1．（2022?遵義）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（a，1）與點B（﹣2，b）關(guān)于原點成中心對稱，則a+b的值為（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
2．（2022?內(nèi)江）2022年2月第24屆冬季奧林匹克運動會在我國北京成功舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設(shè)計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022?哈爾濱）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022?臨沂）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．魚與“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪紙藝術(shù)中很受喜愛的主題．以下關(guān)于魚的剪紙中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022?長沙）在平面直角坐標(biāo)系中，點（5，1）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣5，1）B．（5，﹣1）C．（1，5）D．（﹣5，﹣1）
6．（2022?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，其中點A'與點A是對應(yīng)點，點B'與點B是對應(yīng)點．若點B'恰好落在AB邊上，則點A到直線A'C的距離等于（ ）
A．3B．2C．3D．2
7．（2022?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，點（a+2，2）關(guān)于原點的對稱點為（4，﹣b），則ab的值為（ ）
A．﹣4B．4C．12D．﹣12
8．（2022?永州）剪紙是我國具有獨特藝術(shù)風(fēng)格的民間藝術(shù)，反映了勞動人民對現(xiàn)實生活的深刻感悟．下列剪紙圖形中，是中心對稱圖形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．（2022?宜昌）將四個數(shù)字看作一個圖形，則下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022?天津）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點M的對應(yīng)點為點N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC
11．（2022?常德）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別是D，E，點F是邊AC的中點，連接BF，BE，F(xiàn)D．則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．BE＝BCB．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90°D．DG＝3GF
12．（2022?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B、C、E在y軸上，點C的坐標(biāo)為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（ ）
A．△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
B．△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
C．△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
D．△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
13．（2022?杭州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（0，2），點A（4，2）．以點P為旋轉(zhuǎn)中心，把點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得點B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四個點中，直線PB經(jīng)過的點是（ ）
A．M1B．M2C．M3D．M4
14．（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點B′恰好落在CA的延長線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
15．（2022?綏化）如圖，線段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點坐標(biāo)為（2，5），線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OA'，則點A'的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
16．（2022?黑龍江）下列圖形是汽車的標(biāo)識，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022?大慶）觀察下列圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022?齊齊哈爾）下面四個交通標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022?桂林）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．等邊三角形B．圓
C．正五邊形D．扇形
20．（2022?遂寧）下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．科克曲線B．笛卡爾心形線
C．阿基米德螺旋線D．趙爽弦圖
21．（2022?畢節(jié)市）下列垃圾分類標(biāo)識的圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空題（共8小題）
22．（2022?吉林）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）后能夠與它本身重合，則角α可以為 度．（寫出一個即可）
23．（2022?賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等腰三角形，OA＝AB＝5，點B到x軸的距離為4，若將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，則點B′的坐標(biāo)為 ．
24．（2022?懷化）已知點A（﹣2，b）與點B（a，3）關(guān)于原點對稱，則a﹣b＝ ．
25．（2022?云南）點A（1，﹣5）關(guān)于原點的對稱點為點B，則點B的坐標(biāo)為 ．
26．（2022?瀘州）點（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為 ．
27．（2022?無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC＝20°，則∠BAF＝ °；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是 ．
28．（2022?永州）如圖，圖中網(wǎng)格由邊長為1的小正方形組成，點A為網(wǎng)格線的交點．若線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，端點A的坐標(biāo)變?yōu)? ．
29．（2022?麗水）一副三角板按圖1放置，O是邊BC（DF）的中點，BC＝12cm．如圖2，將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，AC與EF相交于點G，則FG的長是 cm．
三．解答題（共9小題）
30．（2022?武漢）如圖是由小正方形組成的9×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
（1）在圖（1）中，D，E分別是邊AB，AC與網(wǎng)格線的交點．先將點B繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到點F，畫出點F，再在AC上畫點G，使DG∥BC；
（2）在圖（2）中，P是邊AB上一點，∠BAC＝α．先將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段AH，畫出線段AH，再畫點Q，使P，Q兩點關(guān)于直線AC對稱．
31．（2022?溫州）如圖，在2×6的方格紙中，已知格點P，請按要求畫格點圖形（頂點均在格點上）．
（1）在圖1中畫一個銳角三角形，使P為其中一邊的中點，再畫出該三角形向右平移2個單位后的圖形．
（2）在圖2中畫一個以P為一個頂點的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點P旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
32．（2022?安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．
（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．
33．（2022?黑龍江）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC與△DEF關(guān)于點O成中心對稱，△ABC與△DEF的頂點均在格點上，請按要求完成下列各題．
（1）在圖中畫出點O的位置．
（2）將△ABC先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（3）在網(wǎng)格中畫出格點M，使A1M平分∠B1A1C1．
34．（2022?廣元）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．
（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為 ；
（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r
①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
35．（2022?連云港）【問題情境】
在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．
【問題探究】
小昕同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2，當(dāng)點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．
（2）若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．
（3）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點G所經(jīng)過的路徑長．
（4）如圖4，G為DC的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線AB的距離的最大值是 ．
36．（2022?重慶）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點，連接EF，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．
（1）如圖1，點E與點C重合，且GF的延長線過點B，若點P為FG的中點，連接PD，求PD的長；
（2）如圖2，EF的延長線交AB于點M，點N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求證：AM+AF＝AE；
（3）如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE，H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′EH，連接B′G，直接寫出線段B′G的長度的最小值．
37．（2022?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．
【嘗試初探】
（1）在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由．
【深入探究】
（2）若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．
38．（2022?重慶）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．
（1）如圖1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；
（2）如圖2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN．在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ．在點D，E運動過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出的值．
備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）
專題20圖形的旋轉(zhuǎn)
一．選擇題（共21小題）
1．（2022?遵義）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（a，1）與點B（﹣2，b）關(guān)于原點成中心對稱，則a+b的值為（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【分析】由中心對稱的性質(zhì)可求a，b的值，即可求解．
【解析】∵點A（a，1）與點B（﹣2，b）關(guān)于原點成中心對稱，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故選：C．
2．（2022?內(nèi)江）2022年2月第24屆冬季奧林匹克運動會在我國北京成功舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設(shè)計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可．
【解析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可知，C選項既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，
故選：C．
3．（2022?哈爾濱）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
C．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：B．
4．（2022?臨沂）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．魚與“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪紙藝術(shù)中很受喜愛的主題．以下關(guān)于魚的剪紙中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
5．（2022?長沙）在平面直角坐標(biāo)系中，點（5，1）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣5，1）B．（5，﹣1）C．（1，5）D．（﹣5，﹣1）
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知：點（5，1）關(guān)于原點O中心對稱的點的坐標(biāo)為（﹣5，﹣1）．
故選：D．
6．（2022?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，其中點A'與點A是對應(yīng)點，點B'與點B是對應(yīng)點．若點B'恰好落在AB邊上，則點A到直線A'C的距離等于（ ）
A．3B．2C．3D．2
【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出AC＝2，∠B＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，證出△CBB′和△CAA′為等邊三角形，過點A作AD⊥A'C于點D，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解析】連接AA′，如圖，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，
∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′為等邊三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′為等邊三角形，
過點A作AD⊥A'C于點D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝3，
∴點A到直線A'C的距離為3，
故選：C．
7．（2022?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，點（a+2，2）關(guān)于原點的對稱點為（4，﹣b），則ab的值為（ ）
A．﹣4B．4C．12D．﹣12
【分析】首先根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分別求出a、b的值，再代入即可得到答案．
【解析】∵在平面直角坐標(biāo)系中，點（a+2，2）關(guān)于原點的對稱點為（4，﹣b），則
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故選：D．
8．（2022?永州）剪紙是我國具有獨特藝術(shù)風(fēng)格的民間藝術(shù)，反映了勞動人民對現(xiàn)實生活的深刻感悟．下列剪紙圖形中，是中心對稱圖形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解析】①、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
②、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
③、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
④、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
9．（2022?宜昌）將四個數(shù)字看作一個圖形，則下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱的概念和各圖形的特點即可求解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【解析】中心對稱圖形，即把一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°后能和原來的圖形重合，所以D選項符合題意，
故選：D．
10．（2022?天津）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點M的對應(yīng)點為點N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)判斷即可．
【解析】A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；
B、當(dāng)△ABC為等邊三角形時，AB∥NC，除此之外，AB與NC不平行，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；
C、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本選項結(jié)論正確，符合題意；
D、只有當(dāng)點M為BC的中點時，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；
故選：C．
11．（2022?常德）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別是D，E，點F是邊AC的中點，連接BF，BE，F(xiàn)D．則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．BE＝BCB．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90°D．DG＝3GF
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△BCE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE＝BC，判斷A選項；證明△ABC≌△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷B、C選項；解直角三角形，用CF分別表示出GF、DF，判斷D選項．
【解析】A、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE為等邊三角形，
∴BE＝BC，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，點F是邊AC的中點，
∴AB＝AC＝CF＝BF，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠A＝∠ACD，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS），
∴DF＝BC＝BE，
∵DE＝AB＝BF，
∴四邊形EBFD為平行四邊形，
∴BF∥DE，BF＝DE，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
C、∵△ABC≌△CFD，
∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，
∴GF＝CF，
同理可得，DF＝CF，
∴DF＝3GF，故本選項結(jié)論錯誤，符合題意；
故選：D．
12．（2022?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B、C、E在y軸上，點C的坐標(biāo)為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（ ）
A．△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
B．△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
C．△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
D．△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
【分析】觀察圖形可以看出，Rt△ABC通過變換得到Rt△ODE，應(yīng)先旋轉(zhuǎn)然后平移即可．
【解析】根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位可以得到△ODE．
故選：D．
13．（2022?杭州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（0，2），點A（4，2）．以點P為旋轉(zhuǎn)中心，把點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得點B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四個點中，直線PB經(jīng)過的點是（ ）
A．M1B．M2C．M3D．M4
【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得B（2，2+2），利用待定系數(shù)法可得直線PB的解析式，依次將M1，M2，M3，M4四個點的一個坐標(biāo)代入y＝x+2中可解答．
【解析】∵點A（4，2），點P（0，2），
∴PA⊥y軸，PA＝4，
由旋轉(zhuǎn)得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如圖，過點B作BC⊥y軸于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
設(shè)直線PB的解析式為：y＝kx+b，
則，
∴，
∴直線PB的解析式為：y＝x+2，
當(dāng)y＝0時，x+2＝0，x＝﹣，
∴點M1（﹣，0）不在直線PB上，
當(dāng)x＝﹣時，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（﹣，﹣1）在直線PB上，
當(dāng)x＝1時，y＝+2，
∴M3（1，4）不在直線PB上，
當(dāng)x＝2時，y＝2+2，
∴M4（2，）不在直線PB上．
故選：B．
14．（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點B′恰好落在CA的延長線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．
【解析】∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵點B′恰好落在CA的延長線上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故選：B．
15．（2022?綏化）如圖，線段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點坐標(biāo)為（2，5），線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OA'，則點A'的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
【分析】過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解析】過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，如圖，
∵A點坐標(biāo)為（2，5），
∴OB＝2，AB＝5．
由題意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．
∴∠AOB+∠A′OC＝90°．
∵∠A′OC+∠A′＝90°，
∴∠A′＝∠AOB．
在△A′OC和△OAB中，
，
∴△A′OC≌△OAB（AAS）．
∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，
∴A′（﹣5，2）．
故選：A．
16．（2022?黑龍江）下列圖形是汽車的標(biāo)識，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：C．
17．（2022?大慶）觀察下列圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
18．（2022?齊齊哈爾）下面四個交通標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
【解析】選項B、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，
故選：A．
19．（2022?桂林）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．等邊三角形B．圓
C．正五邊形D．扇形
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
【解析】選項A、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，
故選：B．
20．（2022?遂寧）下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．科克曲線B．笛卡爾心形線
C．阿基米德螺旋線D．趙爽弦圖
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解析】A．科克曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．笛卡爾心形線是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．阿基米德螺旋線不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．趙爽弦圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
21．（2022?畢節(jié)市）下列垃圾分類標(biāo)識的圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：A．
二．填空題（共8小題）
22．（2022?吉林）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）后能夠與它本身重合，則角α可以為 72（答案不唯一）． 度．（寫出一個即可）
【分析】先求出正五邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．
【解析】360°÷5＝72°，
則這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)72°后能夠與它本身重合，
故答案為：72（答案不唯一）．
23．（2022?賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等腰三角形，OA＝AB＝5，點B到x軸的距離為4，若將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，則點B′的坐標(biāo)為 （﹣4，8） ．
【分析】過點B作BN⊥x軸，過點B′作B′M⊥y軸，先求出ON＝8，再證明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，從而求出點B′的坐標(biāo)．
【解析】過點B作BN⊥x軸，過點B′作B′M⊥y軸，
∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，
∵OA＝AB＝5，點B到x軸的距離為4，
∴AN＝3，
∴ON＝8，
∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA＝∠B′OA′，
∴△AOB≌△A′OB′（AAS），
∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，
∴B′（﹣4，8），
故答案為：（﹣4，8）．
24．（2022?懷化）已知點A（﹣2，b）與點B（a，3）關(guān)于原點對稱，則a﹣b＝ 5 ．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，可得答案．
【解析】∵點A（﹣2，b）與點B（a，3）關(guān)于原點對稱，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案為：5．
25．（2022?云南）點A（1，﹣5）關(guān)于原點的對稱點為點B，則點B的坐標(biāo)為 （﹣1，5） ．
【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
【解析】∵點A（1，﹣5）關(guān)于原點對稱點為點B，
∴點B的坐標(biāo)為（﹣1，5）．
故答案為：（﹣1，5）．
26．（2022?瀘州）點（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為 （2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即：求關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
【解析】∵點M（﹣2，3）關(guān)于原點對稱，
∴點M（﹣2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（2，﹣3）．
故答案為（2，﹣3）．
27．（2022?無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC＝20°，則∠BAF＝ 80 °；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是 4﹣ ．
【分析】第一個問題證明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二個問題，如圖1中，設(shè)BE交AC于點T．證明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出點F在△ABC的外接圓上運動，當(dāng)∠ABF最小時，AF的值最小，此時CD⊥BD，求出AE，EF可得結(jié)論．
【解析】∵△ACB，△DEC都是等邊三角形，
∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．
如圖1中，設(shè)BE交AC于點T．
同法可證△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BTC＝∠ATF，
∴∠BCT＝∠AFT＝60°，
∴點F在△ABC的外接圓上運動，當(dāng)∠ABF最小時，AF的值最小，此時CD⊥BD，
∴BD＝＝＝4，
∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∴EF＝CE?tan30°＝，
∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣，
故答案為：80，4﹣．
28．（2022?永州）如圖，圖中網(wǎng)格由邊長為1的小正方形組成，點A為網(wǎng)格線的交點．若線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，端點A的坐標(biāo)變?yōu)? （2，﹣2） ．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到旋轉(zhuǎn)后的A點的對應(yīng)點的位置，即可求解．
【解析】線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°如圖所示，則A'（2，﹣2），
則旋轉(zhuǎn)后A點坐標(biāo)變?yōu)椋海?，﹣2），
故答案為：（2，﹣2）．
29．（2022?麗水）一副三角板按圖1放置，O是邊BC（DF）的中點，BC＝12cm．如圖2，將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，AC與EF相交于點G，則FG的長是 （3﹣3） cm．
【分析】設(shè)EF與BC交于點H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明∠FHO＝90°，可得OH＝OF＝3cm，利用含30度角的直角三角形可得CH＝OC﹣OH＝3cm，F(xiàn)H＝OH＝3cm，然后證明△CHG的等腰直角三角形，可得CH＝GH＝3cm，進而可以解決問題．
【解析】如圖，設(shè)EF與BC交于點H，
∵O是邊BC（DF）的中點，BC＝12cm．如圖2，
∴OD＝OF＝OB＝OC＝6cm．
∵將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，
∴∠BOD＝∠FOH＝60°，
∵∠F＝30°，
∴∠FHO＝90°，
∴OH＝OF＝3cm，
∴CH＝OC﹣OH＝3cm，F(xiàn)H＝OH＝3cm，
∵∠C＝45°，
∴CH＝GH＝3cm，
∴FG＝FH﹣GH＝（3﹣3）cm．
故答案為：（3﹣3）．
三．解答題（共9小題）
30．（2022?武漢）如圖是由小正方形組成的9×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
（1）在圖（1）中，D，E分別是邊AB，AC與網(wǎng)格線的交點．先將點B繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到點F，畫出點F，再在AC上畫點G，使DG∥BC；
（2）在圖（2）中，P是邊AB上一點，∠BAC＝α．先將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段AH，畫出線段AH，再畫點Q，使P，Q兩點關(guān)于直線AC對稱．
【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形ABCF即可解決問題，CF交格線于點T，連接DT交AC于點G，點G，點F即為所求；
（2）取格點M，N，J，連接MN，BJ交于點H，連接AH，PH，PH交AC于點K，連接BK，延長BK交AH 于點Q，線段AH，點Q即為所求．
【解析】（1）如圖（1）中，點F，點G即為所求；
（2）如圖（2）中，線段AH，點Q即為所求．
31．（2022?溫州）如圖，在2×6的方格紙中，已知格點P，請按要求畫格點圖形（頂點均在格點上）．
（1）在圖1中畫一個銳角三角形，使P為其中一邊的中點，再畫出該三角形向右平移2個單位后的圖形．
（2）在圖2中畫一個以P為一個頂點的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點P旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可；
（2）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可．
【解析】（1）如圖1中△ABC即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖2中△ABC即為所求（答案不唯一）．
32．（2022?安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．
（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△A1B1C1；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△A2B2C2．
【解析】（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
33．（2022?黑龍江）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC與△DEF關(guān)于點O成中心對稱，△ABC與△DEF的頂點均在格點上，請按要求完成下列各題．
（1）在圖中畫出點O的位置．
（2）將△ABC先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（3）在網(wǎng)格中畫出格點M，使A1M平分∠B1A1C1．
【分析】（1）連接對應(yīng)點B、F，對應(yīng)點C、E，其交點即為旋轉(zhuǎn)中心的位置；
（2）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出平移后的點的位置，然后順次連接即可；
（3）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點作出即可．
【解析】（1）如圖所示，點O為所求．
（2）如圖所示，△A1B1C1為所求．
（3）如圖所示，點M為所求．
34．（2022?廣元）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．
（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為 135° ；
（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r
①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CA＝CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝90°﹣，∠BDC＝45°+，即可得∠ADB的度數(shù)；
（2）①依題意可補全圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求解；
②過點C作CG∥BD，交EB的延長線于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CE垂直平分BD，求出∠G＝∠EBD＝45°．可得EC＝CG，EG＝EC，證明△ACE≌△BCG，可得AE＝BG，根據(jù)線段的和差即可得出結(jié)論．
【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），
∴CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°+，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°﹣+45°+＝135°，
故答案為：135°；
（2）①依題意補全圖形如圖，
由旋得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°+α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°﹣，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°﹣﹣45°+＝45°；
②CE＝2BE﹣AD．
證明：過點C作CG∥BD，交EB的延長線于點G，
∵BC＝CD，CE平分∠BCD，
∴CE垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠EFB＝90°，
由①知，∠ADB＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
∴∠FEB＝45°，
∵BD∥CG，
∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，
∴EC＝CG，EG＝EC，
∵∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB，
∴∠ACE＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE＝BG，
∵EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD，
∴CE＝2BE﹣AD．
35．（2022?連云港）【問題情境】
在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．
【問題探究】
小昕同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2，當(dāng)點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．
（2）若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．
（3）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點G所經(jīng)過的路徑長．
（4）如圖4，G為DC的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線AB的距離的最大值是 ．
【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求解，即可求出答案；
（2）①當(dāng)點E在BC上方時，如圖1過點D作DH⊥BC于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC＝3，DE＝，最后利用面積求解，即可求出答案；
②當(dāng)點E在BC下方時，同①的方法，即可求出答案；
（3）先求出∠BOE＝150°，再判斷出點G是以點O為圓心，為半徑的圓上，最后用弧長公式求解，即可求出答案；
（4）過點O作OK⊥AB于K，求出OK＝，即可求出答案．
【解析】（1）由題意得，∠BEF＝∠BED＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝3，
∴BF＝＝＝2；
（2）①當(dāng)點E在BC上方時，
如圖1，過點D作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，AC＝3，
∴tan∠ABC＝，
∴BC＝＝＝3，
在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝3，
∴DE＝BE?tan∠DBE＝，
∵S△BCD＝CD?BE＝BC?DH，
∴DH＝＝+1，
②當(dāng)點E在BC下方時，如圖2，
在Rt△BCE中，BE＝3，BC＝3，
根據(jù)勾股定理得，CE＝＝3，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣，
過點D作DM⊥BC于M，
∵S△BDC＝BC?DM＝CD?BE，
∴DM＝＝﹣1，
即點D到直線BC的距離為±1；
（3）如圖3﹣1，連接CD，取CD的中點G，
取BC的中點O，連接GO，則OG∥AB，
∴∠COG＝∠B＝30°，
∴∠BOE＝150°，
∵點G為CD的中點，點O為BC的中點，
∴GO＝BD＝，
∴點G是以點O為圓心，為半徑的圓上，如圖3﹣2，
∴三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一條直線上時，點G所經(jīng)過的軌跡為150°所對的圓弧，
∴點G所經(jīng)過的路徑長為＝π；
（4）如圖4，過點O作OK⊥AB于K，
∵點O為BC的中點，BC＝3，
∴OB＝，
∴OK＝OB?sin30°＝，
由（3）知，點G是以點O為圓心，為半徑的圓上，
∴點G到直線AB的距離的最大值是+＝，
故答案為：．
36．（2022?重慶）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點，連接EF，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．
（1）如圖1，點E與點C重合，且GF的延長線過點B，若點P為FG的中點，連接PD，求PD的長；
（2）如圖2，EF的延長線交AB于點M，點N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求證：AM+AF＝AE；
（3）如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE，H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′EH，連接B′G，直接寫出線段B′G的長度的最小值．
【分析】（1）連接CP，判斷出△FCG為等腰直角三角形，進而判斷出CP⊥FG，進而得出DP＝BC，再求出BC，即可求出答案；
（2）過點E作EH⊥AE交AD的延長線于H，先判斷出△EGA≌△EFH（SAS），得出AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，進而判斷出△AGN≌△AMF（AAS），即可得出結(jié)論；
（3）先求出BE＝，再判斷出點B'是以點E為圓心，為半徑的圓上，再判斷出點G在點A 右側(cè)過點A與AD垂直且等長的線段上，進而得出EF最大時，B'G最小，即可求出答案．
【解析】（1）解：如圖1，連接CP，
由旋轉(zhuǎn)知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG為等腰直角三角形，
∵點P是FG的中點，
∴CP⊥FG，
∵點D是BC的中點，
∴DP＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴BC＝AB＝4，
∴DP＝2；
（2）證明：如圖2，
過點E作EH⊥AE交AD的延長線于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋轉(zhuǎn)知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，點D是BC的中點，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠AFM＝135°﹣∠AFM，
∵∠AFM＝∠EFH，
∴∠AMF＝135°﹣∠EFH，
∵∠HEF＝180°﹣∠EFH﹣∠H＝135°﹣∠EFH，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；
（3）解：∵點E是AC的中點，
∴AE＝AC＝，
根據(jù)勾股定理得，BE＝＝，
由折疊直，BE＝B'E＝，
∴點B'是以點E為圓心，為半徑的圓上，
由旋轉(zhuǎn)知，EF＝EG，
∴點G在點A 右側(cè)過點A與AD垂直且等長的線段上，
∴B'G的最小值為B'E﹣EG，
要B'G最小，則EG最大，即EF最大，
∵點F在AD上，
∴點F在點A或點D時，EF最大，最大值為，
∴線段B′G的長度的最小值﹣．
37．（2022?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．
【嘗試初探】
（1）在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由．
【深入探究】
（2）若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等可證明△ABE∽△DEH；
（2）設(shè)DH＝x，AE＝a，則AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，由△ABE∽△DEH，列比例式可得x＝，最后根據(jù)正切的定義可得結(jié)論；
（3）分兩種情況：FH＝BH和FH＝BF，先根據(jù)三角形相似證明F在射線DC上，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和勾股定理列等式可得結(jié)論．
【解析】（1）∵四邊形EBFG和四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEH，
∴在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系；
（2）如圖1，∵H是線段CD中點，
∴DH＝CH，
設(shè)DH＝x，AE＝a，則AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴＝，即＝，
∴2x2＝4ax﹣a2，
∴2x2﹣4ax+a2＝0，
∴x＝＝，
∵tan∠ABE＝＝，
當(dāng)x＝時，tan∠ABE＝＝，
當(dāng)x＝時，tan∠ABE＝＝；
綜上，tan∠ABE的值是．
（3）分兩種情況：
①如圖2，BH＝FH，
設(shè)AB＝x，AE＝a，
∵四邊形BEGF是矩形，
∴∠AEG＝∠G＝90°，BE＝FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL），
∴EH＝GH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴＝＝n，
∴＝n，
∴＝，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴＝＝，
∴＝，
∴nx＝2a，
∴＝，
∴tan∠ABE＝＝＝；
②如圖3，BF＝FH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°，＝，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BCF＝∠A＝90°，
∴D，C，F(xiàn)共線，
∵BF＝FH，
∴∠FBH＝∠FHB，
∵EG∥BF，
∴∠FBH＝∠EHB，
∴∠EHB＝∠CHB，
∵BE⊥EH，BC⊥CH，
∴BE＝BC，
由①可知：AB＝x，AE＝a，BE＝BC＝nx，
由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴x2+a2＝（nx）2，
∴x＝（負值舍），
∴tan∠ABE＝＝＝，
綜上，tan∠ABE的值是或．
38．（2022?重慶）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．
（1）如圖1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；
（2）如圖2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN．在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ．在點D，E運動過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出的值．
【分析】（1）如圖1中，在射線CD上取一點K，使得CK＝BE，證明△BCE≌△CBK（SAS），推出BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，再證明∠ADF+∠AEF＝180°，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：BF+CF＝2CN．首先證明∠BFC＝120°．如圖2﹣1中，延長CN到Q，使得NQ＝CN，連接FQ，證明△CNM≌△QNF（SAS），推出FQ＝CM＝BC，延長CF到P，使得PF＝BF，則△PBF是等邊三角形，再證明△PFQ≌△PBC（SAS），推出PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，推出△PCQ是等邊三角形，可得結(jié)論；
（3）由（2）可知∠BFC＝120°，推出點F的運動軌跡為紅色圓?。ㄈ鐖D3﹣1中），推出P，F(xiàn)，O三點共線時，PF的值最小，此時tan∠APK＝＝，如圖3﹣2中，過點H作HL⊥PK于點L，設(shè)HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，由等積法求出PQ，可得結(jié)論．
【解析】（1）如圖1中，在射線CD上取一點K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）結(jié)論：BF+CF＝2CN．
理由：如圖2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如圖2﹣1中，延長CN到Q，使得NQ＝CN，連接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延長CF到P，使得PF＝BF，則△PBF是等邊三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
（3）由（2）可知∠BFC＝120°，
∴點F的運動軌跡為紅色圓弧（如圖3﹣1中），
∴P，F(xiàn)，O三點共線時，PF的值最小，
此時tan∠APK＝＝，
∴∠HPK＞45°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH＝∠QKH＝45°，
如圖3﹣2中，過點H作HL⊥PK于點L，設(shè)PQ交KH題意點J，設(shè)HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，
∵S△PHK＝?PK?HL＝?KH?PJ，
∴PQ＝2PJ＝2×＝2+
∴＝＝．
專題20圖形的旋轉(zhuǎn)
一．選擇題（共21小題）
1．（2022?遵義）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（a，1）與點B（﹣2，b）關(guān)于原點成中心對稱，則a+b的值為（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【分析】由中心對稱的性質(zhì)可求a，b的值，即可求解．
【解析】∵點A（a，1）與點B（﹣2，b）關(guān)于原點成中心對稱，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故選：C．
2．（2022?內(nèi)江）2022年2月第24屆冬季奧林匹克運動會在我國北京成功舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設(shè)計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可．
【解析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可知，C選項既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，
故選：C．
3．（2022?哈爾濱）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
C．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：B．
4．（2022?臨沂）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．魚與“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪紙藝術(shù)中很受喜愛的主題．以下關(guān)于魚的剪紙中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
5．（2022?長沙）在平面直角坐標(biāo)系中，點（5，1）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣5，1）B．（5，﹣1）C．（1，5）D．（﹣5，﹣1）
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知：點（5，1）關(guān)于原點O中心對稱的點的坐標(biāo)為（﹣5，﹣1）．
故選：D．
6．（2022?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，其中點A'與點A是對應(yīng)點，點B'與點B是對應(yīng)點．若點B'恰好落在AB邊上，則點A到直線A'C的距離等于（ ）
A．3B．2C．3D．2
【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出AC＝2，∠B＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，證出△CBB′和△CAA′為等邊三角形，過點A作AD⊥A'C于點D，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解析】連接AA′，如圖，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，
∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′為等邊三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′為等邊三角形，
過點A作AD⊥A'C于點D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝3，
∴點A到直線A'C的距離為3，
故選：C．
7．（2022?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，點（a+2，2）關(guān)于原點的對稱點為（4，﹣b），則ab的值為（ ）
A．﹣4B．4C．12D．﹣12
【分析】首先根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分別求出a、b的值，再代入即可得到答案．
【解析】∵在平面直角坐標(biāo)系中，點（a+2，2）關(guān)于原點的對稱點為（4，﹣b），則
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故選：D．
8．（2022?永州）剪紙是我國具有獨特藝術(shù)風(fēng)格的民間藝術(shù)，反映了勞動人民對現(xiàn)實生活的深刻感悟．下列剪紙圖形中，是中心對稱圖形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解析】①、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
②、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
③、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
④、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
9．（2022?宜昌）將四個數(shù)字看作一個圖形，則下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱的概念和各圖形的特點即可求解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【解析】中心對稱圖形，即把一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°后能和原來的圖形重合，所以D選項符合題意，
故選：D．
10．（2022?天津）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點M的對應(yīng)點為點N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)判斷即可．
【解析】A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；
B、當(dāng)△ABC為等邊三角形時，AB∥NC，除此之外，AB與NC不平行，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；
C、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本選項結(jié)論正確，符合題意；
D、只有當(dāng)點M為BC的中點時，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本選項結(jié)論錯誤，不符合題意；
故選：C．
11．（2022?常德）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別是D，E，點F是邊AC的中點，連接BF，BE，F(xiàn)D．則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．BE＝BCB．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90°D．DG＝3GF
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△BCE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE＝BC，判斷A選項；證明△ABC≌△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷B、C選項；解直角三角形，用CF分別表示出GF、DF，判斷D選項．
【解析】A、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE為等邊三角形，
∴BE＝BC，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，點F是邊AC的中點，
∴AB＝AC＝CF＝BF，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠A＝∠ACD，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS），
∴DF＝BC＝BE，
∵DE＝AB＝BF，
∴四邊形EBFD為平行四邊形，
∴BF∥DE，BF＝DE，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
C、∵△ABC≌△CFD，
∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，
∴GF＝CF，
同理可得，DF＝CF，
∴DF＝3GF，故本選項結(jié)論錯誤，符合題意；
故選：D．
12．（2022?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B、C、E在y軸上，點C的坐標(biāo)為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（ ）
A．△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
B．△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
C．△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
D．△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
【分析】觀察圖形可以看出，Rt△ABC通過變換得到Rt△ODE，應(yīng)先旋轉(zhuǎn)然后平移即可．
【解析】根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位可以得到△ODE．
故選：D．
13．（2022?杭州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（0，2），點A（4，2）．以點P為旋轉(zhuǎn)中心，把點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得點B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四個點中，直線PB經(jīng)過的點是（ ）
A．M1B．M2C．M3D．M4
【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得B（2，2+2），利用待定系數(shù)法可得直線PB的解析式，依次將M1，M2，M3，M4四個點的一個坐標(biāo)代入y＝x+2中可解答．
【解析】∵點A（4，2），點P（0，2），
∴PA⊥y軸，PA＝4，
由旋轉(zhuǎn)得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如圖，過點B作BC⊥y軸于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
設(shè)直線PB的解析式為：y＝kx+b，
則，
∴，
∴直線PB的解析式為：y＝x+2，
當(dāng)y＝0時，x+2＝0，x＝﹣，
∴點M1（﹣，0）不在直線PB上，
當(dāng)x＝﹣時，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（﹣，﹣1）在直線PB上，
當(dāng)x＝1時，y＝+2，
∴M3（1，4）不在直線PB上，
當(dāng)x＝2時，y＝2+2，
∴M4（2，）不在直線PB上．
故選：B．
14．（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點B′恰好落在CA的延長線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．
【解析】∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵點B′恰好落在CA的延長線上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故選：B．
15．（2022?綏化）如圖，線段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點坐標(biāo)為（2，5），線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OA'，則點A'的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
【分析】過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解析】過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，如圖，
∵A點坐標(biāo)為（2，5），
∴OB＝2，AB＝5．
由題意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．
∴∠AOB+∠A′OC＝90°．
∵∠A′OC+∠A′＝90°，
∴∠A′＝∠AOB．
在△A′OC和△OAB中，
，
∴△A′OC≌△OAB（AAS）．
∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，
∴A′（﹣5，2）．
故選：A．
16．（2022?黑龍江）下列圖形是汽車的標(biāo)識，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：C．
17．（2022?大慶）觀察下列圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
18．（2022?齊齊哈爾）下面四個交通標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
【解析】選項B、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，
故選：A．
19．（2022?桂林）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．等邊三角形B．圓
C．正五邊形D．扇形
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
【解析】選項A、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，
故選：B．
20．（2022?遂寧）下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．科克曲線B．笛卡爾心形線
C．阿基米德螺旋線D．趙爽弦圖
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解析】A．科克曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．笛卡爾心形線是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．阿基米德螺旋線不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．趙爽弦圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
21．（2022?畢節(jié)市）下列垃圾分類標(biāo)識的圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】A．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：A．
二．填空題（共8小題）
22．（2022?吉林）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）后能夠與它本身重合，則角α可以為 72（答案不唯一）． 度．（寫出一個即可）
【分析】先求出正五邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．
【解析】360°÷5＝72°，
則這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)72°后能夠與它本身重合，
故答案為：72（答案不唯一）．
23．（2022?賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等腰三角形，OA＝AB＝5，點B到x軸的距離為4，若將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，則點B′的坐標(biāo)為 （﹣4，8） ．
【分析】過點B作BN⊥x軸，過點B′作B′M⊥y軸，先求出ON＝8，再證明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，從而求出點B′的坐標(biāo)．
【解析】過點B作BN⊥x軸，過點B′作B′M⊥y軸，
∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，
∵OA＝AB＝5，點B到x軸的距離為4，
∴AN＝3，
∴ON＝8，
∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA＝∠B′OA′，
∴△AOB≌△A′OB′（AAS），
∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，
∴B′（﹣4，8），
故答案為：（﹣4，8）．
24．（2022?懷化）已知點A（﹣2，b）與點B（a，3）關(guān)于原點對稱，則a﹣b＝ 5 ．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，可得答案．
【解析】∵點A（﹣2，b）與點B（a，3）關(guān)于原點對稱，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案為：5．
25．（2022?云南）點A（1，﹣5）關(guān)于原點的對稱點為點B，則點B的坐標(biāo)為 （﹣1，5） ．
【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
【解析】∵點A（1，﹣5）關(guān)于原點對稱點為點B，
∴點B的坐標(biāo)為（﹣1，5）．
故答案為：（﹣1，5）．
26．（2022?瀘州）點（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為 （2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即：求關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
【解析】∵點M（﹣2，3）關(guān)于原點對稱，
∴點M（﹣2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（2，﹣3）．
故答案為（2，﹣3）．
27．（2022?無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC＝20°，則∠BAF＝ 80 °；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是 4﹣ ．
【分析】第一個問題證明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二個問題，如圖1中，設(shè)BE交AC于點T．證明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出點F在△ABC的外接圓上運動，當(dāng)∠ABF最小時，AF的值最小，此時CD⊥BD，求出AE，EF可得結(jié)論．
【解析】∵△ACB，△DEC都是等邊三角形，
∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．
如圖1中，設(shè)BE交AC于點T．
同法可證△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BTC＝∠ATF，
∴∠BCT＝∠AFT＝60°，
∴點F在△ABC的外接圓上運動，當(dāng)∠ABF最小時，AF的值最小，此時CD⊥BD，
∴BD＝＝＝4，
∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∴EF＝CE?tan30°＝，
∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣，
故答案為：80，4﹣．
28．（2022?永州）如圖，圖中網(wǎng)格由邊長為1的小正方形組成，點A為網(wǎng)格線的交點．若線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，端點A的坐標(biāo)變?yōu)? （2，﹣2） ．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到旋轉(zhuǎn)后的A點的對應(yīng)點的位置，即可求解．
【解析】線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°如圖所示，則A'（2，﹣2），
則旋轉(zhuǎn)后A點坐標(biāo)變?yōu)椋海?，﹣2），
故答案為：（2，﹣2）．
29．（2022?麗水）一副三角板按圖1放置，O是邊BC（DF）的中點，BC＝12cm．如圖2，將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，AC與EF相交于點G，則FG的長是 （3﹣3） cm．
【分析】設(shè)EF與BC交于點H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明∠FHO＝90°，可得OH＝OF＝3cm，利用含30度角的直角三角形可得CH＝OC﹣OH＝3cm，F(xiàn)H＝OH＝3cm，然后證明△CHG的等腰直角三角形，可得CH＝GH＝3cm，進而可以解決問題．
【解析】如圖，設(shè)EF與BC交于點H，
∵O是邊BC（DF）的中點，BC＝12cm．如圖2，
∴OD＝OF＝OB＝OC＝6cm．
∵將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，
∴∠BOD＝∠FOH＝60°，
∵∠F＝30°，
∴∠FHO＝90°，
∴OH＝OF＝3cm，
∴CH＝OC﹣OH＝3cm，F(xiàn)H＝OH＝3cm，
∵∠C＝45°，
∴CH＝GH＝3cm，
∴FG＝FH﹣GH＝（3﹣3）cm．
故答案為：（3﹣3）．
三．解答題（共9小題）
30．（2022?武漢）如圖是由小正方形組成的9×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
（1）在圖（1）中，D，E分別是邊AB，AC與網(wǎng)格線的交點．先將點B繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到點F，畫出點F，再在AC上畫點G，使DG∥BC；
（2）在圖（2）中，P是邊AB上一點，∠BAC＝α．先將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段AH，畫出線段AH，再畫點Q，使P，Q兩點關(guān)于直線AC對稱．
【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形ABCF即可解決問題，CF交格線于點T，連接DT交AC于點G，點G，點F即為所求；
（2）取格點M，N，J，連接MN，BJ交于點H，連接AH，PH，PH交AC于點K，連接BK，延長BK交AH 于點Q，線段AH，點Q即為所求．
【解析】（1）如圖（1）中，點F，點G即為所求；
（2）如圖（2）中，線段AH，點Q即為所求．
31．（2022?溫州）如圖，在2×6的方格紙中，已知格點P，請按要求畫格點圖形（頂點均在格點上）．
（1）在圖1中畫一個銳角三角形，使P為其中一邊的中點，再畫出該三角形向右平移2個單位后的圖形．
（2）在圖2中畫一個以P為一個頂點的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點P旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可；
（2）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可．
【解析】（1）如圖1中△ABC即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖2中△ABC即為所求（答案不唯一）．
32．（2022?安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．
（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△A1B1C1；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△A2B2C2．
【解析】（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
33．（2022?黑龍江）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC與△DEF關(guān)于點O成中心對稱，△ABC與△DEF的頂點均在格點上，請按要求完成下列各題．
（1）在圖中畫出點O的位置．
（2）將△ABC先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（3）在網(wǎng)格中畫出格點M，使A1M平分∠B1A1C1．
【分析】（1）連接對應(yīng)點B、F，對應(yīng)點C、E，其交點即為旋轉(zhuǎn)中心的位置；
（2）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出平移后的點的位置，然后順次連接即可；
（3）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點作出即可．
【解析】（1）如圖所示，點O為所求．
（2）如圖所示，△A1B1C1為所求．
（3）如圖所示，點M為所求．
34．（2022?廣元）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．
（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為 135° ；
（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r
①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CA＝CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝90°﹣，∠BDC＝45°+，即可得∠ADB的度數(shù)；
（2）①依題意可補全圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求解；
②過點C作CG∥BD，交EB的延長線于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CE垂直平分BD，求出∠G＝∠EBD＝45°．可得EC＝CG，EG＝EC，證明△ACE≌△BCG，可得AE＝BG，根據(jù)線段的和差即可得出結(jié)論．
【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），
∴CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°+，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°﹣+45°+＝135°，
故答案為：135°；
（2）①依題意補全圖形如圖，
由旋得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°+α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°﹣，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°﹣﹣45°+＝45°；
②CE＝2BE﹣AD．
證明：過點C作CG∥BD，交EB的延長線于點G，
∵BC＝CD，CE平分∠BCD，
∴CE垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠EFB＝90°，
由①知，∠ADB＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
∴∠FEB＝45°，
∵BD∥CG，
∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，
∴EC＝CG，EG＝EC，
∵∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB，
∴∠ACE＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE＝BG，
∵EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD，
∴CE＝2BE﹣AD．
35．（2022?連云港）【問題情境】
在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．
【問題探究】
小昕同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2，當(dāng)點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．
（2）若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．
（3）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點G所經(jīng)過的路徑長．
（4）如圖4，G為DC的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線AB的距離的最大值是 ．
【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求解，即可求出答案；
（2）①當(dāng)點E在BC上方時，如圖1過點D作DH⊥BC于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC＝3，DE＝，最后利用面積求解，即可求出答案；
②當(dāng)點E在BC下方時，同①的方法，即可求出答案；
（3）先求出∠BOE＝150°，再判斷出點G是以點O為圓心，為半徑的圓上，最后用弧長公式求解，即可求出答案；
（4）過點O作OK⊥AB于K，求出OK＝，即可求出答案．
【解析】（1）由題意得，∠BEF＝∠BED＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝3，
∴BF＝＝＝2；
（2）①當(dāng)點E在BC上方時，
如圖1，過點D作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，AC＝3，
∴tan∠ABC＝，
∴BC＝＝＝3，
在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝3，
∴DE＝BE?tan∠DBE＝，
∵S△BCD＝CD?BE＝BC?DH，
∴DH＝＝+1，
②當(dāng)點E在BC下方時，如圖2，
在Rt△BCE中，BE＝3，BC＝3，
根據(jù)勾股定理得，CE＝＝3，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣，
過點D作DM⊥BC于M，
∵S△BDC＝BC?DM＝CD?BE，
∴DM＝＝﹣1，
即點D到直線BC的距離為±1；
（3）如圖3﹣1，連接CD，取CD的中點G，
取BC的中點O，連接GO，則OG∥AB，
∴∠COG＝∠B＝30°，
∴∠BOE＝150°，
∵點G為CD的中點，點O為BC的中點，
∴GO＝BD＝，
∴點G是以點O為圓心，為半徑的圓上，如圖3﹣2，
∴三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一條直線上時，點G所經(jīng)過的軌跡為150°所對的圓弧，
∴點G所經(jīng)過的路徑長為＝π；
（4）如圖4，過點O作OK⊥AB于K，
∵點O為BC的中點，BC＝3，
∴OB＝，
∴OK＝OB?sin30°＝，
由（3）知，點G是以點O為圓心，為半徑的圓上，
∴點G到直線AB的距離的最大值是+＝，
故答案為：．
36．（2022?重慶）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點，連接EF，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．
（1）如圖1，點E與點C重合，且GF的延長線過點B，若點P為FG的中點，連接PD，求PD的長；
（2）如圖2，EF的延長線交AB于點M，點N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求證：AM+AF＝AE；
（3）如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE，H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′EH，連接B′G，直接寫出線段B′G的長度的最小值．
【分析】（1）連接CP，判斷出△FCG為等腰直角三角形，進而判斷出CP⊥FG，進而得出DP＝BC，再求出BC，即可求出答案；
（2）過點E作EH⊥AE交AD的延長線于H，先判斷出△EGA≌△EFH（SAS），得出AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，進而判斷出△AGN≌△AMF（AAS），即可得出結(jié)論；
（3）先求出BE＝，再判斷出點B'是以點E為圓心，為半徑的圓上，再判斷出點G在點A 右側(cè)過點A與AD垂直且等長的線段上，進而得出EF最大時，B'G最小，即可求出答案．
【解析】（1）解：如圖1，連接CP，
由旋轉(zhuǎn)知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG為等腰直角三角形，
∵點P是FG的中點，
∴CP⊥FG，
∵點D是BC的中點，
∴DP＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴BC＝AB＝4，
∴DP＝2；
（2）證明：如圖2，
過點E作EH⊥AE交AD的延長線于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋轉(zhuǎn)知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，點D是BC的中點，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠AFM＝135°﹣∠AFM，
∵∠AFM＝∠EFH，
∴∠AMF＝135°﹣∠EFH，
∵∠HEF＝180°﹣∠EFH﹣∠H＝135°﹣∠EFH，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；
（3）解：∵點E是AC的中點，
∴AE＝AC＝，
根據(jù)勾股定理得，BE＝＝，
由折疊直，BE＝B'E＝，
∴點B'是以點E為圓心，為半徑的圓上，
由旋轉(zhuǎn)知，EF＝EG，
∴點G在點A 右側(cè)過點A與AD垂直且等長的線段上，
∴B'G的最小值為B'E﹣EG，
要B'G最小，則EG最大，即EF最大，
∵點F在AD上，
∴點F在點A或點D時，EF最大，最大值為，
∴線段B′G的長度的最小值﹣．
37．（2022?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．
【嘗試初探】
（1）在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由．
【深入探究】
（2）若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等可證明△ABE∽△DEH；
（2）設(shè)DH＝x，AE＝a，則AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，由△ABE∽△DEH，列比例式可得x＝，最后根據(jù)正切的定義可得結(jié)論；
（3）分兩種情況：FH＝BH和FH＝BF，先根據(jù)三角形相似證明F在射線DC上，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和勾股定理列等式可得結(jié)論．
【解析】（1）∵四邊形EBFG和四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEH，
∴在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系；
（2）如圖1，∵H是線段CD中點，
∴DH＝CH，
設(shè)DH＝x，AE＝a，則AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴＝，即＝，
∴2x2＝4ax﹣a2，
∴2x2﹣4ax+a2＝0，
∴x＝＝，
∵tan∠ABE＝＝，
當(dāng)x＝時，tan∠ABE＝＝，
當(dāng)x＝時，tan∠ABE＝＝；
綜上，tan∠ABE的值是．
（3）分兩種情況：
①如圖2，BH＝FH，
設(shè)AB＝x，AE＝a，
∵四邊形BEGF是矩形，
∴∠AEG＝∠G＝90°，BE＝FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL），
∴EH＝GH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴＝＝n，
∴＝n，
∴＝，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴＝＝，
∴＝，
∴nx＝2a，
∴＝，
∴tan∠ABE＝＝＝；
②如圖3，BF＝FH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°，＝，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BCF＝∠A＝90°，
∴D，C，F(xiàn)共線，
∵BF＝FH，
∴∠FBH＝∠FHB，
∵EG∥BF，
∴∠FBH＝∠EHB，
∴∠EHB＝∠CHB，
∵BE⊥EH，BC⊥CH，
∴BE＝BC，
由①可知：AB＝x，AE＝a，BE＝BC＝nx，
由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴x2+a2＝（nx）2，
∴x＝（負值舍），
∴tan∠ABE＝＝＝，
綜上，tan∠ABE的值是或．
38．（2022?重慶）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．
（1）如圖1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；
（2）如圖2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN．在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ．在點D，E運動過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出的值．
【分析】（1）如圖1中，在射線CD上取一點K，使得CK＝BE，證明△BCE≌△CBK（SAS），推出BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，再證明∠ADF+∠AEF＝180°，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：BF+CF＝2CN．首先證明∠BFC＝120°．如圖2﹣1中，延長CN到Q，使得NQ＝CN，連接FQ，證明△CNM≌△QNF（SAS），推出FQ＝CM＝BC，延長CF到P，使得PF＝BF，則△PBF是等邊三角形，再證明△PFQ≌△PBC（SAS），推出PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，推出△PCQ是等邊三角形，可得結(jié)論；
（3）由（2）可知∠BFC＝120°，推出點F的運動軌跡為紅色圓?。ㄈ鐖D3﹣1中），推出P，F(xiàn)，O三點共線時，PF的值最小，此時tan∠APK＝＝，如圖3﹣2中，過點H作HL⊥PK于點L，設(shè)HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，由等積法求出PQ，可得結(jié)論．
【解析】（1）如圖1中，在射線CD上取一點K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）結(jié)論：BF+CF＝2CN．
理由：如圖2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如圖2﹣1中，延長CN到Q，使得NQ＝CN，連接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延長CF到P，使得PF＝BF，則△PBF是等邊三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
（3）由（2）可知∠BFC＝120°，
∴點F的運動軌跡為紅色圓?。ㄈ鐖D3﹣1中），
∴P，F(xiàn)，O三點共線時，PF的值最小，
此時tan∠APK＝＝，
∴∠HPK＞45°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH＝∠QKH＝45°，
如圖3﹣2中，過點H作HL⊥PK于點L，設(shè)PQ交KH題意點J，設(shè)HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，
∵S△PHK＝?PK?HL＝?KH?PJ，
∴PQ＝2PJ＝2×＝2+
∴＝＝．

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