2024.01
注意事項(xiàng)：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得出所求代數(shù)式的值.
【詳解】.
故選：C.
2. 為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A. 橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
B. 橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變
C. 縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變
D. 縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角函數(shù)伸縮變換法則得到答案.
【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變.
故選：B
3. 已知，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式以及作差法即可求解.
【詳解】由題意，則，即，由基本不等式得，
又，即，
所以.
故選：D.
4. 集合，，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，得出整數(shù)的取值，即可得解.
【詳解】解不等式，可得，
所以，整數(shù)的取值有、、，
又因?yàn)榧?，?br>則，即集合中的元素個(gè)數(shù)為.
故選：B.
5. “”是“”成立的.
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的子集的定義和充要條件的定義推導(dǎo)即可.
【詳解】解：，則；反之，若，也有，所以“”是“”成立的充要條件.
故答案為C.
【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的證明，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)的掌握是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
6. 已知，都是銳角，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到和，再利用湊角法，正弦和角公式求出答案.
【詳解】因?yàn)?，都是銳角，所以，
故，
又，所以，
所以
.
故選：B
7. 定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性得出，，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>且，則，即，
故選：A.
8. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.
【詳解】由已知可得，解得，
所以，，
故.
故選：D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).已知，，則下列不等式一定成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因，，
對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)可得，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，由不等式的基本性質(zhì)可得，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由不等式的基本性質(zhì)可得，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)可得，，即，D對(duì).
故選：ABD.
10. 已知為第一象限角，，則下列各式正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用已知和求出、，逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】由得，
代入得，
解得或，
因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，?br>所以，，
，.
故選：AC.
11. 已知指數(shù)函數(shù)，，（，且，），且，.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A ，
B. 若，則一定有
C. 若，則
D. 若，，則的最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用已知條件求出、的值，可判斷A選項(xiàng)；利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可判斷B選項(xiàng)；由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、換底公式可判斷C選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)，，（，且，），
則，可得，由可得，則，
所以，，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得，可得出，即，
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，則，則.B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，由，可得，
設(shè)，則，所以，，，，
所以，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
因?yàn)椋?，令，其中?br>則函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，的最大值為，D錯(cuò).
故選：AC.
12. 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)、都滿足，且，以下結(jié)論正確的有（ ）
A. B. 是偶函數(shù)
C. 是奇函數(shù)D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出為偶函數(shù)，且，可判斷B選項(xiàng)；由結(jié)合函數(shù)的奇偶性可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令可得，
因?yàn)?，則，
令，，可得，則，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，令可得，
所以，，故函數(shù)為偶函數(shù)，
令可得，
即，故，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>因函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)也為偶函數(shù)，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以，，D對(duì).
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，步驟如下：
（1）一是看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，接下來就是判斷與之間的關(guān)系；
（3）下結(jié)論.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得對(duì)任意的，，可得出，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可知，對(duì)任意的，，則，解得.
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用輔助角公式可得出，其中，，為銳角，根據(jù)題意確定與的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值.
【詳解】令，，其中為銳角，
則
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，則，
所以，，
所以，，
，故.
故答案為：.
15. 已知，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可得出，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，
.
故答案為：.
16. 若、、、均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】從最后兩項(xiàng)開始，逐次使用基本不等式，可求得所求代數(shù)式的最小值.
【詳解】原式
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）直接由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
（2）直接由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
原式.
【小問2詳解】
原式.
18. 已知，且，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到，再利用誘導(dǎo)公式即可求出結(jié)果；
（2）利用，再利用正弦的和差公式及，即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
，且，則為第四象限角，
所以，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)樵?br>.
19. 已知
（1）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；
（3）求的解析式.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間，；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的解析式及指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（2）時(shí)有一解求出的范圍；時(shí)有一解求出的范圍可得答案；
（3）根據(jù)定義域求出即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
【小問2詳解】
當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，即有兩根.
由在區(qū)間，遞增，
所以，（）有一解，即；
，（）有一解，即；
綜上，所以當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)；
小問3詳解】
時(shí)，，又，
所以，即.
20. 如圖，任意角的終邊與以為圓心2為半徑的圓相交于點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，記的面積為（規(guī)定當(dāng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，）.
（1）求的解析式；
（2）求取最大值時(shí)的值；
（3）求的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】20.
21. ，
22. ，
【解析】
【分析】（1）利用三角形面積和二倍角公式得到；
（2）利用整體法求出當(dāng)時(shí)，最大，并求出相應(yīng)的值；
（3）畫出的圖象，求出單調(diào)遞減區(qū)間.
【小問1詳解】
由三角函數(shù)的定義知，，
所以；
【小問2詳解】
由知，當(dāng)時(shí)，最大，
此時(shí)，，即，，
∴最大時(shí)，，.
【小問3詳解】
畫出的圖象如下，的周期，
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，.
21. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值；
（3）若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)、，求.
【答案】（1）
（2）最大值為，最小值為
（3）
【解析】
【分析】（1）由圖象可得出函數(shù)的最小正周期，可求出的值，再由結(jié)合的取值范圍可求得的值，即可得出函數(shù)的解析式；
（2）由求出的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值和最小值；
（3）求出函數(shù)圖象在內(nèi)的對(duì)稱軸方程，可得出，得，，利用誘導(dǎo)公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【小問1詳解】
由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿足，則，，
所以，，則，可得，
因?yàn)?，則，所以，，解得，
因此，.
【小問2詳解】
因?yàn)椋瑒t，所以，，即，
所以的最大值為，最小值為.
【小問3詳解】
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，
令，所以，
因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)、，
函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)的對(duì)稱軸為直線，
由正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，
所以，
由得，，
所以，
所以.
22. 已知.
（1）當(dāng)時(shí)，時(shí)，求的取值范圍；
（2）對(duì)任意，且，有，求的取值范圍；
（3），的最小值為，求的最大值.
【答案】（1）或
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）將看成整體，解一個(gè)一元二次不等式即得；
（2）利用參變分離法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值問題求解；
（3）將絕對(duì)值分類討論得到分段函數(shù)，分別就參數(shù)的范圍進(jìn)行討論，得到，求其最大值即得.
【小問1詳解】
由，可得，
解得或，
所以或；
【小問2詳解】
由，時(shí)恒成立則，令.
則當(dāng)時(shí)，由可得：，即得：（時(shí)取等號(hào)），
當(dāng)時(shí)，，可得：即得：.（時(shí)取等號(hào)）
故，因在上遞減，在上遞增，
而時(shí)；時(shí)，，即，
故.
【小問3詳解】
由（）.
可得：，
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以此時(shí)無最值；
②當(dāng)時(shí)，由，.
所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減,此時(shí)，.
③當(dāng)時(shí).，，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，
綜上，，因時(shí)，，
故最大值為1.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查不等式恒成立問題和含參的分段函數(shù)的最小值問題.
解決關(guān)鍵在于對(duì)恒成立問題常通過參變分離法，將其轉(zhuǎn)化成求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值問題，對(duì)于含參的分段函數(shù)的最值問題，常常需要就參數(shù)進(jìn)行分類討論解決.

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