Tc13712 \h 39
\l "_Tc26341" 【考點14 三元一次方程組的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26341 \h 42
【考點1 二元一次方程（組）的概念】
【例1】（2022·浙江·義烏市稠州中學教育集團七年級階段練習）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③x2?5x＝5，④x﹣1y+2＝0中，為二元一次方程的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程進行判斷．
【詳解】解：①2x﹣3y＝1，符合二元一次方程的定義，是二元一次方程；
②xy＝﹣2，含未知數(shù)的項的次數(shù)是2，不是二元一次方程；
③x2?5x＝5，含未知數(shù)的項的次數(shù)是2，不是二元一次方程；
④x﹣1y+2＝0不是整式方程，不是二元一次方程；
故選：A．
【點睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．
【變式1-1】（2022·上?！て谀┫铝蟹匠探M中，二元一次方程組有（ ）
①4x+y=2x?2y=?3；②2x?y=1y+z=1；③x=3y?5=0；④x?2y2=3x+3y=1．
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】C
【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．
【詳解】解：①、符合二元一次方程組的定義，故①符合題意；
②、第一個方程與第二個方程所含未知數(shù)共有3個，故②不符合題意；
③、符合二元一次方程組的定義，故③符合題意；
④、該方程組中第一個方程是二次方程，故④不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題時需要掌握二元一次方程組滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個未知數(shù)．③每個方程都是一次方程．
【變式1-2】（2022·全國·八年級單元測試）已知(a?2)x+a2?3+y=1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值為________．
【答案】a≠2
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程可得a?2≠0，再解即可．
【詳解】解：依題意得：a?2≠0，
解得a≠2．
故答案是：a≠2．
【點睛】本題考查二元一次方程的定義．熟記二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學七年級期末）關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常數(shù)），b=a+1，c=b+1，對于任意一個滿足條件的a，此二元一次方程都有一個公共解，這個公共解為_________．
【答案】x=?1y=2
【分析】由ax+by=c，b=a+1，c=b+1，得ax+ay+y=a+2，由對于任意一個滿足條件的a，此二元一次方程都有一個公共解即可求解；
【詳解】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1，
∴ax+ay+y=a+2
∵對于任意一個滿足條件的a，此二元一次方程都有一個公共解
∴令a=0，則y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2
得：ax=-a，
∴x=-1，
∴公共解為x=?1y=2．
【點睛】本題主要考查二元一次方程，由b=a+1，c=b+1得到ax+ay+y=a+2是解題的關(guān)鍵．
【考點2 二元一次方程組的解】
【例2】（2022·浙江·華東師范大學附屬杭州學校七年級期末）方程組2x+y=?x+y=3的解為x=2y=?，則被遮蓋的兩個數(shù)▲和■分別為( )
A．1，2B．5，1C．2，3D．2，4
【答案】B
【分析】將x=2代入x+y=3中求出y的值，將x，y的值代入2x+y求值即可得出答案．
【詳解】解：將x=2代入x+y=3中得：y=1，
2x+y=2×2+1=5，
故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解是方程組兩個方程的公共解是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·陜西·商洛市山陽信毅九年制學校七年級階段練習）樂樂，果果兩人同解方程組ax+5y=15①4x=by?2②時，樂樂看錯了方程①中的a，解得x=?3y=?1，果果看錯了方程②中的b，解得x=5y=4，求a2021+?b102022的值．
【答案】0
【分析】把x=?3y=?1代入②得出?12=?b?2可求出b，把x=5y=4代入①得出5a+20=15可求出a，然后再代入求代數(shù)式的值即可．
【詳解】解：∵甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x=by?2②時，甲看錯了方程①中的a，解得x=?3y=?1，乙看錯了方程②中的b，解得x=5y=4，
∴把x=?3y=?1代入②，得?12=?b?2，解得：b=10，
把x=5y=4代入①，得5a+20=15，解得：a=?1，
∴a2021+(?b10)2022
=(?1)2021+(?1010)2022
=?1+1
=0．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次方程和代數(shù)式求值等知識點，解題的關(guān)鍵是列出關(guān)于a、b的一元一次方程求得a、b的值．
【變式2-2】（2022·江蘇·無錫市查橋中學七年級階段練習）若x=1y=?2和x=?1y=?4是某二元一次方程的解，則這個方程為（ ）
A．x+2y= -3B．2x?y=0C．y=3x?5D．x?3=y
【答案】D
【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義判斷即可．
【詳解】解：A、當x=?1，y=?4時，x+2y=-9≠-3,
故x=?1y=?4不是方程x+2y= -3的解，不符合題意；
B、當x=1，y=?2時，2x-y=2+2≠-3,
故x=1y=?2不是方程2x?y=0的解，不符合題意；
C、當x=?1，y=?4時，y=3x?5=?8≠?4，
故x=?1y=?4不是方程y=3x?5的解，不符合題意；
D、當x=1y=?2和x=?1y=?4時，方程x?y=3都成立，
故x=1y=?2和x=?1y=?4是方程x?y=3的解，故符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值即為該方程的解，掌握方程的解使方程左右兩邊相等是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·陜西漢中·七年級期末）已知關(guān)于x、y的方程組x+y=1?ax?y=3a+5，則下列結(jié)論中正確的有( )
①當a=1時，方程組的解也是方程x+y=2的解；
②當x=y時，a=?53；
③不論a取什么數(shù)，2x+y的值始終不變．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【分析】將已知代入二元一次方程組后進行判斷，可知①②是否正確；用代入消元法解二元一次方程組，然后再求2x+y即可判斷③是否正確．
【詳解】解：當a=1時，x+y=0，
故①不符合題意；
當x=y時，3a+5=0，
∴a=?53，
故②符合題意；
x+y=1?a①x?y=3a+5②，
①+②得，x=a+3，
將x=a+3代入①得，y=?2?2a，
∴2x+y=2a+6?2?2a=4，
∴2x+y的值始終不變，
故③符合題意；
故選：C
【點睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系，會用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【考點3 解二元一次方程組】
【例3】（2022·浙江·杭州市實驗外國語學校七年級期末）關(guān)于x，y方程組3x+5y=m+22x+3y=m滿足x，y的和為2，則m2?2m+1的值為______．
【答案】9
【分析】先求出方程組的解，然后結(jié)合x+y=2，求出m的值，再代入計算，即可求出答案．
【詳解】解：∵3x+5y=m+22x+3y=m，
解方程組，得x=2m?6y=?m+4，
∵x+y=2，
∴2m?6?m+4=2，
解得m=4，
∴m2?2m+1=(m?1)2=(4?1)2=9；
故答案為：9
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，方程組的解，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是正確的求出方程組的解，從而求出m的值．
【變式3-1】（2022·福建省永春烏石中學七年級階段練習）已知方程組3x+y=5ax?2y=4的解也是方程組3x?by=54x?5y=?6的解求a,b的值．
【答案】a=5,b=?1
【分析】根據(jù)題意可知兩個方程組有相同的解，即說明第一個方程組的解也適合第二個方程組，再根據(jù)二元一次方程組解的定義，即可求出答案．
【詳解】3x+y=5① 4x?5y=?6②，①×（-5）－②得，-19x=?19，解得x=1，
把x=1代入①得，3+y=5，解得y=2，
所以方程組3x+y=54x?5y=?6的解是x=1y=2，
把x=1y=2代入方程組ax?2y=43x?by=5，得a?4=13?2b=5，解得a=5b=?1，
故答案為：a=5,b=?1．
【點睛】本題考查了二元一次方程組解的定義及二元一次方程組的解法，解答此題的關(guān)鍵是要弄清題意，兩個方程組有相同的解，即說明第一個方程組的解也適合第二個方程組．
【變式3-2】（2022·山東·聊城市東昌府區(qū)水城雙語學校七年級階段練習）解方程組
(1)y=2x?43x+y=1
(2)3(x+y)?4(x?y)=4x+y2+x?y6=1
【答案】(1)x=1y=?2
(2)x=1715y=1115
【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）先化簡方程，再用加減法求解即可．
（1）
解：y=2x?4①3x+y=1②，
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
則方程組的解為x=1y=?2；
（2）
解：方程組整理得：-x+7y=4①2x+y=3②，
①×2+②得：15y＝11，
解得：y＝1115，
②×7﹣①得：15x＝17，
解得：x＝1715，
則方程組的解為x=1715y=1115．
【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握根據(jù)方程組的特征，恰當選擇代入消元法和加減消元法求解是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·江蘇泰州·七年級期末）在等式y(tǒng)＝ax2＋bx＋1中，當x＝－1時，y＝6；當x＝2時，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）當x＝－3時，求y的值．
【答案】（1）a=103，b=-53；（2）36
【分析】（1）把x、y的值分別代入y=ax2+bx+1，得出關(guān)于a、b的方程組，再求出方程組的解即可；
（2）把x=-3代入（1）中所求的結(jié)果，即可求出y．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得a?b+1=6①4a+2b+1=11②，
①×2+②，得6a+3=23，
解得：a=103，
把a=103代入①，得103-b+1=6，
解得：b=-53；
（2）y=103x2?53x+1，
當x=-3時，y=103×(?3)2?53×(?3)+1=36．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能得出關(guān)于a、b的方程組是解此題的關(guān)鍵．
【題型4 同解方程組】
【例4】（2022·山東濟寧·七年級期末）已知方程組2x?y=7ax+y=b和方程組x+by=a3x+y=8有相同的解，則a，b的值分別為（ ）
A．a(chǎn)=1b=2B．a(chǎn)=4b=?6C．a(chǎn)=?6b=2D．a(chǎn)=14b=2
【答案】A
【分析】先根據(jù)方程組2x?y=7①3x+y=8②，求出x=3，y=?1再代入ax+y=b和x+by=a中，得到關(guān)于a、b的方程組，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：2x?y=7①3x+y=8②，
由①+②得：5x=15，
解得：x=3，
把x=3代入①得：6?y=7，
解得：y=?1，
把x=3，y=?1代入ax+y=b和x+by=a中得：
3a?1=b3?b=a，解得：a=1b=2．
故選：A
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程組中的字母系數(shù)．
【變式4-1】（2022·湖北武漢·七年級期末）已知方程組3x?2y=4mx+ny=7與mx+3ny=515y?x=3有相同的解，則m+n=_______．
【答案】292
【分析】根據(jù)兩個方程組解相同，可先求出x、y的值，再將x、y的值代入其余兩個方程即可求出m、n的值．
【詳解】解：根據(jù)題意，得5y?x=33x?2y=4，
解得x=2y=1，
把x、y的值代入方程組mx+ny=7mx+3ny=51，
可得2m+n=72m+3n=51，
解得m=?152n=22．
∴m+n=292．
故答案為：292．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是先求出x、y的值．
【變式4-2】（2022·黑龍江·大慶市高新區(qū)學校七年級期末）關(guān)于x，y的兩個方程組ax?2by=22x?y=7和3ax?5by=93x?y=11有相同的解，則ab的值是（ ）
A．23B．32C．?23D．12
【答案】A
【分析】由題意知，可重新組成兩個關(guān)于x，y的兩個方程組ax?2by=23ax?5by=9和2x?y=73x?y=11，先計算不含參的二元一次方程組2x?y=73x?y=11，得x,y的值，然后代入含參的二元一次方程組ax?2by=23ax?5by=9，求a,b的值，然后代入求解即可．
【詳解】解：∵兩個方程組同解
∴可知關(guān)于x，y的兩個方程組ax?2by=23ax?5by=9和2x?y=73x?y=11有相同的解
解方程組2x?y=7①3x?y=11②
②?①得x=4
將x=4代入①式得2×4?y=7
解得y=1
∴方程組的解為x=4y=1
將x=4y=1代入方程組ax?2by=23ax?5by=9得4a?2b=212a?5b=9
解關(guān)于a,b的方程組4a?2b=2③12a?5b=9④
③×3?④得?b=?3
解得b=3
將b=3代入③式得4a?2×3=2
解得a=2
∴方程組的解為a=2b=3
∴ab=23
故選A．
【點睛】本題考查了同解方程組，解二元一次方程．解題的關(guān)鍵在于將兩個方程組重新組成新的方程組求解．
【變式4-3】（2022·陜西安康·七年級期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+y=4ax+by=7和ax?by=?1x?2y=?3的解相同，求a+b的值．
【答案】5
【分析】先聯(lián)立2x+y=4x?2y=?3，求出x和y的值，代入ax+by=7ax?by=?1，求出a和b的值即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+y=4ax+by=7和ax?by=?1x?2y=?3的解相同，
∴聯(lián)立2x+y=4x?2y=?3，
解方程組，得x=1y=2，
將x=1y=2代入ax+by=7ax?by=?1得a+2b=7a?2b=?1，
解方程組，得a=3b=2，
∴a+b＝2+3＝5．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，聯(lián)立兩個已知的方程求出x和y的值是解題的關(guān)鍵．
【題型5 二元一次方程組的錯解復(fù)原問題】
【例5】（2021·山東濱州·七年級期末）解方程組ax+by=2cx?7y=8時，一學生把c看錯而得到x=?2y=2，而正確的解是x=3y=?2，那么a+b+c的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】先將兩組解代入方程組中的第一個方程可得關(guān)于a,b的方程組，解方程組可得a,b的值，再將x=3y=?2代入方程組中的第二個方程可得c的值，然后代入計算即可得．
【詳解】解：由題意，將x=?2y=2和x=3y=?2代入方程ax+by=2得：?2a+2b=23a?2b=2，
解得a=4b=5，
將x=3y=?2代入cx?7y=8得：3c+14=8，解得c=?2，
則a+b+c=4+5+(?2)=7，
故選：D．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·四川巴中·七年級期末）甲、乙兩人解關(guān)于x、y的方程組3x?by=?1①ax+by=?5②時，甲因看錯a得到方程組的解為x=1y=2，乙將方程②中的b寫成了它的相反數(shù)得到方程組的解為x=?1y=?1．
(1)求a、b的值；
(2)求原方程組的解．
【答案】(1)a=7，b=2
(2)x=?35y=?25
【分析】（1）將x=1y=2代入3x?by=?1①ax+by=?5②算出b，將x=?1y=?1代入3x?by=?1①ax+by=?5②算出a即可；
（2）將a b的值代入二元一次方程組中，解出即可．
(1)
解：甲看錯方程組中的
3x?by=?1①ax+by=?5②的a，得到方程組的解為x=1y=2．
∴將x=1y=2代入①得：3?2b=?1，
∴b=2
∵乙把方程②中的b看成了它的相反數(shù)，得到方程組的解x=?1y=?1，
∴將x=?1y=?1代入ax?by=?5中
得：a=7；
(2)
解：將a=7b=2代入3x?by=?1①ax+by=?5②中得：7x+2y=?53x?2y=?1 ，
解得x=?35y=?25 ．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解，熟知方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值，掌握二元一次方程組的解是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2018·江西宜春·七年級期末）已知方程組ax?5y=15①4x?by=?2②由于甲看錯了方程①中的a得到方程組的解為x=?3y=?1；乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為x=5y=4，若按正確的a，b計算，請你求原方程組的解．
【答案】x=165y=3725
【分析】把甲的結(jié)果代入方程②求出b的值，把乙的結(jié)果代入方程①求出a的值，然后可確定出方程組，利用加減消元法解方程組即可得．
【詳解】解：由題意，把x=?3y=?1代入方程②得：?12+b=?2，解得b=10，
把x=5y=4代入方程①得：5a?20=15，解得a=7，
則方程組為7x?5y=15①4x?10y=?2②，
由①×2?②得：14x?4x=30+2，
解得x=165，
將x=165代入①得：7×165?5y=15，
解得y=3725，
則方程組的解為x=165y=3725．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，熟練掌握消元法是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·河南·安陽市第五中學七年級期末）甲乙兩名同學在解方程組ax+5y=104x?by=?4時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為x=3y=?1；乙看錯了方程組中的b，而得解為x=5y=4．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)請你根據(jù)以上兩種結(jié)果，求出原方程組的正確解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)x=4513y=813
【分析】（1）把x=3y=?1代入ax+5y=10得出關(guān)于a的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把x=5y=4代入4x?by=?4得出關(guān)于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把x=3y=?1代入4x?by=?4得出關(guān)于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把x=5y=4代入ax+5y=10得出關(guān)于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程組得出關(guān)于x，y的方程組，解方程組即可得出原方程組的正確解．
【詳解】（1）解：把x=3y=?1代入ax+5y=10，
可得：3a+5×?1=10，
解得：a=5，
把x=5y=4代入4x?by=?4，
可得：4×5?4b=?4，
解得：b=6，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把x=3y=?1代入4x?by=?4，
可得：12+b=?4，
解得：b=?16，
把x=5y=4代入ax+5y=10，
可得：5a+20=10，
解得：a=?2，
把a=?2，b=?16代入原方程組，
可得：?2x+5y=10①4x+16y=?4②，
由②得：2x+8y=?2③，
由①+③，可得：13y=8，
∴y=813，
把y=813代入①，可得：?2x+5×813=10，
解得：x=?4513，
∴原方程組的解x=4513y=813．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，理解二元一次方程組的解，掌握解二元一次方程組的方法是解決問題的關(guān)鍵．
【題型6 構(gòu)造二元一次方程組求解】
【例6】（2022·浙江湖州·七年級期末）小王和小明分別計算同一道整式乘法題：3x+m4x+n，小王由于抄錯了一個多項式中m的符號，得到的結(jié)果為12x2?17x+6，小紅由于抄錯了第二個多項式中的x的系數(shù)，得到的結(jié)果為6x2?5x?6，則這道題的正確結(jié)果是_________．
【答案】12x2?x?6
【分析】利用小王和小明的解法列出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解方程組求出m，n的值，再將m，n的值代入原式計算即可．
【詳解】解：由小王的解法可知3x?m4x+n=12x2?17x+6，
即12x2+3n?4mx?mn=12x2?17x+6，
可知3n?4m=?17；
由小紅的結(jié)果可知小紅將4抄成2，
故3x+m2x+n=6x2?5x?6，
即6x2+3n+2mx+mn=6x2?5x?6，
可知3n+2m=?5；
聯(lián)立得3n?4m=?173n+2m=?5，
解得m=2n=?3，
將m=2n=?3代入3x+m4x+n得3x+24x?3=12x2?x?6．
故答案為：12x2?x?6．
【點睛】本題考查了多項式與多項式的乘法運算及解二元一次方程組，正確列出關(guān)于m，n的方程組是解答本題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022·山東濟寧·七年級期末）對于實數(shù)x，y，定義新運算x*y=ax+by+1．其中a，b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運算，若2*5=10，4*7=28，則3*6=（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】B
【分析】根據(jù)題中的新定義的運算法則，列出方程組，解方程組求出a與b的值，再代入(3?6)計算即可．
【詳解】解：根據(jù)題中的新定義，可得2a+5b+1=104a+7b+1=28，
解方程組，得a=12b=?3，
∴3?6=3×12+6×(?3)+1=19．
故選：B．
【點睛】此題考查的是定義新運算和解二元一次方程組，理解定義新運算公式，掌握二元一次方程組的解法是解決此題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·上海市民辦新復(fù)興初級中學七年級期末）當x=1時，多項式a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5的值是32，且當x=?1該多項式值為0，則a+c+e的值是（ ）
A．8B．16C．32D．無法確定
【答案】B
【分析】根題意分別把x=1、x=?1代入得出方程組，①+②即可求出2a+2c+2e的值，兩邊都除以2即可求出答案．
【詳解】解析：∵當x=1時，多項式a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5的值是32，且當x=?1該多項式值為0，
∴代入得：a+b+c+d+e+f=32①a?b+c?d+e?f=0②，
①＋②得：2a+2c+2e=32，兩邊都除以2得：a+c+e=16，
故選B．
【點睛】本題考查了代數(shù)式求值的應(yīng)用，主要檢查學生能否選擇適當?shù)姆椒ㄇ蟪鯽+c+e的值，難點是正確代入，題目較好，難度不大．
【變式6-3】（2022·安徽安慶·七年級期末）當a、b都是整數(shù)時，我們稱（a，b）為一個有序整數(shù)對，如（-2，2）和（2，-2）是兩個不同的有序整數(shù)對，則滿足|a-b|+|ab|=1的有序整數(shù)對有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．6個
【答案】D
【分析】根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)可知當a、b都是整數(shù)，且|a-b|+|ab|=1時，a?b=0ab=1，或a?b=1ab=0，再根據(jù)絕對值的定義以及有理數(shù)的混合運算法則分別求出滿足a?b=0ab=1與滿足a?b=1ab=0的有序整數(shù)對即可．
【詳解】解：∵a、b都是整數(shù)，且|a-b|+|ab|=1，
∴a?b=0ab=1，或a?b=1ab=0．
滿足a?b=0ab=1的有序整數(shù)對有（1，1），（-1，-1）；
滿足a?b=1ab=0的有序整數(shù)對有（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1）．
綜上所述，滿足|a-b|+|ab|=1的有序整數(shù)對有（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1），一共6個．
故選：D．
【點睛】本題考查了二元一次方程組，有理數(shù)的混合運算，絕對值的定義，數(shù)的整除，掌握數(shù)的整除性以及運算法則是解題的關(guān)鍵．
【考點7 二元一次方程的整數(shù)解】
【例7】（2022·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）二元一次方程3x+8y=27的所有正整數(shù)解為_________；整數(shù)解有_______個．
【答案】 x=1y=3 無數(shù)
【分析】把x看做已知數(shù)求出y，分析即可確定出正整數(shù)解及整數(shù)解的情況．
【詳解】解：方程3x+8y=27，
解得：y=3(9?x)8,
∵當x、y是正整數(shù)時，9-x是8的倍數(shù)，
∴x=1，y=3；
∴二元一次方程3x+8y=27的正整數(shù)解只有1個，即x=1y=3；
∵當x、y是整數(shù)時，9-x是8的倍數(shù)，
∴x可以有無數(shù)個值，如-7,-15,-23，……；
∴二元一次方程3x+8y=27的整數(shù)解有無數(shù)個.
故答案是：x=1y=3；無數(shù).
【點睛】此題考查了二元一次方程的整數(shù)解及正整數(shù)解問題，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)求出y．
【變式7-1】（2022·全國·七年級課時練習）已知關(guān)于x的方程9x?3=kx+14有整數(shù)解，求滿足條件的所有整數(shù)k的值．
【答案】k=26，10，8，-8．
【分析】將原式轉(zhuǎn)化，得到(9?k)x=17，根據(jù)x與k均為整數(shù)，即可推出k的值．
【詳解】9x?3=kx+14，
(9?k)x=17，
∵x，k都是整數(shù)，
∴(9?k)，x都是整數(shù)，
∴9?k=?17，?1，1或17，
∴k=26，10，8，?8．
【點睛】本題考查了方程的整數(shù)解，根據(jù)“整數(shù)”這一條件即可將方程的解限制在有限的范圍內(nèi)通過試解即可得到k的值．
【變式7-2】（2022·重慶一中八年級開學考試）對任意一個四位數(shù)m，若m滿足各數(shù)位上的數(shù)字都不為0，且千位與百位上的數(shù)字不相等，十位與個位上的數(shù)字不相等，那么稱這個數(shù)為“M數(shù)”，將一個“M數(shù)”m的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個新三位數(shù)，把這四個新三位數(shù)的和與3的商記為Fm．例如，“M數(shù)”m=1234，去掉千位上的數(shù)字得到234，去掉百位上的數(shù)字得到134，去掉十位上的數(shù)字得到124，去掉個位上的數(shù)字得到123，這四個新三位數(shù)的和為234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F1234=205．
(1)計算：F1213，F(xiàn)8567；
(2)若“M數(shù)”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），F(xiàn)n也是“M數(shù)”，且Fn能被8整除．求FFn的值．
【答案】(1)190,1049.
(2)195或198.
【分析】（1）直接根據(jù)閱讀部分提供的運算法則進行運算即可；
（2）先求解Fn =1160+7x+y, 結(jié)合Fn能被8整除，可得7x+y能夠被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)，x≠y,再分類討論即可.
(1)
解：F1213=213+113+123+121÷3=190,
F8567=567+867+857+856÷3=1049.
(2)
解：∵ “M數(shù)”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），
∴ Fn=900+10x+y+800+10x+y+890+y+890+x÷3
=1160+7x+y,
∵ Fn能被8整除，
∴7x+y能夠被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)，x≠y,
∴ 當x=1,y=9, Fn=1160+7+9=1176,
此時FFn=F1176=176+176+116+117÷3=195,
當x=9,y=1, Fn=1160+63+1=1224,
此時FFn=F1224=224+124+124+122÷3=198.
【點睛】本題考查的是閱讀理解，新定義運算，數(shù)的整除，二元一次方程的正整數(shù)解問題，考查方式比較新穎，理解“M數(shù)”的具體特征是解決問題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·重慶涪陵·七年級期末）對于一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零的三位自然數(shù)m，若m的十位數(shù)字等于百位數(shù)字與個位數(shù)字之和，則稱這個自然數(shù)m為“三峽數(shù)”．當三位自然數(shù)m為“三峽數(shù)”時，交換m的百位數(shù)字和個位數(shù)字后會得到一個三位自然數(shù)n，規(guī)定F(m)=m?n99．例如：當m=583時，因為5+3=8，所以583是“三峽數(shù)”；此時n=385，則F(m)=m?n99=583?38599=19899=2．
(1)判斷341和153是否是“二峽數(shù)”？并說明理由；
(2)求F352的值；
(3)若三位自然數(shù)m=100a+10a+b+b（即m的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是a+b，個位數(shù)字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數(shù)，1≤a+b≤9）為“三峽數(shù)”，且Fm=5時，求滿足條件的所有三位自然數(shù)m．
【答案】(1)341是“三峽數(shù)”，153不是“三峽數(shù)”，理由見解析
(2)F(352)=1
(3)所有滿足條件的m是671、792
【分析】（1）根據(jù)三峽數(shù)的定義分析即可；
（2）根據(jù)F(m)=m?n99計算；
（3）根據(jù)Fm=5列出關(guān)于a、b的二元一次方程，然后根據(jù)1≤a≤9，1≤b≤9求解；
(1)
341是“三峽數(shù)”，∵3+1=4=4，∴341是“三峽數(shù)”；
153不是“三峽數(shù)”，∵1+3=4≠5，∴153不是“三峽數(shù)”；
(2)
F(352)=352?25399=9999=1；
(3)
由題知m=100a+10(a+b)+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數(shù)），
則n=100b+10(a+b)+a，
∴F(m)=m?n99=100a+10a+10b+b?100b?10a?10b?a99，
=99(a?b)99
=a?b，
則a?b=5（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數(shù)）1≤a+b≤9，
a=6b=1，a=7b=2，
m=671，792，
答：所有滿足條件的m是671、792.
【點睛】本題考查了新定義，以及解二元一次方程，正確理解“三峽數(shù)”的定義是解答本題的關(guān)鍵．
【考點8 二元一次方程組的特殊解法】
【例8】（2022·福建省永春烏石中學七年級階段練習）數(shù)學方法：
解方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13，若設(shè)2x+y=m，x?2y=n，則原方程組可化為3m?2n=262m+3n=13，解方程組得m=8n=?1，所以2x+y=8x?2y=?1，解方程組得x=3y=2，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．
(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組am+n+bm?n=6bm+n+am?n=3的解為： ．
(2)知識遷移：請用這種方法解方程組x+y2?x?y3=42x+y+x?y=16．
(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解為x=4y=?3，
求關(guān)于x，y的方程組2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【答案】(1)m=1n=?3
(2)x=4y=4
(3)x=10y=?5
【分析】（1）設(shè)m+n=x，m?n=y，即可得m+n=?2m?n=4，解方程組即可求解；
（2）設(shè)x+y2=m，x?y3=n，則原方程組可化為m?n=44m+3n=16，解方程組即可求解；
（3）設(shè)2x5=m，3y5=n，則原方程組可化為，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根據(jù)a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解為x=4y=?3，可得m=4n=?3，即有2x5=43y5=?3，則問題得解．
（1）
設(shè)m+n=x，m?n=y，則原方程組可化為ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解為x=?2y=4，
∴m+n=?2m?n=4，
解得m=1n=?3，
故答案為：m=1n=?3；
（2）
設(shè)x+y2=m，x?y3=n，則原方程組可化為m?n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x?y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程組的解為x=4y=4；
（3）
設(shè)2x5=m，3y5=n，則原方程組可化為5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化簡，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解為x=4y=?3，
∴m=4n=?3，即有2x5=43y5=?3，
解得：x=10y=?5，
故方程組的解為：x=10y=?5．
【點睛】本題考查了用換元法解二元一次方程組的知識，緊密結(jié)合題目給出的示例，合理換元是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022·上海市復(fù)旦實驗中學八年級期末）用換元法解方程組5x?6y+1=11x+2y+1=1時，可設(shè)1x=u,1y+1=v,則原方程組可化為關(guān)于u、v的整式方程組為_____．
【答案】5u?6v=1u+2v=1
【分析】將1x=u,1y+1=v代入原方程組即可得．
【詳解】解：將1x=u,1y+1=v代入方程組5x?6y+1=11x+2y+1=1
得：5u?6v=1u+2v=1，
故答案為：5u?6v=1u+2v=1．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·陜西·西大附中浐灞中學八年級期末）解方程組：x+y=22①4x+y?5x?y=?2②
【答案】x=20y=2
【分析】把x+y和x?y分別作為整體，然后利用加減消元法解答，即可求解．
【詳解】解：x+y=22①4x+y?5x?y=?2②，
由①×4-②得：x?y=18③，
由①+③得：2x=40，
解得：x=20，
把x=20代入③得：20?y=18，
解得：y=2，
所以原方程組的解為x=20y=2．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，利用整體代入思想解答是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022·北京朝陽·七年級期末）閱讀下列材料并填空：
（1）對于二元一次方程組4x+3y=54x+3y=36我們可以將x，y的系數(shù)和相應(yīng)的常數(shù)項排成一個數(shù)表4 3 541 3 36，求得一次方程組的解x=ay=b，用數(shù)可表示為1 0 a0 1 b．用數(shù)表可以簡化表達解一次方程組的過程如下，請補全其中的空白：
．
從而得到該方程組的解為x=__________y=__________．
（2）仿照（1）中數(shù)表的書寫格式寫出解方程組2x+3y=6x+y=2的過程．
【答案】（1）x=6y=10（2）x=0y=2
【詳解】試題分析：（1）下行-上行后將下行除以3將y的系數(shù)化為1即可得到方程的解；
（2）類比（1）中方法通過加減法將x、y的系數(shù)化為1即可.
試題解析：（1）下行?上行 1 0 60 1 10，
x=6y=10．
（2）
從而得到方程組成的解為x=0y=2．
【考點9 二元一次方程組的新定義問題】
【例9】（2022·貴州·銅仁市第十一中學七年級階段練習）我們規(guī)定：m表示不超過m的最大整數(shù)，例如：3.1=3，0=0，?3.1=?4，則關(guān)于x和y的二元一次方程組x+y=3.2，x?y=3.2的解為（ ）
A．x=3.2，y=0.2B．x=2.4，y=1.2C．x=3，y=0.2D．x=3.4，y=0.2
【答案】C
【分析】根據(jù)[m]的意義可得[3.2]=3，[x]和[y]均為整數(shù)，兩方程相減可求出y=0.2，[y]=0，將[y]=0代入第二個方程可求出x．
【詳解】解：x+y=3.2①x?y=3.2②，
∵[m]表示不超過m的最大整數(shù)，
∴[3.2]=3，[x]和[y]均為整數(shù)，
∴x為整數(shù)，即[x]=x，
∴①－②得：y+[y]=0.2，
∴y=0.2，[y]=0，
將[y]=0代入②得：x=3，
∴x=3y=0.2．
故選：C．
【點睛】此題考查了新定義以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是正確理解[m]的意義．
【變式9-1】（2022·江蘇·鹽城市初級中學七年級期末）如果一個正整數(shù)m=a2-b2(a,b均為正整數(shù)，且a≠b)我們稱這個數(shù)為“平方差數(shù)”，則a,b為m的一個平方差分解，規(guī)定：F(m)=ba,例如：8=8×1=4×2，由8= a2-b2=(a?b)(a+b)，可得{a+b=8a?b=1或{a+b=4a?b=2.因為a,b為正整數(shù)，解得{a=3b=1，所以F（8）=13.試求F（45）的值為_____
【答案】23或27或2223．
【分析】根據(jù)題目的例子的形式，對所給的數(shù)進行分解，若算出來的a，b均為正整數(shù)，再求值即可.
【詳解】根據(jù)題意，45=3×15=5×9=1×45，由45=a2-b2=（a+b）（a-b），可得
{a+b＝15a?b＝3或{a+b＝9a?b＝5或{a+b＝45a?b＝1．
∵a和b都為正整數(shù)，解得{a＝9b＝6或{a＝7b＝2或{a＝23b＝22
∴F（45）=23或27或2223．
故答案為23或27或2223．
【點睛】此題為閱讀材料題，考查學生的自主學習能力和應(yīng)變能力.
【變式9-2】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校七年級階段練習）定義新運算∶對于任何非零實數(shù)a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)x?y=?32.
(2){x=5y=?6.
【分析】（1）根據(jù)新定義的含義可得2x?2y=?3,從而可得答案；
（2）根據(jù)新定義的含義構(gòu)建方程組{3x+2y=3?2x?3y=8,再解方程組即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴2x?2y=?3,
∴x?y=?32.
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴{3x+2y=3?2x?3y=8,
整理得：{3x+2y=3①2x+3y=?8②，
①+②得：x+y=?1，y=?x?1 ③
把③代入①得：x=5,
把x=5代入②得：y=?6,
∴{x=5y=?6.
【點睛】本題考查的是新定義運算的理解，代數(shù)式的求值，二元一次方程組的解法，理解新定義的含義，構(gòu)建二元一次方程組是解本題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2022·江蘇南通·七年級期末）定義：數(shù)對x,y經(jīng)過一種運算可以得到數(shù)對x',y'，將該運算記作：
dx,y=x',y'，其中x'=ax+byy'=ax?by（a，b為常數(shù)）．
例如，當a=1，b=1時，d?2,3=1,?5．
(1)當a=2，b=1時，d3,1=__________；
(2)若d?3,5=?1,9，求a和b的值；
(3)如果組成數(shù)對x,y的兩個數(shù)x，y滿足二元一次方程x?3y=0時，總有dx,y=?x,?y，則a=__________，b=__________．
【答案】(1)7,5；
(2)a=?43b=?1
(3)?23；-1
【分析】（1）根據(jù)新定義運算進行計算即可求解；
（2）根據(jù)新定義運算列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（3）根據(jù)題意可得x=3y，然后根據(jù)新定義運算列出二元一次方程組，解方程組即可求解．
（1）
解：依題意，當a=2，b=1時，
x′=2×3+1×1=7,y′=2×3?1×1=5
∴ d3,1= 7,5
（2）
∵d?3,5=?1,9，
∴?3a+5b=?1?3a?5b=9，
解得a=?43b=?1．
∴a和b的值分別為?43，-1；
（3）
∵x?3y=0
∴ x=3y
∴ dx,y=?x,?y=?3y,?y
∴?3y=?3ya+by?y=?3ya?by
即?3=?3a+b?1=?3a?b
解得a=23b=?1
故答案為：?23；-1．
【點睛】本題考查了新定義運算，二元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解新定義運算是解題的關(guān)鍵．
【考點10 二元一次方程（組）的規(guī)律探究】
【例10】（2022秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）相傳大禹時期，洛陽市西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示，洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數(shù)填入3×3的方格中，使每一行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等．在圖3的幻方中也有類似于圖1的數(shù)字之和的這個規(guī)律，則a+b的值為（ ）
A．2B．?2C．4D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)每一行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等，得到a+12+?2=10+4+?2b+12+4=10+4+?2，由此求出a、b的值，最后代值計算即可．
【詳解】解：∵每一行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等，
∴a+12+?2=10+4+?2b+12+4=10+4+?2，
∴a=2b=?4，
∴a+b=2+?4=?2，
故選B．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意求出a、b的值．
【變式10-1】（2022春·北京石景山·七年級統(tǒng)考期末）下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對應(yīng)關(guān)系：
按此規(guī)律，第n個方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）.
【答案】{2x+y=2n+1x?2ny=4n2，{x=2ny=?2n+1
【詳解】試題分析：仔細分析所給方程組可得第一個方程的左邊不變，均為，右邊為從3開始的連續(xù)奇數(shù)，第二個方程的x項的系數(shù)均為1不變，y項的系數(shù)是從-2開始的連續(xù)負偶數(shù)，方程組的解中x的值是從2開始的連續(xù)偶數(shù)，y的值是從-1開始的連續(xù)負奇數(shù)，根據(jù)得到的規(guī)律求解即可.
解：由題意得第n個方程組為{2x+y=2n+1x?2ny=4n2，它的解為{x=2ny=?2n+1（n為正整數(shù)）.
考點：找規(guī)律-式子的變化
點評：解答此類問題的關(guān)鍵是仔細分析所給式子的特征得到規(guī)律，再把得到的規(guī)律應(yīng)用于解題.
【變式10-2】（2022秋·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的各圖表示由若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊(包括兩個頂點)有n(n＞1)盆花，每個圖案花盆的總數(shù)為s．按此規(guī)律推斷，以s，n為未知數(shù)的二元一次方程為______．
【答案】s=3(n-1)
【詳解】根據(jù)圖片可知：
第一圖：有花盆3個，每條邊有花盆2個，那么s=3×2-3；
第二圖：有花盆6個，每條邊有花盆3個，那么s=3×3-3；
第三圖：有花盆9個，每條邊有花盆4個，那么s=3×4-3；
…
所以s=3n-3=3（n﹣1）．
【點睛】本題要注意給出的圖片中所包含的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律列出方程．
【變式10-3】（2022秋·湖北省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期中）觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，則a+b﹣m＝_____．
【答案】﹣7
【分析】由表二結(jié)合表一即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a值；由表三結(jié)合表一即可得出關(guān)于b的一元一次方程，解之即可得出b值；在表三中設(shè)42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，結(jié)合表一中每個數(shù)等于其所在的行數(shù)×列式即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，將其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m的值，將a、b、m的值代入a-b+m即可得出結(jié)論．
【詳解】表二截取的是其中的一列：上下兩個數(shù)字的差相等，
∴a-15=15-12，解得：a=18；
表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個數(shù)字：右邊一列數(shù)字的差比左邊一列數(shù)字的差大1，
∴42-b-1=36-30，解得：b=35；
表四截取的是兩行三列的相鄰的六個數(shù)字：設(shè)42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，
則有 xy＝42x+1y+2＝75，
解得：x＝14y＝3 或 x＝32y＝28（舍去），
∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．
∴a+b﹣m=18+35-60=-7．
故答案為-7
【點睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，規(guī)律型：數(shù)字變化類，根據(jù)表一中數(shù)的排列特點通過解方程（或方程組）求出a、b、m的值是解題關(guān)鍵．
【考點11 二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】
【例11】（2022秋·重慶大渡口·八年級重慶市第九十五初級中學校?？计谀╅喿x下列材料，回答問題．
對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”，將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為Fn．例如n=123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666，因為666÷111=6，所以F123=6．
(1)計算：F341= ，F(xiàn)625= ；
(2)若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y，1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)，規(guī)定k=Fs?Ft，當Fs+Ft=19時，求k的最小值．
【答案】(1)8，13
(2)k的最小值為?7
【分析】（1）根據(jù)F(n)的定義式，分別將n=341和n=625代入F(n)中，即可求出結(jié)論；
（2）由s=100x+32、t=150+y結(jié)合F(s)+F(t)=19，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根據(jù)“相異數(shù)”的定義結(jié)合F(n)的定義式，即可求出F(s)、F(t)的值，將其代入k=Fs?Ft中，找出最小值即可.
【詳解】（1）F(341)=(431+143+314)÷111=8；
F(625)=(265+526+652)÷111=13．
故答案為：8，13；
（2）∵s，t都是“相異數(shù)”，s=100x+32，t=150+y，
∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5，
F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6．
∵F(t)+F(s)=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=19，
∴x+y=8．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數(shù)，
∴ x=1y=7或x=2y=6或x=3y=5或x=4y=4或x=5y=3或x=6y=2或x=7y=1．
∵s是“相異數(shù)”，
∴x≠2，x≠3，y≠1，y≠5．
∴x=1y=7或x=4y=4或x=5y=3或x=6y=2
∴Fs=6Ft=13或Fs=9Ft=10或Fs=10Ft=9或Fs=11Ft=8，
∴k=Fs?Ft =6?13=?7或k=Fs?Ft=9?10=?1或k=Fs?Ft=10?9=1或k=Fs?Ft=11?8=3，
∴k的最小值為?7．
【點睛】本題屬于材料閱讀題，考查代數(shù)以及二元一次方程中不定方程的應(yīng)用，讀懂題干所給的定義和分析解決二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式11-1】（2022春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】我們知道方程2x+3y＝12有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．
例如：由2x+3y＝12，得：y=12?2x3=4?23x（x、y為正整數(shù)）．
要使y=4?23x為正整數(shù)，則23x為正數(shù)可知：x為3的倍數(shù)，從而x＝3，代入y=4?23x=2．
所以2x+3y＝12的正整數(shù)解為x=3y=2．
(1)【類比探究】請根據(jù)材料求出方程3x+2y＝8的正整數(shù)解．
(2)【拓展應(yīng)用】把一根長20米的鋼管截成2米長和3米長兩種規(guī)格的鋼管，在不造成浪費的情況下，共有幾種截法？
【答案】(1)x=2y=1
(2)共有3種截法
【分析】（1）根據(jù)二元一次方程的解得定義求出即可；
（2）設(shè)截成2米長的x段，截成3米長的y段，則根據(jù)題意得：2x＋3y＝20，其中x、y均為自然數(shù)，解該二元一次方程即可．
【詳解】（1）解：由3x+2y=8，得：y=8?3x2=4?32x（x，y為正整數(shù)），
要使y=4?32x為正整數(shù)，則32x為整數(shù)可知：x為2的倍數(shù)，
從而x=2，代入y=4?32x=1，
所以方程3x+2y=8的正整數(shù)解為x=2y=1．
（2）解：設(shè)截成2米長的鋼管x段，3米長的鋼管y段，
依題意，得：2x+3y=20，
∴x=10?32y，
又∵x，y均為正整數(shù)，
∴x=7y=2，x=4y=4，x=1y=6，
∴共有3種截法．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解的應(yīng)用，能靈活運用知識點求出特殊解是解此題的關(guān)鍵．
【變式11-2】（2022春·重慶·八年級重慶八中校考期末）閱讀以下材料，并利用材料知識解決問題．
材料一：如果實數(shù)a，b滿足ab?1=6?2b，那么就稱a和b是一組“創(chuàng)意數(shù)對”，用有序數(shù)對a,b表示．例如：由于1×73?1=6?2×73，所以1,73是“創(chuàng)意數(shù)對”．
材料二：任何一個自然數(shù)M都能分解成兩個因數(shù)的乘積：M=A×B，對于M的所有分解，當A?B最小時，我們稱此分解為M的“和值分解”，并記FM=A+B．例如：對于18=1×18=2×9=3×6，∵3?6