1．（2022?天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
2．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．3C．6D．3
3．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．3C．3D．6
4．（2022?濱州）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cs30°＝
5．（2022?金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（ ）
A．（4+3sinα）mB．（4+3tanα）mC．（4+）mD．（4+）m
6．（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，4），四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（ ）
A．y＝3xB．y＝﹣x+C．y＝﹣2x+11D．y＝﹣2x+12
7．（2022?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．D．2
8．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cs∠APC的值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cs∠ADF的值為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022?隨州）如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平地面上，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為β，若CD＝α，則建筑物AB的高度為（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022?十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹影BC長(zhǎng)為m，則大樹AB的高為（ ）
A．m（csα﹣sinα）B．m（sinα﹣csα）
C．m（csα﹣tanα）D．﹣
12．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
13．（2021?濟(jì)南）無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135m的A處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處俯角為43°，無人機(jī)垂直下降40m至B處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處俯角為35°，則M，N之間的距離為（ ）（參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù)）
A．188mB．269mC．286mD．312m
二．填空題（共11小題）
14．（2022?岳陽）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汨羅江國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)P處觀看200米直道競(jìng)速賽．如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)P的北偏東60°方向上，AB＝200米，則點(diǎn)P到賽道AB的距離約為 米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．
15．（2022?孝感）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物D點(diǎn)的俯角α為45°，C點(diǎn)的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為 m．
（sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，結(jié)果保留整數(shù)）．
16．（2022?武漢）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時(shí)施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，則C，D兩點(diǎn)的距離是 m．
17．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為 ．
18．（2022?泰安）如圖，某一時(shí)刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角∠DPC＝30°，已知窗戶的高度AF＝2m，窗臺(tái)的高度CF＝1m，窗外水平遮陽篷的寬AD＝0.8m，則CP的長(zhǎng)度為 （結(jié)果精確到0.1m）．
19．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA＝ ．
20．（2022?衡陽）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡陽雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場(chǎng)中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽．某課外實(shí)踐小組為測(cè)量大雁雕塑的高度，利用測(cè)角儀及皮尺測(cè)得以下數(shù)據(jù)：如圖，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知測(cè)角儀DA的高度為1.5m，則大雁雕塑BC的高度約為 m．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
21．（2022?涼山州）如圖，⊙O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，若cs∠CDB＝，BD＝5，則⊙O的半徑為 ．
22．（2022?涼山州）如圖，CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為 ．
23．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為 ．
24．（2022?金華）圖1是光伏發(fā)電場(chǎng)景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點(diǎn)（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點(diǎn)的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱器點(diǎn)F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°．
（1）點(diǎn)F的高度EF為 m．
（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是 ．
三．解答題（共30小題）
25．（2022?宜賓）計(jì)算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
26．（2022?岳陽）計(jì)算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．
27．（2022?樂山）sin30°+﹣2﹣1．
28．（2022?新疆）周末，王老師布置了一項(xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺(tái)上，看對(duì)面一棟樓頂部的仰角為45°，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m，求這棟樓的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
29．（2022?宿遷）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓AB的頂部觀測(cè)信號(hào)塔CD底部的俯角為30°，信號(hào)塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓AB的高度為20m，求信號(hào)塔的高度（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．
30．（2022?邵陽）如圖，一艘輪船從點(diǎn)A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)有暗礁，問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）
31．（2022?天津）如圖，某座山AB的頂部有一座通訊塔BC，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上．從地面P處測(cè)得塔頂C的仰角為42°，測(cè)得塔底B的仰角為35°．已知通訊塔BC的高度為32m，求這座山AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
32．（2022?眉山）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組去測(cè)量眉山市某標(biāo)志性建筑物的高CD．如圖，在樓前平地A處測(cè)得樓頂C處的仰角為30°，沿AD方向前進(jìn)60 m到達(dá)B處，測(cè)得樓頂C處的仰角為45°，求此建筑物的高．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
33．（2022?臺(tái)州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長(zhǎng)3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
34．（2022?宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長(zhǎng)江首城會(huì)客廳、旅游休閑目的地、文化地標(biāo)打卡地．某數(shù)學(xué)小組為測(cè)量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測(cè)得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達(dá)平臺(tái)B處，測(cè)得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）
35．（2022?山西）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某校“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．
36．（2022?河南）開封清明上河圖是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測(cè)角儀測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）．
37．（2022?荊州）荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門外．如圖，某校學(xué)生測(cè)量其高AB（含底座），先在點(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得其頂端A的仰角為32°，再由點(diǎn)C向城徽走6.6m到E處，測(cè)得頂端A的仰角為45°．已知B，E，C三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625）．
38．（2022?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線MN∥AB．嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段DH，用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
（參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，取4.1）
39．（2022?常德）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國(guó)冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)，激起了國(guó)人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖1），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖2是其示意圖，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳臺(tái)的跨度FG＝7米，頂端E到BD的距離為40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面BD的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
40．（2022?宜昌）知識(shí)小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足53°≤α≤72°．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cs66°≈0.41，tan66°≈2.25）
如圖，現(xiàn)有一架長(zhǎng)4m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上．
（1）當(dāng)人安全使用這架梯子時(shí)，求梯子頂端A與地面距離的最大值；
（2）當(dāng)梯子底端B距離墻面1.64m時(shí)，計(jì)算∠ABO等于多少度？并判斷此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？
41．（2022?廣元）如圖，計(jì)劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點(diǎn)E處測(cè)得山頂A的仰角為45°，在距E點(diǎn)80m的C處測(cè)得山頂A的仰角為30°，從與F點(diǎn)相距10m的D處測(cè)得山頂A的仰角為45°，點(diǎn)C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長(zhǎng)度．
42．（2022?湘潭）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊(yùn)，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中≈0.618）：傘柄AH始終平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，傘完全打開，此時(shí)∠BDC＝90°．請(qǐng)問最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
43．（2022?婁底）“體育承載著國(guó)家強(qiáng)盛、民族振興的夢(mèng)想”．墩墩使用握力器（如實(shí)物圖所示）鍛煉手部肌肉．如圖，握力器彈簧的一端固定在點(diǎn)P處，在無外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為3cm，即PQ＝3cm．開始訓(xùn)練時(shí)，將彈簧的端點(diǎn)Q調(diào)在點(diǎn)B處，此時(shí)彈簧長(zhǎng)PB＝4cm，彈力大小是100N，經(jīng)過一段時(shí)間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強(qiáng)度，于是將彈簧端點(diǎn)Q調(diào)到點(diǎn)C處，使彈力大小變?yōu)?00N，已知∠PBC＝120°，求BC的長(zhǎng)．
注：彈簧的彈力與形變成正比，即F＝k?Δx，k是勁度系數(shù)，Δx是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為x0，在外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為x，則Δx＝x﹣x0．
44．（2022?連云港）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)A處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)C的仰角∠CAE＝45°，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在點(diǎn)G處豎立標(biāo)桿FG，小亮的所在位置點(diǎn)D、標(biāo)桿頂F、最高點(diǎn)C在一條直線上，F(xiàn)G＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮與阿育王塔之間的距離ED．
（注：結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.799，cs53°≈0.602，tan53°≈1.327）
45．（2022?達(dá)州）某老年活動(dòng)中心欲在一房前3m高的前墻（AB）上安裝一遮陽篷BC，使正午時(shí)刻房前能有2m寬的陰影處（AD）以供納涼．假設(shè)此地某日正午時(shí)刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，遮陽篷BC與水平面的夾角為10°．如圖為側(cè)面示意圖，請(qǐng)你求出此遮陽篷BC的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
46．（2022?舟山）小華將一張紙對(duì)折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其示意圖如圖2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）連結(jié)DE，求線段DE的長(zhǎng)．
（2）求點(diǎn)A，B之間的距離．
（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
47．（2022?涼山州）去年，我國(guó)南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災(zāi)影響，被冰雪從C處壓折，塔尖恰好落在坡面上的點(diǎn)B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行處理，在B處測(cè)得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩點(diǎn)間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
48．（2022?安徽）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．
參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
49．（2022?成都）2022年6月6日是第27個(gè)全國(guó)“愛眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．
如圖，當(dāng)張角∠AOB＝150°時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長(zhǎng)為10cm，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角∠A'OB＝108°時(shí)（點(diǎn)A'是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
50．（2022?重慶）湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向900米處．
（1）求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）
51．（2022?瀘州）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測(cè)得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10nmile．該漁船自西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)測(cè)得小島C位于西北方向且與點(diǎn)B相距8nmile．求B，D間的距離（計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．
52．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．
（1）求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；
（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路較近？
（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
53．（2022?遂寧）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠GAE＝50.2°，臺(tái)階AB長(zhǎng)26米，臺(tái)階坡面AB的坡度i＝5：12，然后在點(diǎn)B處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．
（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
54．（2022?自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過程如下：
（1）探究原理
制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC＝∠GON．請(qǐng)說明這兩個(gè)角相等的理由．
（2）實(shí)地測(cè)量
如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹，為測(cè)樹高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹頂端P的仰角∠POQ＝60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹高PH．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）
（3）拓展探究
公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F（E、F、H在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α、β，再測(cè)得E、F間的距離m，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米．求PH（用α、β、m表示）．
備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）
專題22銳角三角函數(shù)（共54題）
一．選擇題（共13小題）
1．（2022?天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】tan45°的值等于1，
故選：B．
2．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．3C．6D．3
【分析】根據(jù)BD＝2CD＝6，可得CD＝3，由tanC＝＝2，可得AD＝6，可得△ABD是等腰三角形，進(jìn)而可以解決問題．
【解析】∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故選：C．
3．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．3C．3D．6
【分析】利用三角函數(shù)求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)．
【解析】∵2CD＝6，
∴CD＝3，
∵tanC＝2，
∴＝2，
∴AD＝6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝，
故選：D．
4．（2022?濱州）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cs30°＝
【分析】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用二次根式的乘法法則對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)立方根對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解析】A． （a2）＝a6，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B． ＝＝2，所以B選項(xiàng)不符合題意；
C． ＝2，所以C選項(xiàng)符合題意；
D．cs30°＝，所以D選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
5．（2022?金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（ ）
A．（4+3sinα）mB．（4+3tanα）mC．（4+）mD．（4+）m
【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房頂A離地面EF的高度．
【解析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，
∵它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝，
∴AD＝BD?tanα＝3tanαm．
∴房頂A離地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，
故選：B．
6．（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，4），四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（ ）
A．y＝3xB．y＝﹣x+C．y＝﹣2x+11D．y＝﹣2x+12
【分析】分別求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求經(jīng)過兩中心的直線即可得出結(jié)論．
【解析】連接OB，AC，它們交于點(diǎn)M，連接AE，BF，它們交于點(diǎn)N，
則直線MN為符合條件的直線l，如圖，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OM＝BM．
∵B的坐標(biāo)為（10，4），
∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．
∵四邊形ABEF為菱形，
BE＝AB＝10．
過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，
在Rt△BEG中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
設(shè)EG＝4k，則BG＝3k，
∴BE＝＝5k，
∴5k＝10，
∴k＝2，
∴EG＝8，BG＝6，
∴AG＝4．
∴E（4，12）．
∵B的坐標(biāo)為（10，4），AB∥x軸，
∴A（0，4）．
∵點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)，
∴N（2，8）．
設(shè)直線l的解析式為y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直線l的解析式為y＝﹣2x+12，
故選：D．
7．（2022?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．D．2
【分析】過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，由銳角三角函數(shù)的定義可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的長(zhǎng)，利用勾股定理可求解AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求解AD的長(zhǎng)．
【解析】過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝2DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，
∴，
解得AC＝，
∴AB＝，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
故選：C．
8．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cs∠APC的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．
【解析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．
則DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．
∴cs∠APC＝cs∠EDC＝＝．
故選：B．
9．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cs∠ADF的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用矩形和折疊的性質(zhì)可得BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，進(jìn)而可得cs∠ADF．
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴cs∠ADF＝，
故選：C．
10．（2022?隨州）如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平地面上，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為β，若CD＝α，則建筑物AB的高度為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】設(shè)AB＝x，在Rt△ABD中，tanβ＝，可得BD＝，則BC＝BD+CD＝a+，在Rt△ABC中，tanα＝，求解x即可．
【解析】設(shè)AB＝x，
在Rt△ABD中，tanβ＝，
∴BD＝，
∴BC＝BD+CD＝a+，
在Rt△ABC中，tanα＝，
解得x＝．
故選：D．
11．（2022?十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹影BC長(zhǎng)為m，則大樹AB的高為（ ）
A．m（csα﹣sinα）B．m（sinα﹣csα）
C．m（csα﹣tanα）D．﹣
【分析】過點(diǎn)C作水平地面的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于D，根據(jù)正弦的定義求出BD，根據(jù)余弦的定義求出CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，計(jì)算即可．
【解析】過點(diǎn)C作水平地面的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于D，
則∠BCD＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，
則BD＝BC?sin∠BCD＝msinα，CD＝BC?cs∠BCD＝mcsα，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
則AD＝CD＝mcsα，
∴AB＝AD﹣BD＝mcsα﹣msinα＝m（csα﹣sinα），
故選：A．
12．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．
【解析】如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故選：C．
13．（2021?濟(jì)南）無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135m的A處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處俯角為43°，無人機(jī)垂直下降40m至B處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處俯角為35°，則M，N之間的距離為（ ）（參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù)）
A．188mB．269mC．286mD．312m
【分析】根據(jù)題意得兩個(gè)直角三角形△AON、△BOM，通過解這兩個(gè)直角三角形求得OB、ON的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求出答案．
【解析】由題意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7m，
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．
故選：C．
二．填空題（共11小題）
14．（2022?岳陽）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汨羅江國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)P處觀看200米直道競(jìng)速賽．如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)P的北偏東60°方向上，AB＝200米，則點(diǎn)P到賽道AB的距離約為 87 米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．
【分析】過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為P，設(shè)PC＝x米，然后分別在Rt△APC和Rt△CBP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，BC的長(zhǎng)，再根據(jù)AB＝200米，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為P，
設(shè)PC＝x米，
在Rt△APC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PC?tan30°＝x（米），
在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，
∴BC＝CP?tan60°＝x（米），
∵AB＝200米，
∴AC+BC＝200，
∴x+x＝200，
∴x＝50≈87，
∴PC＝87米，
∴點(diǎn)P到賽道AB的距離約為87米，
故答案為：87．
15．（2022?孝感）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物D點(diǎn)的俯角α為45°，C點(diǎn)的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為 16 m．
（sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，結(jié)果保留整數(shù)）．
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，設(shè)AE＝xm，則DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，進(jìn)而可得出答案．
【解析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖．
則BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
設(shè)AE＝xm，則DE＝xm，
∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，
在Rt△ABC中，
tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，
解得x＝10，
∴AB＝16m．
故答案為：16．
16．（2022?武漢）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時(shí)施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，則C，D兩點(diǎn)的距離是 800 m．
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥BD，在Rt△BCE中先求出CE，再在Rt△DCE中利用邊角間關(guān)系求出CD．
【解析】過點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E．
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°．
在Rt△BCE中，
∵BC＝1600m，
∴CE＝BC＝800m，∠BCE＝60°．
∵∠BCD＝105°，
∴∠ECD＝45°．
在Rt△DCE中，
∵cs∠ECD＝，
∴CD＝
＝
＝800（m）．
故答案為：800．
17．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為 ． ．
【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可．
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式兩邊同時(shí)除以ac得：
＝+1，
令＝x，則有＝x+1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴sinA＝＝．
故答案為：．
18．（2022?泰安）如圖，某一時(shí)刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角∠DPC＝30°，已知窗戶的高度AF＝2m，窗臺(tái)的高度CF＝1m，窗外水平遮陽篷的寬AD＝0.8m，則CP的長(zhǎng)度為 4.4m （結(jié)果精確到0.1m）．
【分析】本題涉及遮陽棚的計(jì)算問題，光線是平行光線，所以在直角三角形中，知道一個(gè)銳角的度數(shù)，一條邊的長(zhǎng)度，可以運(yùn)用直角三角形邊角的關(guān)系解決問題．
【解析】根據(jù)圖形可知AD∥CP．
∵AD∥CP，∠DPC＝30°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝0.8m，
∴AB＝AD×tan∠ADB＝0.8×≈0.46m．
∵AB＝0.46m，AF＝2m，CF＝1m，
∴BC＝2.54m，
在Rt△BCP中，∠BPC＝30°，BC＝2.54m，
∴CP＝．
答：CP的長(zhǎng)度約為4.4m．
故答案為：4.4m．
19．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA＝ ．
【分析】先構(gòu)造直角三角形，然后即可求出sinA的值．
【解析】設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，
作CD⊥AB于點(diǎn)D，
由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，
∴AC＝＝＝5a，
∴sin∠CAB＝＝＝，
故答案為：．
20．（2022?衡陽）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡陽雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場(chǎng)中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽．某課外實(shí)踐小組為測(cè)量大雁雕塑的高度，利用測(cè)角儀及皮尺測(cè)得以下數(shù)據(jù)：如圖，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知測(cè)角儀DA的高度為1.5m，則大雁雕塑BC的高度約為 10.2 m．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
【分析】首先證明BF＝DF＝10，在Rt△BFG中，根據(jù)三角函數(shù)定義求出BG即可解決問題．
【解析】∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，
∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴DF＝BF＝AE＝10，
Rt△BFG中，sin∠BFG＝，
∴＝，
∴BG＝5＝5×1.732≈8.66，
∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）．
答：大雁雕塑BC的高度約為10.2m．
故答案為：10.2．
21．（2022?涼山州）如圖，⊙O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，若cs∠CDB＝，BD＝5，則⊙O的半徑為 ．
【分析】連接OD，由垂徑定理的推論得出AB⊥CD，由三角函數(shù)求出DH＝4，由勾股定理得出BH＝3，設(shè)OH＝x，則OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】連接OD，如圖所示
∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵cs∠CDB＝＝，BD＝5，
∴DH＝4，
∴BH＝3，
設(shè)OH＝x，則OD＝OB＝x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴OB＝OH+BH＝3+＝；
故答案為：．
22．（2022?涼山州）如圖，CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為 ．
【分析】先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得∠A＝α，∠B＝β，從而可得∠A＝∠B，再根據(jù)相似三角形的判定證出△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OC的長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義即可得．
【解析】如圖，
由題意得：OE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴AC∥OE，
∴∠A＝α，
同理可得：∠B＝β，
∵α＝β，
∴∠A＝∠B，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∴，
解得：OC＝4，
∴tanα＝tanA＝＝，
故答案為：．
23．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為 ．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案．
【解析】如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案為：．
24．（2022?金華）圖1是光伏發(fā)電場(chǎng)景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點(diǎn)（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點(diǎn)的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱器點(diǎn)F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°．
（1）點(diǎn)F的高度EF為 9 m．
（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是 α﹣β＝7.5° ．
【分析】（1）連接A′A并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)H，易證四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，可得HE＝AB＝1m，HD＝EB＝8m，再根據(jù)在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°，可得HF＝HD＝8m，即可求出FE的長(zhǎng)；
（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，根據(jù)入射角等于反射角，可得∠FAM＝2∠FAK，∠AF′N＝2∠FA′R，根據(jù)HF＝8m，HA′＝8m，解直角三角形可得∠HFA′＝60°，從而可得∠AFA′的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠FA′R＝7.5°+∠FAK，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可表示∠DAB和∠D′A′B′，從而可得α與β的數(shù)量關(guān)系．
【解析】（1）連接A′A并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)H，如圖，
則四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，
∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8m，
∵在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°，
∴∠HAF＝45°，
∴∠HFA＝45°，
∴HF＝HD＝8，
∴EF＝8+1＝9（m），
故答案為：9；
（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，如圖所示：
則∠FAM＝2∠FAK，∠AF′N＝2∠FA′R，
∵HF＝8m，HA′＝8m，
∴tan∠HFA′＝，
∴∠HFA′＝60°，
∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，
∵太陽光線是平行光線，
∴A′N∥AM，
∴∠NA′M＝∠AMA′，
∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，
∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，
∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，
∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，
∵AB∥EF，A′B′∥EF，
∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，
同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+FAK，
∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，
故答案為：α﹣β＝7.5°．
三．解答題（共30小題）
25．（2022?宜賓）計(jì)算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
【分析】（1）先計(jì)算二次根式、特殊角的三角函數(shù)值和絕對(duì)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減；
（2）先計(jì)算括號(hào)里面的，再變除法為乘法進(jìn)行分式的乘法運(yùn)算．
【解析】（1）﹣4sin30°+|﹣2|
＝2﹣4×+2﹣
＝2﹣2+2﹣
＝；
（2）（1﹣）÷
＝（）．
＝
＝a﹣1．
26．（2022?岳陽）計(jì)算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．
【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0
＝3﹣2×1+1﹣1
＝3﹣2+1﹣1
＝1．
27．（2022?樂山）sin30°+﹣2﹣1．
【分析】分別利用特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義及負(fù)整數(shù)指數(shù)的定義運(yùn)算，然后合并即可求解．
【解析】原式＝+3﹣
＝3．
28．（2022?新疆）周末，王老師布置了一項(xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺(tái)上，看對(duì)面一棟樓頂部的仰角為45°，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m，求這棟樓的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中，由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，則AE＝CD＝30m，
在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，AE＝30m，
∴BE＝AE＝30m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，AE＝30m，
∴CE＝tan37°×AE≈0.75×30＝22.5（m），
∴BC＝BE+CE＝52.5（m），
答：這棟樓的高度大約為52.5m．
29．（2022?宿遷）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓AB的頂部觀測(cè)信號(hào)塔CD底部的俯角為30°，信號(hào)塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓AB的高度為20m，求信號(hào)塔的高度（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．
【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，根據(jù)題意可得AB＝DE＝20m，先在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，然后在Rt△AEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，
由題意得：
AB＝DE＝20m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴AE＝＝＝20（m），
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE?tan45°＝20×1＝20（m），
∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，
∴信號(hào)塔的高度為（20+20）m．
30．（2022?邵陽）如圖，一艘輪船從點(diǎn)A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)有暗礁，問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）
【分析】過點(diǎn)C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函數(shù)值求得CD的長(zhǎng)度，從而根據(jù)無理數(shù)的估算作出判斷．
【解析】安全，理由如下：
過點(diǎn)C作CD垂直AB，
由題意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，設(shè)CD＝BD＝xkm，則AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．
31．（2022?天津）如圖，某座山AB的頂部有一座通訊塔BC，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上．從地面P處測(cè)得塔頂C的仰角為42°，測(cè)得塔底B的仰角為35°．已知通訊塔BC的高度為32m，求這座山AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
【分析】設(shè)AP＝x米，在Rt△APB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，從而求出AC的長(zhǎng)，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】設(shè)AP＝x米，
在Rt△APB中，∠APB＝35°，
∴AB＝AP?tan35°≈0.7x（米），
∵BC＝32米，
∴AB＝AB+BC＝（32+0.7x）米，
在Rt△APC中，∠APC＝42°，
∴tan42°＝＝≈0.9，
∴x＝160，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝160是原方程的根，
∴AB＝0.7x＝112（米），
∴這座山AB的高度約為112米．
32．（2022?眉山）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組去測(cè)量眉山市某標(biāo)志性建筑物的高CD．如圖，在樓前平地A處測(cè)得樓頂C處的仰角為30°，沿AD方向前進(jìn)60 m到達(dá)B處，測(cè)得樓頂C處的仰角為45°，求此建筑物的高．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
【分析】在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，設(shè)CD為xm，則BD＝CD＝xm，AD＝BD+AB＝（60+x）m，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，解方程即可．
【解析】在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
設(shè)CD為xm，
∴BD＝CD＝xm，
∴AD＝BD+AB＝（60+x）m，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得≈82．
答：此建筑物的高度約為82 m．
33．（2022?臺(tái)州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長(zhǎng)3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【分析】在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解方程即可．
【解析】在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，
解得BC≈2.9．
答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．
34．（2022?宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長(zhǎng)江首城會(huì)客廳、旅游休閑目的地、文化地標(biāo)打卡地．某數(shù)學(xué)小組為測(cè)量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測(cè)得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達(dá)平臺(tái)B處，測(cè)得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以得到AF和BF的值，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出DE的值．
【解析】由已知可得，
tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，
設(shè)BF＝7a米，AF＝24a米，
∴（7a）2+（24a）2＝252，
解得a＝1，
∴AF＝24米，BF＝7米，
∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，
設(shè)DE＝x米，則DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，
∵tan∠DBE＝＝，
∴tan60°＝，
解得x≈40，
答：東樓的高度DE約為40米．
35．（2022?山西）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．
【分析】延長(zhǎng)AB，CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，然后在Rt△AGO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OG的長(zhǎng)，再利用三角形的外角求出∠OEF＝30°，從而可得OF＝EF＝24米，再在Rt△EFH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】延長(zhǎng)AB，CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，
則AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，
在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∴OG＝≈≈21.8（m），
∵∠HFE是△OFE的一個(gè)外角，
∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°，
∴∠FOE＝∠OEF＝30°，
∴OF＝EF＝24m，
在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，
∴FH＝EF?cs60°＝24×＝12（m），
∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝21.8+24+12≈58（m），
∴樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)約為58m．
36．（2022?河南）開封清明上河圖是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測(cè)角儀測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）．
【分析】延長(zhǎng)EF交DC于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，設(shè)FH＝x米，在Rt△DFH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長(zhǎng)，然后在Rt△DHE中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】延長(zhǎng)EF交DC于點(diǎn)H，
由題意得：
∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，
設(shè)FH＝x米，
∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，
在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，
∴DH＝FH?tan45°＝x（米），
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，
∴tan34°＝＝≈0.67，
∴x≈30.1，
經(jīng)檢驗(yàn)：x≈30.1是原方程的根，
∴DC＝DH+CH＝30.1+1.5≈32（米），
∴拂云閣DC的高度約為32米．
37．（2022?荊州）荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門外．如圖，某校學(xué)生測(cè)量其高AB（含底座），先在點(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得其頂端A的仰角為32°，再由點(diǎn)C向城徽走6.6m到E處，測(cè)得頂端A的仰角為45°．已知B，E，C三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625）．
【分析】延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，則∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6米，CD＝EF＝BG＝1.5米，設(shè)FG＝x米，先在Rt△AGF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長(zhǎng)，再在Rt△AGD中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，
則∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6米，CD＝EF＝BG＝1.5米，
設(shè)FG＝x米，
∴DG＝FG+DF＝（x+6.6）米，
在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，
∴AG＝FG?tan45°＝x（米），
在Rt△AGD中，∠ADG＝32°，
∴tan32°＝＝≈0.625，
∴x＝11，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝11是原方程的根，
∴AB＝AG+BG＝11+1.5＝12.5（米），
∴城徽的高AB約為12.5米．
38．（2022?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線MN∥AB．嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段DH，用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
（參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，取4.1）
【分析】（1）由∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，得∠C＝76°，根據(jù)tanC＝，BC＝1.7m，可得AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），
（2）過O作AB的垂線交MN于D，交圓于H，即可畫出線段DH，表示最大水深，根據(jù)OA＝OM，∠BAM＝7°，AB∥MN，可得∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，即知MD＝4OD，設(shè)OD＝xm，則MD＝4xm，有x2+（4x）2＝3.42，解得OD＝0.82m，從而DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝2.58≈2.6（m）．
【解析】（1）∵嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，
∴∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝76°，
∵tanC＝，BC＝1.7m，
∴tan76°＝，
∴AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），
答：∠C＝76°，AB的長(zhǎng)為6.8m；
（2）圖中畫出線段DH如圖：
∵OA＝OM，∠BAM＝7°，
∴∠OMA＝∠OAM＝7°，
∵AB∥MN，
∴∠AMD＝∠BAM＝7°，
∴∠OMD＝14°，
∴∠MOD＝76°，
在Rt△MOD中，
tan∠MOD＝，
∴tan76°＝，
∴MD＝4OD，
設(shè)OD＝xm，則MD＝4xm，
在Rt△MOD中，OM＝OA＝AB＝3.4m，
∴x2+（4x）2＝3.42，
∵x＞0，
∴x＝≈0.82，
∴OD＝0.82m，
∴DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝3.4﹣0.82＝2.58≈2.6（m），
答：最大水深約為2.6米．
39．（2022?常德）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國(guó)冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)，激起了國(guó)人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖1），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖2是其示意圖，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳臺(tái)的跨度FG＝7米，頂端E到BD的距離為40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面BD的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【分析】過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，交HG于點(diǎn)M，則AB＝AH﹣EM+EN，分別在Rt△AHF中，Rt△FEM和Rt△EMG中，解直角三角形即可得出結(jié)論．
【解析】如圖，過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，交HG于點(diǎn)M，則AB＝AH﹣EM+EN．
根據(jù)題意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF?sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，設(shè)MG＝m米，則FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG?tan∠EGM＝MG?tan36°＝0.73m，
EM＝FM?tan∠EFM＝FM?tan25°＝0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM＝0.47（7﹣m）≈2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面BD的距離是70米．
40．（2022?宜昌）知識(shí)小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足53°≤α≤72°．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cs66°≈0.41，tan66°≈2.25）
如圖，現(xiàn)有一架長(zhǎng)4m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上．
（1）當(dāng)人安全使用這架梯子時(shí)，求梯子頂端A與地面距離的最大值；
（2）當(dāng)梯子底端B距離墻面1.64m時(shí)，計(jì)算∠ABO等于多少度？并判斷此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？
【分析】（1）根據(jù)α的取值范圍得出，當(dāng)α＝72°時(shí)，AO取得最大值，利用三角函數(shù)求出此時(shí)的AO值即可；
（2）根據(jù)cs∠ABO＝得出函數(shù)值，判斷出∠ABO的度數(shù)，再根據(jù)角度得出結(jié)論即可．
【解析】（1）53°≤α≤72°，當(dāng)α＝72°時(shí)，AO取最大值，
在Rt△AOB中，sin∠ABO＝，
∴AO＝AB?sin∠ABO＝4×sin72°＝4×0.95＝3.8（米），
∴梯子頂端A與地面的距離的最大值為3.8米；
（2）在Rt△AOB中，cs∠ABO＝＝1.64÷4＝0.41，
∵cs66°≈0.41，
∴∠ABO＝66°，
∵53°≤α≤72°，
∴人能安全使用這架梯子．
41．（2022?廣元）如圖，計(jì)劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點(diǎn)E處測(cè)得山頂A的仰角為45°，在距E點(diǎn)80m的C處測(cè)得山頂A的仰角為30°，從與F點(diǎn)相距10m的D處測(cè)得山頂A的仰角為45°，點(diǎn)C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長(zhǎng)度．
【分析】過點(diǎn)A作AH⊥DE，垂足為H，設(shè)EH＝x米，在Rt△AEH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長(zhǎng)，再在Rt△ACH中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，從而求出AH，EH的長(zhǎng)，最后在Rt△AHD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DH的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】過點(diǎn)A作AH⊥DE，垂足為H，
設(shè)EH＝x米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH?tan45°＝x（米），
∵CE＝80米，
∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝40+40，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝40+40是原方程的根，
∴AH＝EH＝（40+40）米，
在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，
∴DH＝＝（40+40）米，
∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，
∴隧道EF的長(zhǎng)度為（80+70）米．
42．（2022?湘潭）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊(yùn)，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中≈0.618）：傘柄AH始終平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，傘完全打開，此時(shí)∠BDC＝90°．請(qǐng)問最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
【分析】作BE⊥AH于點(diǎn)E，根據(jù)三角函數(shù)求出AE和EB，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出DE，再根據(jù)比例關(guān)系求出AH的長(zhǎng)度即可．
【解析】作BE⊥AH于點(diǎn)E，
∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴AE＝AB?cs60°＝20×＝10（cm），
BE＝AB?sin60°＝20×＝10≈17.32（cm），
∵BD＝CD，∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝17.32cm，
∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm），
∵，
即，
解得AH≈72，
∴最少需要準(zhǔn)備72cm長(zhǎng)的傘柄．
43．（2022?婁底）“體育承載著國(guó)家強(qiáng)盛、民族振興的夢(mèng)想”．墩墩使用握力器（如實(shí)物圖所示）鍛煉手部肌肉．如圖，握力器彈簧的一端固定在點(diǎn)P處，在無外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為3cm，即PQ＝3cm．開始訓(xùn)練時(shí)，將彈簧的端點(diǎn)Q調(diào)在點(diǎn)B處，此時(shí)彈簧長(zhǎng)PB＝4cm，彈力大小是100N，經(jīng)過一段時(shí)間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強(qiáng)度，于是將彈簧端點(diǎn)Q調(diào)到點(diǎn)C處，使彈力大小變?yōu)?00N，已知∠PBC＝120°，求BC的長(zhǎng)．
注：彈簧的彈力與形變成正比，即F＝k?Δx，k是勁度系數(shù)，Δx是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為x0，在外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為x，則Δx＝x﹣x0．
【分析】由題意可以先求出k的值，然后即可求出PC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可得到PA和AB的長(zhǎng)，由圖可知：BC＝AC﹣AB，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【解析】由題意可得，
x0＝3cm，
100＝k（4﹣3），
解得k＝100，
∴F＝100Δx，
當(dāng)F＝300時(shí)，300＝100×（PC﹣3），
解得PC＝6cm，
由圖可得，
∠PAB＝90°，∠PBC＝120°，
∴∠APB＝30°，
∵PB＝4cm，
∴AB＝2cm，PA＝＝2（cm），
∵PC＝5cm，
∴AC＝＝2（cm），
∴BC＝AC﹣AB＝（2﹣2）cm，
即BC的長(zhǎng)是（2﹣2）cm．
44．（2022?連云港）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)A處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)C的仰角∠CAE＝45°，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在點(diǎn)G處豎立標(biāo)桿FG，小亮的所在位置點(diǎn)D、標(biāo)桿頂F、最高點(diǎn)C在一條直線上，F(xiàn)G＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮與阿育王塔之間的距離ED．
（注：結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.799，cs53°≈0.602，tan53°≈1.327）
【分析】（1）由∠CAE＝45°，AB＝10m，可得BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，可得tan∠CBE＝tan53°＝＝，即可解得阿育王塔的高度CE約為40.58m；
（2）由△FGD∽△CED，可得＝，可解得小亮與阿育王塔之間的距離ED是54.11m．
【解析】（1）在Rt△CAE中，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE，
∵AB＝10m，
∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，
在Rt△CEB中，
tan∠CBE＝tan53°＝＝，
∴1.327≈，
解得CE≈40.58（m）；
答：阿育王塔的高度CE約為40.58m；
（2）由題意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，
∴△FGD∽△CED，
∴＝，即＝，
解得ED≈54.11（m），
答：小亮與阿育王塔之間的距離ED是54.11m．
45．（2022?達(dá)州）某老年活動(dòng)中心欲在一房前3m高的前墻（AB）上安裝一遮陽篷BC，使正午時(shí)刻房前能有2m寬的陰影處（AD）以供納涼．假設(shè)此地某日正午時(shí)刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，遮陽篷BC與水平面的夾角為10°．如圖為側(cè)面示意圖，請(qǐng)你求出此遮陽篷BC的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和銳角三角函數(shù)，可以求得BE的長(zhǎng)，然后再根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可得到BC的長(zhǎng)．
【解析】作DF⊥CE交CE于點(diǎn)F，
∵EC∥AD，∠CDG＝63.4°，
∴∠FCD＝∠CDG＝63.4°，
∵tan∠FCD＝，tan63.4°≈2.00，
∴＝2，
∴DF＝2CF，
設(shè)CF＝xm，則DF＝2xm，BE＝（3﹣2x）m，
∵AD＝2m，AD＝EF，
∴EF＝2m，
∴EC＝（2+x）m，
∵tan∠BCE＝，tan10°≈0.18，
∴0.18＝，
解得x≈1.2，
∴BE＝3﹣2x＝3﹣2×1.2＝0.6（m），
∵sin∠BCE＝，
∴BC＝＝≈3.5（m），
即此遮陽篷BC的長(zhǎng)度約為3.5m．
46．（2022?舟山）小華將一張紙對(duì)折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其示意圖如圖2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）連結(jié)DE，求線段DE的長(zhǎng)．
（2）求點(diǎn)A，B之間的距離．
（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DCF＝20°，利用銳角三角函數(shù)即可解決問題；
（2）根據(jù)橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，延長(zhǎng)CF交AD、BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AB，所以DE∥AB，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得∠A＝∠GDE＝20°，然后利用銳角三角函數(shù)即可解決問題．
【解析】（1）如圖，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，
∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．
∴∠DCF＝20°，
∴DF＝CD?sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），
∴DE＝2DF≈3.4cm，
∴線段DE的長(zhǎng)約為3.4cm；
（2）∵橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，
∴延長(zhǎng)CF交AD、BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
連接AB，
∴DE∥AB，
∴∠A＝∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC＝90°，
∵∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DCF＝20°，
∴∠A＝20°，
∴DG＝≈≈1.8（cm），
∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），
∴AB＝2AG?cs20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．
∴點(diǎn)A，B之間的距離22.2cm．
47．（2022?涼山州）去年，我國(guó)南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災(zāi)影響，被冰雪從C處壓折，塔尖恰好落在坡面上的點(diǎn)B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行處理，在B處測(cè)得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩點(diǎn)間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以分別求得AD、CD和BC長(zhǎng)，然后將它們相加，即可得到壓折前該輸電鐵塔的高度．
【解析】由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD＝＝＝8（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8米，
∴BC＝＝＝8（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8+8）米，
答：壓折前該輸電鐵塔的高度是（8+8+8）米．
48．（2022?安徽）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．
參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【分析】由三角形內(nèi)角和定理證得△CBD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．
【解析】∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECA＝37°，
∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cs∠BDC＝，
∴BD＝CD?cs∠37°≈90×0.80＝72（米），
在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA＝，
∴AB＝≈＝96（米）．
答：A，B兩點(diǎn)間的距離約96米．
49．（2022?成都）2022年6月6日是第27個(gè)全國(guó)“愛眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．
如圖，當(dāng)張角∠AOB＝150°時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長(zhǎng)為10cm，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角∠A'OB＝108°時(shí)（點(diǎn)A'是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【分析】利用平角定義先求出∠AOC＝30°，然后在Rt△ACO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AO的長(zhǎng)，從而求出A′O的長(zhǎng)，再利用平角定義求出∠A′OD的度數(shù)，最后在Rt△A′DO中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解析】∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由題意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O?sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此時(shí)頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D的長(zhǎng)約為19cm．
50．（2022?重慶）湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向900米處．
（1）求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）
【分析】（1）延長(zhǎng)CB到D，則CD⊥AD于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，所以∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，然后根據(jù)含30度角的直角三角形即可解決問題；
（2）設(shè)快艇在x分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，根據(jù)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，列出方程150x+（400x﹣900）＝1559，進(jìn)而可以解決問題．
【解析】（1）如圖，延長(zhǎng)CB到D，則CD⊥AD于點(diǎn)D，
根據(jù)題意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝450米，
∴AD＝BD＝450（米），
∴AC＝2AD＝900≈1559（米）
答：湖岸A與碼頭C的距離約為1559米；
（2）設(shè)快艇在x分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，
∵救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船．
51．（2022?瀘州）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測(cè)得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10nmile．該漁船自西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)測(cè)得小島C位于西北方向且與點(diǎn)B相距8nmile．求B，D間的距離（計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．
【分析】由勾股定理求出AB過D作DH⊥AB于H，分別在Rt△ADH中和Rt△BDH中，解直角三角形即可求出BD．
【解析】由題意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
過D作DH⊥AB于H，
則∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cs∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10?cs30°＝10×＝5，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D間的距離是14nmile．
52．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．
（1）求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；
（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路較近？
（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）過D作DF⊥AE于F，由已知可得四邊形ACDF是矩形，則DF＝AC＝200米，根據(jù)點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即得DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，又BD＝100米，即可得經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，從而可得經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，即可得答案．
【解析】（1）過D作DF⊥AE于F，如圖：
由已知可得四邊形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，
∵BD＝100米，
∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200+100）米，
∴AF＝CD＝（200+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，
∴經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，
∵529＞500，
∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近．
53．（2022?遂寧）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠GAE＝50.2°，臺(tái)階AB長(zhǎng)26米，臺(tái)階坡面AB的坡度i＝5：12，然后在點(diǎn)B處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．
（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【分析】如圖，延長(zhǎng)EF交AG于點(diǎn)H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點(diǎn)P，則四邊形BFHP是矩形，設(shè)EF＝a米，BF＝b米，構(gòu)建方程組求解．
【解析】如圖，延長(zhǎng)EF交AG于點(diǎn)H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點(diǎn)P，則四邊形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，F(xiàn)H＝PB，
由i＝5：12，可以假設(shè)BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝26，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
設(shè)EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝，
∴＝2，
∴a＝2b①，
∵tan∠EAH＝＝＝，
∴＝1.2②，
由①②得a＝47，b＝23.5，
答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米．
54．（2022?自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過程如下：
（1）探究原理
制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC＝∠GON．請(qǐng)說明這兩個(gè)角相等的理由．
（2）實(shí)地測(cè)量
如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹，為測(cè)樹高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹頂端P的仰角∠POQ＝60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹高PH．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）
（3）拓展探究
公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F（E、F、H在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α、β，再測(cè)得E、F間的距離m，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米．求PH（用α、β、m表示）．
【分析】（1）根據(jù)圖形和同角的余角相等可以說明理由；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意，可以計(jì)算出PH的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題目中的數(shù)據(jù)，可以用含α、β、m的式子表示出PH．
【解析】（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由題意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝，
∴tan60°＝，
解得PQ＝5，
∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），
即樹高PH為10.2米；
（3）由題意可得，
O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，
由圖可得，tanβ＝，tanα＝，
∴O2D＝，O1D＝，
∵O1O2＝O2D﹣O1D，
∴m＝﹣，
∴PD＝，
∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．

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