一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40 分.在每小題四個選項中 ，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知x，y為正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A. 24B. 25C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把變?yōu)?，然后利用基本不等式中常?shù)代換技巧求解最值即可.
【詳解】因為x，y為正實數(shù)，且，所以
，
當且僅當即時，等號成立，所以最小值為25.
故選：B
2. 已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用賦值和排除法可得結(jié)果
【詳解】取，則，
若 ，則，由，得，
解得，符合條件，排除選項A、C,
取，則，
若時，，由，得，
解得，或，都不符合條件，
若，即，由，
得，即，不符合條件，
若，即，由，
得，解得，或，都不符合條件，
綜上，，排除B，選D
故選：D
3. 已知定義在上的函數(shù)滿足：關于中心對稱，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函數(shù)平移得到是奇函數(shù)，再利用對稱性和奇偶性得到的周期為8，且在上是增函數(shù)，從而利用的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為關于中心對稱，
所以對稱中心是，故，即是奇函數(shù)，
因為是偶函數(shù)，所以，則，
所以，因此的周期為8，
所以，，
因為在上是增函數(shù)且是奇函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，
所以，則.
故選：C.
4. 關于函數(shù)，下列說法錯誤的是（ ）
A. 函數(shù)是奇函數(shù)
B.
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
D. 函數(shù)在R上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合奇偶性、單詞性逐項分析判斷即得.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
對于A，，函數(shù)是奇函數(shù)，A正確；
對于B，，B正確；
對于C，函數(shù)在上都單調(diào)遞增，在上都單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，而在上不單調(diào)，如，C錯誤；
對于D，R，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
函數(shù)在R上單調(diào)遞減，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，D正確.
故選：C
5. 是定義在上的函數(shù)，那么下列函數(shù)：①；②；③中，滿足性質(zhì)“存在兩個不等實數(shù)，使得”，的函數(shù)個數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，找出存在的點，如果找不出則需證明：不存在，使得．
【詳解】對于①，，故①符合；
對于②，假設存在不相等，使得，
即，則，
得，這與矛盾，故②不符合；
對于③，，故③符合
故選：C.
【點睛】方法點睛：證明存在性命題，只需找到滿足條件的特殊值即可，反之需要證明不存在，一般考慮反證法，先假設存在，推出矛盾即可.
6. 已知，則，且與，且的圖象可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用對數(shù)運算得到，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項.
【詳解】因為，
所以，，
若，則，排除C，
若，則，排除AB.
故選：D
7. 設、是兩個事件，以下說法正確的是（ ）．
A. 若，則事件與事件對立
B. 若，則事件與事件互斥
C. 若，則事件與事件互斥且不對立
D. 若，則事件與事件相互獨立
【答案】D
【解析】
【分析】由互斥事件，對立事件，相互獨立事件的定義求解即可.
【詳解】對于A和B，例如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，
記事件為“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件為“出現(xiàn)1點或2點或3點”，
則，，，
但事件，既不互斥也不對立，故A和B錯誤；
對于C，在不同的試驗下，即使，也不能說明事件與事件一定互斥， 故C錯誤；
對于D，根據(jù)相互獨立事件的定義可知，若，
則事件與事件相互獨立，故D正確；
故選：D
8. 我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了制定居民節(jié)約用水相關政策，抽樣調(diào)查了該市200戶居民月均用水量（單位：），繪制成頻率分布直方圖如圖1，則下列說法不正確的是（ ）

A. 圖中小矩形的面積為0.24
B. 該市居民月均用水量眾數(shù)約為
C. 該市大約有85%的居民月均用水量不超過
D. 這200戶居民月均用水量的中位數(shù)大于平均數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】由概率和為1，求得，求出矩形的面積判斷A；求出眾數(shù)判斷B；求出用水量不超過的概率判斷C；求出中位數(shù)及平均數(shù)判斷D.
【詳解】解：由，可得，
所以，故A正確；
由題意可知該市居民月均用水量眾數(shù)約為，故B正確；
由題意可得該市居民月均用水量不超過的頻率為：，故C正確；
設200戶居民月均用水量的中位數(shù)為，
因為第一個矩形的面積為0.04，第二個矩形的面積為0.3，第三個矩形的面積為0.24，
所以中位數(shù),
則，
這200戶居民月均用水量的平均數(shù),
因為，
所以這200戶居民月均用水量的中位數(shù)小于平均數(shù)，故D不正確．
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列命題為真命題的有（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】作差即可判斷ABC；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對于A，因為，
所以，故A正確；
對于B，，
因為，，所以，
所以，所以，故B錯誤；
對于C，若，則，所以，故C正確；
對于D，若，則，所以，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知函數(shù)的定義域是，對都有，且當時，，且，下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
C.
D. 滿足不等式的的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求的值可判斷A；令可得，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明的單調(diào)性可判斷B；由與計算判斷C；通過計算可得，原不等式等價于，利用單調(diào)性求出的取值范圍可判斷D.
【詳解】因為，
令，可得，解得，所以A正確；
令，可得，所以，
任取且，則，
因為，所以，所以，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以B不正確；
由
，
，
所以C正確；
因為，由，可得，
所以，
所以等價于，即，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增函數(shù)，可得，解得，
即不等式的解集為，所以D正確.
故選：ACD.
11. 下列說法中不正確的是（ ）
A. 若事件A與事件B是互斥事件，則
B. 若事件A與事件B滿足條件，則事件A與事件B是對立事件
C. 一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件
D. 從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，則事件“取到紅色牌”與事件“取到梅花”是互斥事件
【答案】ABC
【解析】
【分析】由互斥事件概念可判斷A，D；由對立事件的概念可判斷B，C.
【詳解】對于A，事件A與事件B是互斥事件，但不一定是對立事件，故A不正確；
對于B，若是在同一試驗下，由，說明事件A與事件B一定是對立事件，但若在不同試驗下，雖然有，但事件A與事件B不一定對立，故B不正確；
對于C，一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故C不正確；
對于D，事件“取到紅色牌”與事件“取到梅花”是互斥事件，故D正確．
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，（a為實數(shù)）．若q的一個充分不必要條件是p，則實數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用小范圍是大范圍的充分不必要條件轉(zhuǎn)換成集合的包含關系求解.
【詳解】因為q的一個充分不必要條件是p，
所以是的一個真子集，
則，即實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
13. 是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)增函數(shù)的定義求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為在遞增，
則，解得：，
故答案為：
14. 在一個不透明的紙盒中裝有2個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過多次重復試驗發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有______個.
【答案】
【解析】
【分析】利用頻率結(jié)合古典概型的計算公式代入即可得出答案.
【詳解】因為摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，
估計袋中紅球個數(shù)是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設集合，
（1）若，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用并集、補集的定義求解即得.
（2）利用給定交集的結(jié)果，借助集合的包含關系，列式求解即得.
【小問1詳解】
當時，，而，因此，
所以或.
小問2詳解】
由，得，
當時，則，解得，滿足，因此；
當時，由，得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
16. 已知函數(shù).
（1）當時，解不等式；
（2）若，的解集為，求最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法計算即可；
（2）由已知可得方程的解為，且，利用韋達定理求出，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.
【小問1詳解】
當時，，
則，即，
解得或，
所以不等式的解集為；
【小問2詳解】
因為的解集為，
所以方程的解為，且，
則，
因為，所以，
則，
當且僅當，即時，取等號，
所以最小值為.
17. 已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（2）求函數(shù)的值域．
【答案】（1）在上是增函數(shù)，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及判定方法，即可求解；
（2）令，結(jié)合換元法結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)的值域.
【小問1詳解】
解：函數(shù)在上是增函數(shù).
證明如下：
任取，且，
則
因為，且，所以，，
所以，即，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)．
【小問2詳解】
解：令，則，
則的值域即為求的值域，
由（1）知函數(shù)在是單調(diào)遞增，
所以當時，即，即時，取最小值，
所以，所以函數(shù)的值域為.
18. 設函數(shù).
（1）證明函數(shù)在上是增函數(shù)；
（2）若，是否存在常數(shù)，，，使函數(shù)在上的值域為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）詳見解析；
（2）不存在，理由詳見解析.
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；
（2）由（1）結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性得到在上是增函數(shù)，從而有，轉(zhuǎn)化為m，n是方程的兩個不同的正根求解.
【小問1詳解】
證明：任取，且，
則，
因為，則，因為，則，
所以，即，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)；
【小問2詳解】
由（1）知：在上是增函數(shù)，又，
由復合函數(shù)的單調(diào)性知在上是增函數(shù)，
假設存在常數(shù)，，，使函數(shù)在上的值域為，
所以，即，
則m，n是方程的兩個不同的正根，
則m，n是方程的兩個不同的正根，
設，則有兩個大于1的不等根，
設，
因為，，
所以方程有一個大于0，一個小于0的根，
所以不存在兩個大于1的不等根，
則不存在常數(shù)，，滿足條件.
19. 為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，樹立正確的價值導向，落實立德樹人根本任務，珠海市組織3000名高中學生進行古典詩詞知識測試，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取100名學生，記錄他們的分數(shù)，整理所得頻率分布直方圖如圖：
（1）規(guī)定成績不低于60分為及格，不低于85分為優(yōu)秀，試估計此次測試的及格率及優(yōu)秀率；
（2）試估計此次測試學生成績的中位數(shù)；
（3）已知樣本中分數(shù)不低于80分的男女生人數(shù)相等，且樣本中有的男生分數(shù)不低于80分，試估計參加本次測試3000名高中生中男生和女生的人數(shù).
【答案】（1）0.8，0.25；
（2）76； （3）男生1800人，女生1200人.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求得各組數(shù)據(jù)對應的頻率，進而求得及格率與優(yōu)秀率；
（2）利用頻率分布直方圖求中位數(shù)的方法列式計算即可；
（3）先求得不低于80分的總?cè)藬?shù)，即可得出樣本中男生和女生的人數(shù)，根據(jù)分層抽樣的特征，即可求得參與測試的男生和女生人數(shù).
【小問1詳解】
觀察頻率分布直方圖，在
的頻率分別為：，
所以此次測試的及格率的估計值為：，
此次測試的優(yōu)秀率的估計值為：.
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖知，在的頻率為：，在的頻率為0.6，
此次測試學生成績的中位數(shù)在，它是.
【小問3詳解】
樣本中分數(shù)不低于80分的學生共有人，
而樣本中分數(shù)不低于80分的男女生人數(shù)相等，因此分數(shù)不低于80分的男生有20人，
依題意，樣本中男生有60人，女生有40人，
由分層抽樣可得該市高中男生人,女生人.

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