【核心素養(yǎng)】
1．通過基本不等式證明過程，進(jìn)一步了解“差比法”的應(yīng)用，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．以求函數(shù)最值問題為載體，考查靈活運(yùn)用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
3．結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
知識(shí)點(diǎn)一
重要不等式
當(dāng)a、b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．
知識(shí)點(diǎn)二
基本不等式
1.當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．
2.設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)三
基本不等式與最值
已知x、y都是正數(shù)．
(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值（簡(jiǎn)記：和定積最大）．
(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值（簡(jiǎn)記：積定和最小）．
特別提醒：應(yīng)用條件：一正、二定、三相等，缺乏一條都不行！
知識(shí)點(diǎn)四
常用推論
（1）（）
（2）（，）；
（3）
?？碱}型剖析
題型一：利用基本不等式證明不等式
【典例分析】
例1-1.【多選題】（2020·海南·高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A．B．
C．D．
例1-2．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，證明：
(1)；
(2)．
【規(guī)律方法】
利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．
【變式訓(xùn)練】
變式1-1.【多選題】（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式1-2.（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)a，b，c滿足.
(1)求的最大值；
(2)求證：.
題型二：“定和”條件下求最值
例2-1.（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)，滿足．則的最小值為（ ）
A．12B．25C．27D．36
例2-2.（2023·北京東城·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為______.
例2-3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的最大值.
【規(guī)律方法】
1.“定和”求最值有如下情形：一是條件直接給出和為定值；二是“配湊”可出現(xiàn)和為定值.從所求最值的表達(dá)式看又有兩種情形，即求“積”的最值和求“和”的最值.
2．“配湊”方法下，常數(shù)代換求最值的步驟
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3．常數(shù)代換求解最值應(yīng)注意的問題
(1)條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)；
(2)已知等式化成“1”的表達(dá)式，是代數(shù)式等價(jià)變形的關(guān)鍵；
(3)利用基本不等式求最值時(shí)，注意基本不等式的前提條件．
【變式訓(xùn)練】
變式2-1.（湖南省多校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中）若正實(shí)數(shù)、滿足，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值是（ ）
A．B．C．D．
變式2-2.（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（ ）
A．B．
C．D．
變式2-3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則的最大值為__________
題型三：“定積”條件下求最值
【典例分析】
例3-1.【多選題】（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知a，b都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，的最小值為_________.
例3-3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為____________．
【規(guī)律方法】
1．“定積”求最值有如下情形：一是條件直接給出積為定值；二是可“配湊”可出現(xiàn)積為定值.從所求最值的表達(dá)式看又有兩種情形，即求“積”的最值和求“和”的最值.
2．技巧：觀察積與和哪個(gè)是定值，不滿足形式的可以進(jìn)行拼湊變形；與函數(shù)有關(guān)的題型還會(huì)用到配系數(shù)法、正負(fù)變法、添項(xiàng)法、拆項(xiàng)法等．
3. 通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略
拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；
(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；
(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．
4.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：
① 若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）
② 若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍.
【變式訓(xùn)練】
變式3-1.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
變式3-2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，且，則的最小值為______.
變式3-3.（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則的最小值為_________．
題型四：“和、積關(guān)系”條件下求最值
【典例分析】
例4-1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，若，則的最小值為______.
例4-2．（2023春·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎?，，且，若不等式恒成立，則的最大值為______．
例4-3（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知.
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值.
【規(guī)律方法】
1. 結(jié)合基本不等式，通過“放縮”“化積為和”，構(gòu)建關(guān)于目標(biāo)的不等式，解不等式求得最值或范圍，如例4-1，例4-2（1）；
2.變換已知等式，轉(zhuǎn)化成“和”為定值，如例4-2（2）；
3.注意：形如的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．
【變式訓(xùn)練】
變式4-1. （2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．3B．1C．9D．
變式4-2.（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）正數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍________．
變式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晉江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，若滿足；則的最小值為_______；若，則的取值范圍是_______．
題型五：“平方關(guān)系”條件下求最值
【典例分析】
例5-1.【多選題】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
例5-2．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知，則的最小值是_______．
【規(guī)律方法】
1.直接利用等不等式放縮，如例5-1，要特別注意，逐次放縮下等號(hào)成立條件一致；
2. 應(yīng)用換元法.常見代數(shù)換元和三角換元兩種.（1）代數(shù)換元：先對(duì)等式進(jìn)行拆、拼、湊等變形，再進(jìn)行換元，利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性進(jìn)而求解最值；（2）三角換元：結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，將已知多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為三角變量，進(jìn)而化歸為三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)最值求法來求解，如例5-1；
3．應(yīng)用“消元法”.對(duì)含有多元變量的函數(shù)求最值時(shí)，通常要減少變量的個(gè)數(shù)加以轉(zhuǎn)化，如例5-2.
【變式訓(xùn)練】
變式5-1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是________.
變式5-2.（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且，則的最大值為________.
題型六：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
【典例分析】
例6-1.（江蘇高考真題）某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是 .
【規(guī)律方法】
1.用基本不等式解決實(shí)際問題步驟：
(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
(4)正確寫出答案.
2.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題注意點(diǎn)：
(1)此類型的題目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．
(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．
【易錯(cuò)警示】忽視不等式等號(hào)成立的條件！
【變式訓(xùn)練】
變式6-1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長(zhǎng)為，則的最大值為（ ）．（本題中取進(jìn)行計(jì)算）
A．6B．C．3D．9
題型七：基本不等式與其它知識(shí)“交匯”問題
【典例分析】
例7-1.（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（ ）
A．B．C．D．
例7-2.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
例7-3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在表面積為的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________．
例7-4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．
【規(guī)律方法】
1.基本不等式作為工具，應(yīng)用非常廣泛，它與數(shù)學(xué)的其它知識(shí)交匯考查更為普遍，從近幾年高考命題看，命題交匯有：與簡(jiǎn)易邏輯用語(yǔ)交匯、與函數(shù)交匯、與三角函數(shù)交匯、與解三角形交匯、與平面向量交匯、與立體幾何交匯、與平面解析幾何交匯、與概率統(tǒng)計(jì)交匯等.
2.解決“交匯”問題的策略是：
(1)先根據(jù)所交匯的知識(shí)進(jìn)行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解，這是難點(diǎn)；
(2)要有利用基本不等式求最值的意識(shí)，善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式；
(3)檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，完成后續(xù)問題．
【變式訓(xùn)練】
變式7-1.（2023·山東日照·山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.
變式7-2.（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為___________．
變式7-3.（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且的平分線交于，若，則的最小值為______.
變式7-4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，，且，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2，則的最小值為______．
一、單選題
1．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三5月三模文科數(shù)學(xué)試題）已知，，且，則下列不等式不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
4.（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）若x，y滿足x2+xy+y2=3，則（ ）
A．2x+y≤B．2x+y≥-1
C．x2+y2-xy≤8D．x2+y2-xy≥1
5．（2023·河北·校聯(lián)考二模）已知a，b為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
6．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，則的最小值為__________．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．
8．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點(diǎn)，則的最小值為______．
9．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┰O(shè)，，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，______.
10．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最大值為__________．
11.（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知中，，M為線段BN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若（x、y均大于0），則的最小值______．
四、解答題
12．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)證明：．

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